圆的对称性―垂径定理 Microsoft PowerPoint 演示文稿

圆的对称性——垂径定理探讨圆的对称性（1）圆是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？●O你是用什么方法解决上述问题的?活动一•圆是轴对称图形.圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.●O可利用折叠的方法即可解决上述问题.（2）圆是中心对称图形吗？圆是旋转对称图形吗？我们可以用旋转的方法即可解决这个问题发现结论：1.圆是轴对称图形，圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴。2.圆是中心对称图形，圆的对称中心是圆心。3.圆是旋转对称图形，圆的旋转中心是圆心。OACBNMD任意一条直径都是圆的对称轴·OABCDE活动二画一条弦AB，再画一条直径CD使CD⊥AB垂足为E.以CD所在的直线对折你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法.发现相等的线段：相等的弧：AE=BE.⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.垂直于┗平分这条弦，并且平分弦所对的弧。弦的直径，∵在⊙O中，直径CD⊥弦AB于E⌒AC=BC⌒⌒AD=BD⌒C.OAEBD(1)文字语言：(2)几何语言：∴AE=BE（3）结构语言：①CD是直径②CD⊥AB可推得⌒⌒④AC=BC,③AE=BE,⌒⌒⑤AD=BD.例1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．·OABE解：OEAB222AOOEAE2222=3+4=5cmAOOEAE答：⊙O的半径为5cm.典型例题在Rt△AOE中由勾股定理得∴由垂径定理得AE=BE=1/2AB=4cm1、在⊙O中，OC垂直于弦AB，AB=8，OA=5，则AC=，OC=。ABCOABCO┏58431、在⊙O中，C为AB上一动点，OC最长为5，最短为3，则弦AB=。5跟踪练习38例2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证：AC＝BD。则由垂径定理得AE＝BE，CE＝DE。.ACDBO典型例题E证明：过O作OE⊥AB，垂足为E。∴AE－CE＝BE－DE。所以，AC＝BD方法总结：垂径定理常见辅助线为，圆心遇弦作垂直，并结合勾股定理进行求解。例3.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.BAOED┌600ED┌典型例题方法总结：对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：⑴d+h=r⑵222)2(adrhda2OODCBAM作业评讲：（1）如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，已知CD=20，CM=4，求AB。解：连接OA在⊙O中，直径CD⊥弦AB，由垂径定理得∴AB=2AM△OMA是Rt△∵CD=20∴AO=CO=10∴OM=OC–CM=10–4=6在Rt△OMA中，AO=10，OM=6根据勾股定理，得：222AMOMAO∴86102222OMAOAM∴AB=2AM=2x8=16（2）如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB∥CD.求证：AC=BD。⌒⌒ABCDOFE解：过点O作OE⊥CD，交CD于点E在⊙O中，OF⊥弦AB，由垂径定理得G交⊙O于点G交AB于点F，∴AG=BG⌒⌒∵OE⊥弦CD，由垂径定理得∴CG=DG⌒⌒∴AG-CG=BG-DG⌒⌒⌒⌒即AC=BD⌒⌒延伸提高1.过⊙O内一点A的最长弦为10㎝，最短弦为8㎝，则OA=㎝2.已知：如图，⊙O的直径AB和CD相交于点E。已知AE=1㎝，EB=5㎝，∠DEB=60，求CD的长3.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.ODBCAE●OCDEF小结：1、我们要掌握圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形还是旋转对称图形2、垂径定理的三种语言：文字语言、几何语言、结构语言3、在涉及圆的弦的问题时通常通过做过圆心的弦的垂线从而利用垂径定理与勾股定理来解决问题。5、请大家回去思考这样一个问题：在垂径定理的题设和结论共5个条件中，若换成已知能否得到吗？4、例3中⑴d+h=rhda2O⑵