2、集合的基本概念

初升高衔接课程1/81．集合的含义：一般地把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）.构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）.一般地，我们把研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。2．元素用小写字母,,,abc表示；集合用大写字母,,,ABC表示.3．不含任何元素的集合叫做空集，记作.4．关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。（3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。5．元素与集合的关系（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belongto）A，记作：a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（notbelongto）A，记作：aA例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A4A，等等。6.集合表示法集合的三种表示方法：自然语言法，列举法、描述法．（1）自然语言要叙述清楚，不能产生不确定现象．（2）列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，并写在大括号“{}”内的表示集合的方法.例如：{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,5,}（3）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如{x|描述特点}，要注知识要点集合的基本概念与表示初升高衔接课程2/8意关键词：或、逗号、且相互之间的含义是不同的．例如：大于3的所有整数表示为：{Z|3}xx方程2250xx的所有实数根表示为：{Rx|2250xx}7．常用的数集及记法：全体非负整数组成的集合称作为非负整数集（或自然数集），记作N；所有正整数组成的集合称作正整数集，记作N*或N+；全体整数组成的集合称作整数集，记作Z；全体有理数组成的集合称作有理数集，记作Q；全体实数组成的集合称作实数集，记作R；1.集合的性质例1以下元素的全体不能够构成集合的是（）.A.中国古代四大发明B.地球上的小河流C.方程210x的实数解D.周长为10cm的三角形【巩固】有下列说法：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3，2，1}；（3）方程2(1)(2)0xx的所有解的集合可表示为{1，1，2}；（4）集合{45}xx是有限集.其中正确的说法是（）.A.只有（1）和（4）B.只有（2）和（3）C.只有（2）D.以上四种说法都不对例2具有下列性质的对象能否构成集合，若能构成集合，用适当的方法表示出来。（1）10以内的质数；（2）x轴附近的点；（3）不等式3x+24x–1的解；（4）比3大于1的负数；（5）方程2x+y=8与方程x–y=1的公共解。例题精讲初升高衔接课程3/8【巩固】选择适当的方法表示下列集合集．(1)由方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合；(2)大于2且小于6的有理数；(3)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．例3（1）已知集合A=,612NxNx用列举法表示集合A=（2）设集合A={(x,y)|x+y=6,NyNx,}，使用列举法表示集合A=。【巩固】1.设集合A={x,x2,y2－1｝,B=｛0,|x|,,y｝且A=B,则x=,y=2.用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为()A．{1,1}B．{1}C．{x＝1}D．{x2－2x＋1＝0}例41.用符号“”或“”填空⑴0______N，5______N，16______N⑵1______,π_______,e______2RQQQð（e是个无理数）⑶2323________|6,,xxababQQ2.设集合},4121|{ZkkxxA，若29x，则下列关系正确的是（）A．AxB．C．Ax}{D．Ax}{【巩固】1.用适当的符号填空：已知{|32,}AxxkkZ，{|61,}BxxmmZ，则有：17A；－5A；17B.初升高衔接课程4/82.给出下列关系：（１）｛０｝是空集；（２）若aN，则aN；３.集合2210AxRxx（４）集合6BxQNx其中正确的个数为（）Ａ．１个Ｂ．２个Ｃ．３个Ｄ．０个4．已知实数2a，集合{|13}Bxx，则a与B的关系是.5.已知xR，则集合2{3,,2}xxx中元素x所应满足的条件为.例5下列命题正确的有（）⑴很小的实数可以构成集合；⑵集合2|1yyx与集合2,|1xyyx是同一个集合；⑶3611,,,,0.5242这些数组成的集合有5个元素；⑷集合,|0,,xyxyxyR≤是指第二和第四象限内的点集．A．0个B．1个C．2个D．3个【巩固】1.下面四个命题正确的是（）A．10以内的质数集合是{0，3，5，7}B．“个子较高的人”不能构成集合C．方程0122xx的解集是{1，1}D．偶数集为Nxkxx,2|下列各组中的两个集合M和N,表示同一集合的是（）.A.{}M,{3.14159}NB.{2,3}M,{(2,3)}NC.{|11,}MxxxN,{1}ND.{1,3,}M,{,1,|3|}N初升高衔接课程5/8例6（1）已知2x∈｛1，0，x｝，求实数x的值．（2）若1,3,132mmm，则m=_________。【巩固】1.集合｛（0，1），（2，－1）｝有个元素．2.已知集合A＝{1，a2}，实数a不能取的值的集合是________．3设集合}32,3,2{2aaA，}2|,12{|aB，已知BA55且，求实数a的值.例7已知P＝{x|2＜x＜a，x∈N}，已知集合P中恰有3个元素，则整数a＝________.例8已知集合{|8}MxNxN，则M中元素的个数是（）A．10B．9C．8D．7【巩固】1.已知集合A＝{x∈N*|－5≤x≤5}，则必有()A．－1∈AB．0∈AC.3∈AD．1∈A2.下列关系中，正确的个数为________．①12∈R；②2∉Q；③|－3|∉N*；④|－3|∈Q.例9下列四个集合中，不同于另外三个的是()A．{y|y＝2}B．{x＝2}C．{2}D．{x|x2－4x＋4＝0}初升高衔接课程6/8【巩固】下列各选项中的M与P表示同一集合的是（）A.{0},MPB.{(3,7)},{(7,3)}MPC.2{(,)|3,}MxyyxxR,2{|3,}PyyxxRD.22{|1,},{|(1)1,}MyyttRPttyyR例10若集合A={x︱0122xax，a∈R}．（1）、若A仅一个元素，求a的值．（2）、若A至多有一个元素，求a的范围．例11已知集合2{|1}2xaAax有唯一实数解，试用列举法表示集合A．【巩固】已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}．(1)若A中有两个元素，求实数a的取值范围；(2)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．初升高衔接课程7/8例12数集A满足：若a∈A，则a11∈A（a≠1）．（1）．若2∈A，求其它所有的元素．（2）．自行寻找一个数∈A，找出所有其它元素．（3）．找出规律，并证明．1.含两个元素的数集aaa2,中，实数a满足的条件是。2.下列关系中表述正确的是（）A.002xB.00,0（）C.0D.0N3.对于关系：①3217xx；②3∈Q；③0∈N；④0∈，其中正确的个数是A、4B、3C、2D、14．已知集合,,Sabc中的三个元素是ABC的三边长，那么ABC一定不是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形5.下列表示同一集合的是（）A．=M（2，1），（3，2）=N（1，2），（2，3）B．=MN1，22，1C．2=|1MyyxxR，2=|1NyyxxN，课后作业初升高衔接课程8/8D．2=|1MxyyxxR（，），2=|1NyyxxN，9.设a、b、c为非0实数，则M+abcabcabcabc的所有值组成的集合为（）A、{4}B、{-4}C、{0}D、{0，4，-4}10.已知2,1,,0|2Rnmnmxxx，求m，n的值.11.已知集合2=|AxaxxxR-3-4=0，（1）若A中有两个元素，求实数a的取值范围，(2)若A中至多只有一个元素，求实数a的取值范围。12．已知集合4{|}3AxNZx，试用列举法表示集合A.