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第三章第三章第三章第三章平直空间中的曲线坐标平直空间中的曲线坐标平直空间中的曲线坐标平直空间中的曲线坐标第第第第3333章章章章平直空间中的曲线坐标平直空间中的曲线坐标平直空间中的曲线坐标平直空间中的曲线坐标第第第第1节节节节局部标架局部标架局部标架局部标架第第第第2节节节节曲线坐标中的张量曲线坐标中的张量曲线坐标中的张量曲线坐标中的张量第第第第3节节节节平行移动与联络平行移动与联络平行移动与联络平行移动与联络第第第第4节节节节协变导数协变导数协变导数协变导数第第第第5节节节节曲线坐标小结曲线坐标小结曲线坐标小结曲线坐标小结平直空间平直空间平直空间平直空间在这种空间中存在以直线和平面为坐标在这种空间中存在以直线和平面为坐标在这种空间中存在以直线和平面为坐标在这种空间中存在以直线和平面为坐标线和坐标面的坐标系线和坐标面的坐标系线和坐标面的坐标系线和坐标面的坐标系，，，，称为称为称为称为仿射坐标系仿射坐标系仿射坐标系仿射坐标系.但是但是但是但是,在平直空间中也可以有以曲线和曲在平直空间中也可以有以曲线和曲在平直空间中也可以有以曲线和曲在平直空间中也可以有以曲线和曲面为坐标线和坐标面的坐标系面为坐标线和坐标面的坐标系面为坐标线和坐标面的坐标系面为坐标线和坐标面的坐标系,称为称为称为称为曲线曲线曲线曲线坐标系坐标系坐标系坐标系.在平直的欧氏空间中也可以采用在平直的欧氏空间中也可以采用在平直的欧氏空间中也可以采用在平直的欧氏空间中也可以采用例如例如例如例如:球坐标系球坐标系球坐标系球坐标系和和和和柱坐标系柱坐标系柱坐标系柱坐标系.在所研究的对象具有特殊对称性在所研究的对象具有特殊对称性在所研究的对象具有特殊对称性在所研究的对象具有特殊对称性,例如球对称或柱例如球对称或柱例如球对称或柱例如球对称或柱对称的情况下对称的情况下对称的情况下对称的情况下,采用曲线坐标系更为方便采用曲线坐标系更为方便采用曲线坐标系更为方便采用曲线坐标系更为方便.弯曲空间弯曲空间弯曲空间弯曲空间例如将球面看做一个二维曲面例如将球面看做一个二维曲面例如将球面看做一个二维曲面例如将球面看做一个二维曲面,就是一就是一就是一就是一个弯曲空间个弯曲空间个弯曲空间个弯曲空间.在有引力存在的情况下在有引力存在的情况下在有引力存在的情况下在有引力存在的情况下,四维空间也成四维空间也成四维空间也成四维空间也成为弯曲空间为弯曲空间为弯曲空间为弯曲空间.§§§§3.1局部标架局部标架局部标架局部标架在这样的弯曲空间里不存在仿射坐标系在这样的弯曲空间里不存在仿射坐标系在这样的弯曲空间里不存在仿射坐标系在这样的弯曲空间里不存在仿射坐标系,,,,所能有所能有所能有所能有的只是曲线坐标系的只是曲线坐标系的只是曲线坐标系的只是曲线坐标系....这一章讨论平直空间中的曲线坐标这一章讨论平直空间中的曲线坐标这一章讨论平直空间中的曲线坐标这一章讨论平直空间中的曲线坐标,为下一章为下一章为下一章为下一章中研究弯曲空间打下基础中研究弯曲空间打下基础中研究弯曲空间打下基础中研究弯曲空间打下基础.为为为为了具体起见了具体起见了具体起见了具体起见,,,,先考虑三维欧氏空间先考虑三维欧氏空间先考虑三维欧氏空间先考虑三维欧氏空间.拉丁字母拉丁字母拉丁字母拉丁字母i,j,k和希腊字母和希腊字母和希腊字母和希腊字母αααα,ββββ,γγγγ都取由都取由都取由都取由1111到到到到3333的值的值的值的值.§§§§3.1.1曲线坐标曲线坐标曲线坐标曲线坐标区域区域区域区域ΩΩΩΩ中的任一点中的任一点中的任一点中的任一点M在这一坐标系中的分量用大写在这一坐标系中的分量用大写在这一坐标系中的分量用大写在这一坐标系中的分量用大写字母字母字母字母Xi(i=1,2,3)表示表示表示表示.在三维欧氏空间的一个连通区域在三维欧氏空间的一个连通区域在三维欧氏空间的一个连通区域在三维欧氏空间的一个连通区域ΩΩΩΩ中给定一个直角中给定一个直角中给定一个直角中给定一个直角坐标系坐标系坐标系坐标系(i=1,2,3).ier设有设有设有设有Xi的三个连续可微的单值函数的三个连续可微的单值函数的三个连续可微的单值函数的三个连续可微的单值函数:123(,,)(1,2,3)xxXXXααα==它的反函数它的反函数它的反函数它的反函数:1,2,3()(1,2,3)iiXXxxxi==假定也单值连续可微假定也单值连续可微假定也单值连续可微假定也单值连续可微,则则则则xαααα(αααα=1,2,3)可以代替可以代替可以代替可以代替Xi(i=1,2,3)作为作为作为作为ΩΩΩΩ中的中的中的中的点的坐标点的坐标点的坐标点的坐标,称为称为称为称为曲线坐标曲线坐标曲线坐标曲线坐标.例例例例3.1令令令令222112332222123132212arccosarccosxXXXXxXXXXxXX=++=++=+例例例例3.1令令令令222112332222123132212arccosarccosxXXXXxXXXXxXX=++=++=+式中式中式中式中,0≤≤≤≤x2≤π≤π≤π≤π;0≤≤≤≤x3≤π≤π≤π≤π(X2≥≥≥≥0),ππππx32ππππ(X20);所有根号都取正值所有根号都取正值所有根号都取正值所有根号都取正值.反过来反过来反过来反过来，，，，312cosXxx=2123sinsinXxxx=1123sincosXxxx=0≤≤≤≤x1∞∞∞∞0≤≤≤≤x2≤π≤π≤π≤π0≤≤≤≤x32ππππ222112332222123132212arccosarccosxXXXXxXXXXxXX=++=++=+312cosXxx=2123sinsinXxxx=1123sincosXxxx=除了在除了在除了在除了在x1=0(X1=X2=X3=0)一点外一点外一点外一点外,都是单值连续都是单值连续都是单值连续都是单值连续可微的函数可微的函数可微的函数可微的函数，，，，因而因而因而因而(x1,x2,x3)形成曲线坐标形成曲线坐标形成曲线坐标形成曲线坐标.习惯上写习惯上写习惯上写习惯上写:1xr=2xθ=3xϕ=称为称为称为称为球坐标球坐标球坐标球坐标例例例例3.2令令令令2211212221233arccosxXXXxXXxX=+=+=式中式中式中式中,0≤≤≤≤x2≤π≤π≤π≤π(X2≥≥≥≥0),ππππx22ππππ(X20);所有根号都取正值所有根号都取正值所有根号都取正值所有根号都取正值.反过来反过来反过来反过来，，，，33Xx=212sinXxx=112cosXxx=10x≤∞3x−∞≤∞202xπ≤2211212221233arccosxXXXxXXxX=+=+=33Xx=212sinXxx=112cosXxx=除了除了除了除了x1=0(X1=X2=0)一条直线外一条直线外一条直线外一条直线外,都是单值连续都是单值连续都是单值连续都是单值连续可微的函数可微的函数可微的函数可微的函数.因而因而因而因而(x1,x2,x3)形成曲线坐标形成曲线坐标形成曲线坐标形成曲线坐标.习惯上写习惯上写习惯上写习惯上写:3xz=2xϕ=1xr=称为称为称为称为柱坐标柱坐标柱坐标柱坐标1,2,3()iiXXxxx=123(,,)xxXXXαα=Xi是是是是xαααα的函数的函数的函数的函数xαααα是是是是Xi的函数的函数的函数的函数根据复合函数求导法则根据复合函数求导法则根据复合函数求导法则根据复合函数求导法则，，，，求求求求Xi对对对对Xj的导数的导数的导数的导数:31iijjXXxXxXααα=∂∂∂=∂∂∂∑但是但是但是但是,Xi对对对对Xj的导数的导数的导数的导数在在在在i=j时为时为时为时为1在在在在i≠≠≠≠j时为时为时为时为0因而因而因而因而31iijjXxxXαααδ=∂∂=∂∂∑31iiijjjXXxXxXαααδ=∂∂∂==∂∂∂∑计算计算计算计算xαααα对对对对xββββ的导数的导数的导数的导数,可得可得可得可得31iiixxXxXxαααβββδ=∂∂∂==∂∂∂∑1,2,3()iiXXxxx=123(,,)xxXXXαα=§§§§3.1.2局部标架局部标架局部标架局部标架在直角坐标系中在直角坐标系中在直角坐标系中在直角坐标系中,坐标线和坐标面是一些相互垂坐标线和坐标面是一些相互垂坐标线和坐标面是一些相互垂坐标线和坐标面是一些相互垂直的直线和平面直的直线和平面直的直线和平面直的直线和平面.坐标基矢坐标基矢坐标基矢坐标基矢(i=1,2,3)既是沿坐标线既是沿坐标线既是沿坐标线既是沿坐标线Xi在在在在Xi增加方向上增加方向上增加方向上增加方向上.ire又是垂直于又是垂直于又是垂直于又是垂直于“等等等等Xi面面面面”的单位矢量的单位矢量的单位矢量的单位矢量.3re2re1re等等等等Xi面面面面Xi增加增加增加增加直角坐标基矢与坐标线直角坐标基矢与坐标线直角坐标基矢与坐标线直角坐标基矢与坐标线、、、、坐标面的关系坐标面的关系坐标面的关系坐标面的关系它们是三个大小和方向都不变的常矢量它们是三个大小和方向都不变的常矢量它们是三个大小和方向都不变的常矢量它们是三个大小和方向都不变的常矢量,满足正交单位条件满足正交单位条件满足正交单位条件满足正交单位条件:ijijδ⋅=rree曲线坐标的定义式可写为曲线坐标的定义式可写为曲线坐标的定义式可写为曲线坐标的定义式可写为:1,2,3()iiXXxxx=123(,,)xxx=rrxx空间点的矢径空间点的矢径空间点的矢径空间点的矢径在此式中在此式中在此式中在此式中,令某一个令某一个令某一个令某一个xαααα改变改变改变改变,其余两个其余两个其余两个其余两个xββββ(ββββ≠≠≠≠αααα)保持保持保持保持不变不变不变不变，，，，所得到的点的集合形成一条曲线所得到的点的集合形成一条曲线所得到的点的集合形成一条曲线所得到的点的集合形成一条曲线称为称为称为称为坐标线坐标线坐标线坐标线xαααα如果固定如果固定如果固定如果固定xαααα而让而让而让而让xββββ(ββββ≠≠≠≠αααα)变变变变，，，，则得到一个曲面则得到一个曲面则得到一个曲面则得到一个曲面称为称为称为称为坐标面坐标面坐标面坐标面——等等等等xαααα面面面面对于曲线坐标对于曲线坐标对于曲线坐标对于曲线坐标,坐标线和坐标面一般说来是曲线和曲面坐标线和坐标面一般说来是曲线和曲面坐标线和坐标面一般说来是曲线和曲面坐标线和坐标面一般说来是曲线和曲面.考虑空间的任一点考虑空间的任一点考虑空间的任一点考虑空间的任一点M,其矢径为其矢径为其矢径为其矢径为.xr考虑空间的任一点考虑空间的任一点考虑空间的任一点考虑空间的任一点M,其矢径为其矢径为其矢径为其矢径为.xrMX1X2X3xrθreϕrerre在这一点和坐标线在这一点和坐标线在这一点和坐标线在这一点和坐标线xαααα相切并指向相切并指向相切并指向相切并指向xαααα增加方向的增加方向的增加方向的增加方向的单位矢量用单位矢量用单位矢量用单位矢量用表示表示表示表示.αre三个三个三个三个(αααα=1,2,3)形成一组坐标基矢形成一组坐标基矢形成一组坐标基矢形成一组坐标基矢,它们在空它们在空它们在空它们在空间不同点有不同方向间不同点有不同方向间不同点有不同方向间不同点有不同方向，，，，因此称由它们组成的坐标系因此称由它们组成的坐标系因此称由它们组成的坐标系因此称由它们组成的坐标系为为为为局部标架局部标架局部标架局部标架.αre球坐标系中的局部标架球坐标系中的局部标架球坐标系中的局部标架球坐标系中的局部标架X1X2X3Mxrρreϕrezre柱坐标中的局部标架柱坐标中的局部标架柱坐标中的局部标架柱坐标中的局部标架θreϕrerre如果在空间的每一点如果在空间的每一点如果在空间的每一点如果在空间的每一点M,局部标架的基矢局部标架的基矢局部标架的基矢局部标架