历年高考数学真题汇编专题13-等差、等比数列的应用(解析版)

1/19历年高考数学真题汇编专题13等差、等比数列的应用1．【2019年高考全国III卷文数】已知各项均为正数的等比数列na的前4项和为15，且53134aaa，则3a（）A．16B．8C．4D．2【答案】C【解析】设正数的等比数列{an}的公比为q，则231111421111534aaqaqaqaqaqa，解得11,2aq，2314aaq，故选C．2．【2019年高考浙江卷】设a，b∈R，数列{an}满足a1=a，an+1=an2+b，nN，则（）A．当101,102baB．当101,104baC．当102,10baD．当104,10ba【答案】A【解析】①当b=0时，取a=0，则0,nanN.②当0b时，令2xxb，即20xxb.则该方程140b，即必存在0x，使得2000xxb，则一定存在10==aax，使得21nnnaaba对任意nN成立，解方程20aab，得1142ba，当114102b时，即90b…时，总存在1142ba，使得121010aaa，故C、D两项均不正确.2/19③当0b时，221aabb，则2232aabbb，22243aabbbb….（ⅰ）当12b时，22451111711,1222162aa，则26111112224a，2719222a，28918310224a，则2981102aa，21091102aa，故A项正确.（ⅱ）当14b时，令1==0aa，则2231111,4442aa，所以224311114242aa，以此类推，所以2210911114242aa，故B项不正确.故本题正确答案为A.遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a的可能取值，利用“排除法”求解.3、【2019年高考全国I卷文数】记Sn为等比数列{an}的前n项和.若13314aS，，则S4=___________．【答案】58【解析】设等比数列的公比为q，由已知223111314Saaqaqqq，即2104qq.3/19解得12q，所以441411()(1)521181()2aqSq．准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误．一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算3343431315()428SSaSaq，避免繁分式计算．4、【2019年高考全国III卷文数】记nS为等差数列na的前n项和，若375,13aa，则10S___________.【答案】100【解析】设等差数列na的公差为d，根据题意可得317125,613aadaad得11,2ad101109109101012100.22Sad5、【2019年高考江苏卷】已知数列*{}()nanN是等差数列，nS是其前n项和.若25890,27aaaS，则8S的值是__________．【答案】16【解析】由题意可得：25811191470989272aaaadadadSad，解得：152ad，则8187840282162Sad.等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建1ad,的方程组.6、【2019年高考全国I卷文数】记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=-a5．（1）若a3=4，求{an}的通项公式；（2）若a10，求使得Sn≥an的n的取值范围．4/19【解析】（1）设na的公差为d．由95Sa得140ad．由a3=4得124ad．于是18,2ad．因此na的通项公式为102nan．（2）由（1）得14ad，故(9)(5),2nnnndandS.由10a知0d，故nnSa等价于211100nn„，解得1≤n≤10．所以n的取值范围是{|110,}nnnN．该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.7、【2019年高考全国II卷文数】已知{}na是各项均为正数的等比数列，1322,216aaa.（1）求{}na的通项公式；（2）设2lognnba，求数列{}nb的前n项和．【解析】（1）设na的公比为q，由题设得22416qq，即2280qq．解得2q（舍去）或q=4．因此na的通项公式为121242nnna．（2）由（1）得2(21)log221nbnn，因此数列nb的前n项和为21321nn．本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题.8、【2019年高考北京卷文数】设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．（1）求{an}的通项公式；（2）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．5/19【解析】（1）设na的公差为d．因为110a，所以23410,102,103adadad．因为23410,8,6aaa成等比数列，所以23248106aaa．所以2(22)(43)ddd．解得2d．所以1(1)212naandn．（2）由（1）知，212nan．所以，当7n时，0na；当6n时，0na．所以，nS的最小值为630S．一、等差数列1、定义：数列na若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称na是等差数列，这个常数称为na的公差，通常用d表示2、等差数列的通项公式：11naand，此通项公式存在以下几种变形：（1）nmaanmd，其中mn：已知数列中的某项ma和公差即可求出通项公式（2）nmaadnm：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差（3）11naand：已知首项，末项，公差即可计算出项数3、等差中项：如果,,abc成等差数列，则b称为,ac的等差中项（1）等差中项的性质：若b为,ac的等差中项，则有cbba即2bac（2）如果na为等差数列，则2,nnN，na均为11,nnaa的等差中项6/19（3）如果na为等差数列，则mnpqaaaamnpq4、等差数列通项公式与函数的关系：111naanddnad，所以该通项公式可看作na关于n的一次函数，从而可通过函数的角度分析等差数列的性质。5、等差数列前n项和公式：12nnaaSn，此公式可有以下变形：（1）由mnpqmnpqaaaa可得：12pqnaaSnpqn，作用：在求等差数列前n项和时，不一定必须已知1,naa，只需已知序数和为1n的两项即可（2）由通项公式11naand可得：1111122naandnnSnand作用：①这个公式也是计算等差数列前n项和的主流公式②21111222nnndSandnadn，即nS是关于项数n的二次函数nN，且不含常数项，可记为2nSAnBn的形式。从而可将nS的变化规律图像化。（3）当21nkkN时，12121212kkaaSk因为1212kkaaa2121kkSka而ka是21kS的中间项，所以此公式体现了奇数项和与中间项的联系当2nkkN时122122kkkkaaSkkaa，即偶数项和与中间两项和的联系6、等差数列前n项和的最值问题：此类问题可从两个角度分析，一个角度是从数列中项的符号分析，另一个角度是从前n项和公式入手分析二、等比数列1、定义：数列na从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数0qq，则称na为等比数列，这个常数q称为数列的公比注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为1q的等比数列，而常数列0,0,0,只是等差数列7/192、等比数列通项公式：11nnaaq，也可以为：nmnmaaq3、等比中项：若,,abc成等比数列，则b称为,ac的等比中项（1）若b为,ac的等比中项，则有2abbacbc（2）若na为等比数列，则nN，1na均为2,nnaa的等比中项（3）若na为等比数列，则有mnpqmnpqaaaa4、等比数列前n项和公式：设数列na的前n项和为nS当1q时，则na为常数列，所以1nSna当1q时，则111nnaqSq可变形为：1111111nnnaqaaSqqqq，设11akq，可得：nnSkqk5、由等比数列生成的新等比数列（1）在等比数列na中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列（2）已知等比数列,nnab，则有①数列nka（k为常数）为等比数列②数列na（为常数）为等比数列，特别的，当1时，即1na为等比数列③数列nnab为等比数列④数列na为等比数列6、等比数列的判定：（假设na不是常数列）（1）定义法（递推公式）：1nnaqnNa（2）通项公式：nnakq（指数类函数）（3）前n项和公式：nnSkqk8/19题型一等差数列与等比数列的基本量等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组）.saann,,1,d(q),n等5个基本量知三求二。1、（2019年江苏卷）.已知数列*{}()nanN是等差数列，nS是其前n项和.若25890,27aaaS，则8S的值是_____.【答案】16.【解析】由题意首先求得首项和公差，然后求解前8项和即可.由题意可得：25811191470989272aaaadadadSad，解得：152ad，则8187840282162Sad.2、（2017江苏卷）等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则=．【答案】323、（2016江苏卷）已知{na}是等差数列，nS是其前n项和.若2123aa，5S=10，则9a的值是▲.【答案】20【解析】由510S得32a，因此2922(2)33,23620.ddda故4、(2019苏北三市期末）在等差数列{an}中，若a5＝12，8a6＋2a4＝a2，则{an}的前6项和S6的值为________．【答案】152解法1(基本量法)设an＝a1＋(n－1)d，n∈N*，则由a5＝12，8a6＋2a4＝a2，得{}nannS3676344SS,8a9/19a1＋4d＝12，8（a1＋5d）＋2（a1＋3d）＝a1＋d，解得a1＝52，d＝－12，所以S6＝6a1＋6×52d＝302＋6×52－12＝152.解法2(定义法)由等差数列的定义可得8a6＝8(a5＋d)，2a4＝2(a5－d)，a2＝a