初一数学绝对值典型例题

第1页共10页绝对值绝对值是有理数中非常重要的组成部分，它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。绝对值的定义及性质绝对值简单的绝对值方程化简绝对值式，分类讨论（零点分段法）绝对值几何意义的使用绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。绝对值的性质：（1）绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质；a（a＞0）（2）|a|=0（a=0）（代数意义）-a(a＜0)（3）若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0；（4）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a，且|a|≥-a；（5）若|a|=|b|，则a=b或a=-b；（几何意义）（6）|ab|=|a|·|b|；|ba|=||||ba（b≠0）；（7）|a|2=|a2|=a2；（8）|a+b|≤|a|+|b||a-b|≥||a|-|b|||a|+|b|≥|a+b||a|+|b|≥|a-b|内容概述绝对值的定义及性质第2页共10页[例1]（1）绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？（2）若ab|ab|，则下列结论正确的是（）A.a＜0，b＜0B.a＞0，b＜0C.a＜0，b＞0D.ab＜0（3）下列各组判断中，正确的是（）A．若|a|=b，则一定有a=bB.若|a|＞|b|,则一定有a＞bC.若|a|＞b，则一定有|a|＞|b|D.若|a|=b，则一定有a2=(-b)2（4）设a，b是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？分析：（1）结合数轴画图分析。绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3，±4，有4个（2）答案C不完善，选择D.在此注意复习巩固知识点3。（3）选择D。（4）根据绝对值的非负性可以知道|a+b|≥0，则|a+b|≥9，有最小值9[巩固]绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？分析：绝对值小于3.1的整数有0，±1，±2，±3，和为0。[巩固]有理数a与b满足|a||b|，则下面哪个答案正确（）A.a＞bB.a=bC.abD.无法确定分析：选择D。[巩固]若|x-3|=3-x，则x的取值范围是____________分析：若|x-3|=3-x，则x-3≤0，即x≤3。对知识点3的复习巩固[巩固]若a＞b，且|a||b|，则下面判断正确的是（）A.a＜0B.a＞0C.b＜0D.b＞0分析：选择C[巩固]设a，b是有理数，则-8-|a-b|是有最大值还是最小值？其值是多少？分析：|a-b|≥0，-8-|a-b|≤-8，所以有最大值-8[例2]（1）（竞赛题）若3|x-2|+|y+3|=0，则xy的值是多少？（2）若|x+3|+(y-1)2=0，求nxy)4(的值第3页共10页分析：（1）|x-2|=0，|y+3|=0，x=2，y=-3，xy=23（2）由|x+3|+（y-1）2=0，可得x=-3，y=1。xy4=314=-1n为偶数时，原式=1；n为奇数时，原式=-1小知识点汇总：（本源|a|≥0b2≥0）若(x-a)2+(x-b)2=0,则x-a=0且x-b=0；若|x-a|+(x-b)2=0,则x-a=0且x-b=0；若|x-a|+|x-b|=0，则x-a=0且x-b=0；当然各项前面存在正系数时仍然成立，非负项增加到多项时，每一项均为0，两个非负数互为相反数时，两者均为0【例3】（1）已知x是有理数，且|x|=|-4|，那么x=＿＿＿＿（2）已知x是有理数，且-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿（3）已知x是有理数，且-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿（4）如果x，y表示有理数，且x，y满足条件|x|=5，|y|=2，|x-y|=y-x，那么x+y的值是多少？分析：（1）4，-4（2）2，-2，（3）2，-2（4）x=±5，y=±2，且|x-y|=y-x，x-y≤0；当x=5，y=2时不满足题意；当x=5，y=-2时不满足题意；当x=-5，y=2时满足题意；x+y=-3；当x=-5，y=-2时满足题意，x+y=-7。【巩固】巩固|x|=4，|y|=6，求代数式|x+y|的值分析：因为|x|=4，所以x=±4，因为|y|=6，所以y=±6当x=4，y=6时，|x+y|=|10|=10；当x=4，y=-6时，|x+y|=|-2|=2;当x=-4，y=6时，|x+y|=|2|=2；当x=-4，y=-6时，|x+y|=|10|=10【例4】简单的绝对值方程第4页共10页解方程：（1）05|5|23x（2）|4x+8|=12（3）|3x+2|=-1（4）已知|x-1|=2，|y|=3，且x与y互为相反数，求yxyx4312的值分析：（1）原方程可变形为：|x+5|=310，所以有x+5=±310，进而可得：x=-35，-325；（2）4x+8=±12，x=1，x=-5（3）此方程无解（4）|x-1|=2，x-1=±2，x=3，x=-1，|y|=3，y=±3，且x与y互为相反数，所以x=3，y=-3，244312yxyx【例5】若已知a与b互为相反数，且|a-b|=4，求12abababa的值分析：a与b互为相反数，那么a+b=0。12abababa=,4,4||,1001)(babaabaabbaaabba当a-b=4时，且a+b=0，那么a=2，b=-2，-ab=4；当a-b=-4时，且a+b=0，那么a=-2，b=2，-ab=4；综上可得12abababa=4【例6】（1）已知a=-21，b=-31，求||32|34|2|2|4)2(|42|2abbababa的值（2）若|a|=b，求|a+b|的值（3）化简：|a-b|分析：（1）原式=718||31|334|2|3221|4)3221(|341|2（2）|a|=b，我们可以知道b≥0，当a0时，a=-b，|a+b|=0；当a≥0时，a=b，|a+b|=2b（3）分类讨论。化简绝对式第5页共10页当a-b＞0时，即a＞b，|a-b|=a-b；当a-b=0时，即a=b，|a-b|=0；当a-b＜0时，即a＜b，|a-b|=b-a。【巩固】化简：（1）|3.14-π|（2）|8-x|（x≥8）分析：（1）3.14π，3.14-π＜0，|3.14-π|=π-3.14（2）x≥8，8-x≤0，|8-x|=x-8。【例7】有理数a，b，c在数轴上对应点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b|分析：|b+a|+|a+c|+|c-b|=b+a-（a+c）-（c-b）=2b-2c【巩固】已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|分析：|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|=-a+b-c-a+c+b-a=2b-3a【巩固】数a，b在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||分析：|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||=-（a+b）+（b-a）+b-（-2a）=b【例8】（1）若a-b且0ba，化简|a|-|b|+|a+b|+|ab|（2）若-2≤a≤0，化简|a+2|+|a-2|（3）已知x0z,xy0,|y||z||x|,求|x+z|+|y+z|-|x-y|的值分析：（1）若a-b且0ba，a0,b0,a+b0,ab0|a|-|b|+|a+b|+|ab|=-a+b-a-b+ab=ab-2a(2)因为-2≤a≤0，所以a+2≥0，a-2≤0，|a+2|+|a-2|=(a+2)-(a-2)=4(3)由x0z,xy0可得：y0z,又|y||z||x|,可得：yxz;原式=x+z-y-z-x+y=0【巩固】如果0m10并且m≤x≤10，化简|x-m|+|x-10|+|x-m-10|分析：|x-m|+|x-10|+|x-m-10|=x-m+10-x+m+10-x=20-x【例9】（1）已知x-3,化简|3+|2-|1+x|||（2）若a0，试化简||3|||3|2aaaa分析：（1）当x-3时，|3+|2-|1+x|||=|3+|2+1+x||=|3+|3+x||=|3-3-x|=|-x|=-xCB0Aa0cba0b第6页共10页（2）||3|||3|2aaaa=|3|32aaaa=aa45=-45【例10】若abc≠0，则||||||ccbbaa的所有可能值分析：从整体考虑：（1）a，b，c全正，则||||||ccbbaa=3；（2）a，b，c两正一负，则||||||ccbbaa=1；（3）a，b，c一正两负，则||||||ccbbaa=-1；（4）a，b，c全负，则||||||ccbbaa=-3【巩固】有理数a，b，c，d，满足1||abcdabcd，求ddccbbaa||||||||的值分析：有1||abcdabcd知abcd0，所以a，b，c，d里含有1个负数或3个负数：（1）若含有1个负数，则ddccbbaa||||||||=2；（2）若含有3个负数，则ddccbbaa||||||||=-2【例11】化简|x+5|+|2x-3|分析：先找零点。x+5=0，x=-5；2x-3=0，x=23，零点可以将数轴分成几段。当x≥23，x+5＞0,2x-3≥0，|x+5|+|2x-3|=3x+2；当-5≤x＜23，x+5≥0,2x-3＜0，|x+5|+|2x-3|=8-x；当x-5，x+50,2x-3，|x+5|+|2x-3|=-3x-2【巩固】化简：|2x-1|分析：先找零点。2x-1=0，x=21，依次零点可以将数轴分成几段（1）x21,2x-10，|2x-1|=﹣（2x-1）=1﹣2x；（2）x=21，2x-1=0，|2x-1|=0第7页共10页（3）x21，2x-10，|2x-1|=2x-1。也可将（2）与（1）合并写出结果【例12】求|m|+|m-1+|m-2|的值分析：先找零点，m=0，m-1=0，m-2=0，解得m=0,1,2依这三个零点将数轴分为四段：m＜0,0≤m＜1,1≤m＜2，m≥2。当m0时，原式=﹣m﹣（m-1）-（m-2）=-3m+3当0≤m＜1时，原式=m-（m-1）-（m-2）=-m+3当1≤m＜2时，原式=m+（m-1）-（m-2）=m+1当m≥2时，原式m+(m-1)+（m-2）=3m-3|a|的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离|a-b|的几何意义：在数轴上，表示数a，b对应数轴上两点间的距离【例13】求|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值分析：由上题可知，本题中的式子值应为x所对应的点分别到3,5,2，-1，-7所对应的点距离和。通过数轴可以看到，当x=2时，五段距离的和有最小值16。这里我们可以把小学奥数中的相关知识联系到一起讲解：【小学奥数相关题目】如图，在接到上有A、B、C、D、E五栋居民楼，现在设立一个邮筒，为使五栋楼的居民到邮筒的就努力之和最短，邮局应立于何处？分析：我们来分析以下A、E两个点，不论这个邮筒放在AE之间的哪一点，A到邮筒的距离加上E到邮筒的距离就是AE的长度。也就是说邮筒放在哪不会影响这两个点到邮筒的距离之和。那么我们就使其他的3个点到邮筒的距离之和最短，再看为了使B、D两个到邮筒的距离之和也是不变的，等于BD。最后，只需要考虑C点到邮筒的距离最近就行了。那么当然也就是把邮筒放在C点了。这里就体现了一个“向中心靠拢的思想”题后小结论：求|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|的最小值：当n为奇数时，把a1、a2、…an从小到大排列，x等于最中间的数值时，该式子的值最小。绝对值几何意义的应用ABCDE第8页共10页当n为偶数时，把a1、a2、…an从小到