泛函分析讲义

FunctionalAnalysisLecture泛函分析讲义ElegantLaTeXVictorywon’tcometousunlesswegotoit.July14,2016Email:[e-mail]:1.0目录引言11距离空间31.1..............................31.2.............................81.3...................................121.4•..............................161.5.....................................221.6Banach..............................292赋范线性空间与Banach空间332.1.............................332.2..........................452.3Banach............................503内积空间与Hilbert空间533.1...............................533.2.................................573.3...................................614有界线性算子674.1.............................674.2...................................734.3...................................774.4..................................795共轭空间和共轭算子815.1Hahn-Banach.............................815.2•..............................875.3.....................................965.4......................................985.5*.....................................101目录–3/114–6线性算子的谱理论1056.1...............................1056.2...........................1106.3..............................110–4/114–目录引言一.什么是泛函分析？“”二.起源与地位203020三.主要研究对象8:—–+—–1四.主要研究方法1.2.–2/114–绪论五.本课程主要研究内容(1)(2)Banach(3)Hilbert(4)(5)(6)六.怎么学好泛函分析？1.2.3.4.我们认为要真正理解泛函分析中的一些重要的概念和理论，灵活运用这一强有力的工具，其唯一的途径就是深入了解它们的来源和背景，注重研究一些重要的、一般性定理的深刻的、具体的含义．不然的话，如果只是从概念到概念，纯形式地理解抽象定理的推演，那么学习泛函分析的结果只能是“如宝山而空返，一无所获．”—–张恭庆（中科院院士）第1章距离空间1.1距离空间的基本概念一.距离空间的定义及例定义1.1.1.设X为非空集，若对8x,y2X,均有一个正实数d(x,y)与之对应，且满足：(i)(非负性)d(x,y)0,d(x,y)=0,当且仅当x=y;(ii)(对称性)d(x,y)=d(y,x);(iii)(三角不等式)d(x,y)d(x,z)+d(y,z).则称d(
,
)为X上的一个距离。定义了距离的集合称为距离空间，记为(X,d).注1.1.1.(1)距离的定义，是实轴上绝对值概念的推广，保留了绝对值最本质的性质；(2)性质(i)–(iii)称为距离公理，其中(iii)来源于“平面三角形两边之和大于第三边”；(3)由(iii)和(ii)易知1，d(x,y)d(y,z)d(x,z),8x,y,z2X实际上，d(x,y)d(x,z)+d(z,y)=)d(x,y)d(y,z)d(x,z)d(y,z)d(y,x)+d(x,z)=)d(y,z)d(x,y)d(x,z)1.n维欧氏空间RnRn={(x1,


,xn):xk2R}Rnx=(x1,


,xn)y=(h1,


,hn),d(x,y)=(nåk=1jxkhkj2)121“”–4/114–第1章距离空间(Rn,d)d(
,
)(i)–(iii).(i),(ii)(iii),Cauchynåk=1akbk(nåk=1a2k)12(nåk=1b2k)12,ak,bk2R8l2R,0nåk=1(ak+lbk)2=nåk=1a2k+2lnåk=1akbk+l2nåk=1b2kll2R0,(2nåk=1akbk)24nåk=1a2k
nåk=1b2k0CauchyCauchynåk=1(ak+bk)2=nåk=1a2k+2nåk=1akbk+nåk=1b2knåk=1a2k+2(nåk=1a2k)12(nåk=1b2k)12+nåk=1b2k(1.1)=[(nåk=1a2k)12+nåk=1b2k)12]2Rnx=(x1,


,xn),y=(h1,


,hn),z=(z1,


,zn),ak=xkzk,bk=zkhk,(nåk=1jxkhkj2)12(nåk=1jxkzkj2)12+(nåk=1jzkhkj2)12d(x,y)d(x,z)+d(y,z),(Rn,d)注1.1.2.(1)对于n维复欧氏空间Cn,可类似地定义距离d(x,y)=(nåk=1jxkhkj2)12其中，j
j表示复数的模，也构成距离空间；(2)同一集合上可定义不同的距离，从而得到不同的距离空间．例如，在Rn上定义d1(x,y)=nåk=1jxkhkj,d¥(x,y)=max{jxkhkj:k=1,


n}都构成距离空间。1.1距离空间的基本概念–5/114–2.连续函数空间C[a,b]C[a,b]={x(t):x(t)[a,b]}C[a,b]x=x(t),y=y(t),d(x,y)=maxt2[a,b]x(t)y(t).(i),(ii)(iii).x(t),y(t),z(t)2C[a,b],x(t)y(t)x(t)z(t)+z(t)y(t)maxt2[a,b]x(t)z(t)+maxt2[a,b]z(t)y(t)=d(x,z)+d(z,y),t2[a,b]“max”d(x,y)d(x,z)+d(y,z).3.测度空间(Ω,S,m)上的p次幂L-可积函数空间Lp(Ω,S,m),(1p¥),简记为Lp(Ω)(Ω,S,m):ΩSΩs-E2S,EmSLp(Ω)={x(t):∫Ωx(t)pdm+¥}Lp(Ω)Ω=[a,b],Lp[a,b],mLebesgueLp(Ω)x=x(t),y=y(t),d(x,y)=(∫Ωx(t)y(t)pdm)1p4.几乎处处有界可测函数空间L¥(Ω,S,m),简记为L¥(Ω)x(t)ΩE0Ω,x(t)ΩE0L¥(Ω,S,m)={x(t):x(t)Ω}L¥(Ω)L¥(Ω)x=x(t),y=y(t),d(x,y)=infE0Ωm(E0)=0supt2ΩE0x(t)y(t)–6/114–第1章距离空间5.p次幂可和数列空间ℓp,(1p¥)ℓp={fxng:¥ån=1xn+¥}ℓpx=fxng,y=fhng,d(x,y)=(¥ån=1xnhnp)1p6.有界数列空间ℓ¥ℓ¥={fxng:fxnggℓ¥x=fxng,y=fhng,d(x,y)=supnjxnhnj二.距离空间中的收敛定义1.1.2.设(X,d)为距离空间，fxngX为点列，若存在x02X使得d(xn,x0)!0,(n!¥),则称fxng依距离d收敛到x0,或x0是fxng的极限，记为limn!¥xn=x0或xnd!x0,n!¥注1.1.3.(1)定义中的“d(xn,x0)!0,(n!¥)”是数列收敛；(2)用“#N”语言描述：8#0,9N2N,使得当nN时，有d(xn,x0)#定义1.1.3.设(X,d)为距离空间，AX,若存在x02X及M0使得d(x0,y)M,8y2A则称A是有界的。命题1.1.1.设fxng在X中收敛，则(i)fxng的收敛极限是唯一的；(ii)若x0是fxng的收敛极限，则任意子列fxnkgfxng,也收敛到x0;1.1距离空间的基本概念–7/114–(iii)对任意的y02X,数列fd(xn,y0)g都有界。证明(i)xn!x0,xn!y0,x0̸=y0,8#0,9N2N,nNd(xn,x0)#,d(xn,y0)#d(x0,y0)d(x0,xn)+d(xn,y0)2##d(x0,y0)0,d(x0,y0)=0,x0=y0.(ii)xn!x0,8#0,9N2N,nNd(xn,x0)#.fxnkgfxng,xnk!x0,9K2N,kKd(xnk,x0)#.K=N,kKnkkK=N,d(xnk,x0)#.(iii)xn!x0,fd(xn,x0)gM0d(xn,x0)M,8n2N.y02X,d(xn,y0)d(xn,x0)+d(x0,y0)M+d(x0,y0)fd(xn,y0)g□命题1.1.2.d(x,y)是关于x和y的二元连续函数。证明xn!x,yn!yjd(xn,yn)d(x,y)j!0.d(xn,yn)d(xn,x)+d(x,y)+d(y,yn)d(xn,yn)d(x,y)d(xn,x)+d(yn,y)d(x,y)d(x,xn)+d(xn,yn)+d(yn,y)d(x,y)d(xn,yn)d(xn,x)+d(yn,y)!0,n!¥jd(xn,yn)d(x,y)j!0.□例1.1.1.Rn空间中，距离收敛等价于依坐标收敛。证明fxig¥i=1Rn,x02Rn,x0=(x1,


,xn),xi=(x(i)1,


,x(i)n),i=1,2,


xid!x0,d(xi,x0)!0,(i!¥).(nåk=1x(i)kxk2)12!0,(i!¥)–8/114–第1章距离空间k=1,


,njx(i)kxkj(nåk=1x(i)kxk2)12!0,(i!¥)x(i)k!xk,k=1,


,n,(i!¥).fxigx0.fxigx0,x(i)k!xk,k=1,


,n,(i!¥),d(xi,x0)=(nåk=1x(i)kxk2)12!0,i!¥xid!x0,i!¥.□例1.1.2.C[a,b]空间空间中，距离收敛等价于一致收敛。证明fxngC[a,b],x2C[a,b],x=x(t),xn=xn(t),t2[a,b],n=1,2,


xnd!x,d(xn,x)!0,(n!¥),maxt2[a,b]xn(t)x(t)!0,n!¥8#0,9N2N,nNxn(t)x(t)maxt2[a,b]xn(t)x(t)#,8t2[a,b]xn(t)x(t).xn(t)x(t),8#0,9N=N(#),nNxn(t)x(t)#,8t2[a,b]t2[a,b]“max”,d(xn,x)=maxt2[a,b]xn(t)x(t)#,(nN)d(xn,x)!0,(n!¥),xnd!x.□1.2开集、闭集及连续映射一.内点、聚点、孤立点(X,d)x02X,r2R,U(x0,r)=fx:d(x,x0)rg1.2开集、闭集及连续映射–9/114–B(x0,r)=fx:d(x,x0)rgS(x0,r)