高考小题分项练-7数列

高考小题分项练7数列1．在等比数列{an}中，若a1＝19，a4＝3，则该数列前五项的积为()A．±3B．3C．±1D．12．已知数列{an}是公差为2的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，则a2为()A．－2B．－3C．2D．33．等差数列{an}的前n项和为Sn，若Snan＝n＋12，则a2a3等于()A．2B.32C.23D.134．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝(1＋cos2nπ2)an＋sin2nπ2，则该数列的前12项和为()A．211B．212C．126D．1475．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a7＋a12＝24，则S13等于()A．52B．78C．104D．2086．正项等比数列{an}中的a1，a4031是函数f(x)＝13x3－4x2＋6x－3的极值点，则log6a2016等于()A．1B．2C.2D．－17．设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝32(an－1)(n∈N*)，则an等于()A．3(3n－2n)B．3n＋2C．3nD．3·2n－18．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为()A．1升B.6766升C.4744升D.3733升9．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2015等于()A．22015－1B．21009－3C．3×21007－3D．21008－310．已知数列{an}的通项公式为an＝log2n＋1n＋2(n∈N*)，设其前n项和为Sn，则使Sn－5成立的自然数n()A．有最小值63B．有最大值63C．有最小值31D．有最大值3111．已知函数f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于()A．0B．－100C．100D．1020012．设等比数列{an}的公比为q，其前n项之积为Tn，并且满足条件：a11，a2015a20161，a2015－1a2016－10.给出下列结论：①0q1；②a2015a2017－10；③T2016的值是Tn中最大的；④使Tn1成立的最大自然数等于4030.其中正确的结论为()A．①③B．②③C．①④D．②④13．已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.14．某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药(片剂)，要求此患者每天早、晚间隔12小时各服一次药，每次一片，每片200毫克．假设该患者的肾脏每12小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的50%，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过400毫克时无明显副作用．若该患者第一天上午8点第一次服药，则第二天上午8点服完药时，药在其体内的残留量是________毫克．若该患者坚持长期服用此药，则________明显副作用(此空填“有”或“无”)．15．若数列{an}是正项数列，且a1＋a2＋…＋an＝n2＋3n，则a12＋a23＋…＋ann＋1＝________.16．已知各项均为正数的数列{an}满足an＋1＝an2＋14，a1＝72，Sn为数列{an}的前n项和，若对于任意的n∈N*，不等式12k12＋n－2Sn≥2n－3恒成立，则实数k的取值范围为________．高考小题分项练7数列答案1答案D2答案D3答案C解析当n＝3时，a1＋a2＋a3a3＝3a2a3＝3＋12，∴a2a3＝23.故选C.4答案D解析∵a1＝1，a2＝2，an＋2＝(1＋cos2nπ2)an＋sin2nπ2，∴a3＝a1＋1＝2，a4＝2a2＝4，…，a2k－1＝a2k－3＋1，a2k＝2a2k－2(k∈N*，k≥2)．∴数列{a2k－1}成等差数列，数列{a2k}成等比数列．∴该数列的前12项和为(a1＋a3＋…＋a11)＋(a2＋a4＋…＋a12)＝(1＋2＋…＋6)＋(2＋22＋…＋26)＝6×1＋62＋226－12－1＝21＋27－2＝147.5答案C解析由a2＋a7＋a12＝24，得a7＝8，所以，S13＝13a1＋a132＝13a7＝104，故选C.6答案A解析∵f′(x)＝x2－8x＋6，∴a1·a4031＝6，∴a22016＝6，∵a20160，∴a2016＝6，log6a2016＝1.7答案C解析由已知得，a1＝S1＝32a1－1，a1＋a2＝32a2－1，解得a1＝3，a2＝9，代入选项检验，只有C符合．8答案B解析设竹子自上而下各节的容积分别为：a1，a2，…，a9，且为等差数列，根据题意得：a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，即4a1＋6d＝3，①3a1＋21d＝4，②②×4－①×3得：66d＝7，解得d＝766，代入①得：a1＝1322，则a5＝1322＋(5－1)×766＝6766.9答案B解析∵a1＝1，an＋1·an＝2n，∴a2＝2，∴当n≥2时，an·an－1＝2n－1，∴an＋1an－1＝2n2n－1＝2，∴数列{an}中奇数项、偶数项分别成等比数列，∴S2015＝1－210081－2＋21－210071－2＝21009－3，10答案A解析∵an＝log2n＋1n＋2(n∈N*)，∴Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝log223＋log234＋…＋log2n＋1n＋2＝log2(23×34×…×n＋1n＋2)＝log22n＋2，又因为Sn－5＝log2132⇒2n＋2132⇒n62，故使Sn－5成立的正整数n有最小值63.11答案B解析∵f(n)＝n2cos(nπ)＝－n2n为奇数n2n为偶数＝(－1)n·n2，∴由an＝f(n)＋f(n＋1)＝(－1)n·n2＋(－1)n＋1·(n＋1)2＝(－1)n[n2－(n＋1)2]＝(－1)n＋1·(2n＋1)，得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)＝50×(－2)＝－100.故选B.12答案C解析由a2015－1a2016－10可知：a20151或a20161.如果a20151，那么a20161，若a20150，则q0；又因为a2016＝a1q2015，所以a2016应与a1异号，即a20160，这与假设矛盾，所以q0.若q≥1，则a20151且a20161，与推出的结论矛盾，所以0q1，故①正确．a2015a2017＝(a2016)21，故②错误．由结论①可知a20151，a20161，所以数列从第2016项开始小于1，所以T2015最大．故③错误．由结论①可知数列从第2016项开始小于1，而Tn＝a1a2a3…an，T4031＝a1·a2·…·a4031＝(a1·a4031)·(a2·a4030)·…·(a2015·a2017)·a20161，所以Tn1对应的最大自然数为4030，故④正确．13答案63解析解方程x2－5x＋4＝0，得x1＝1，x2＝4.因为数列{an}是递增数列，且a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，所以a1＝1，a3＝4.设等比数列{an}的公比为q，则q2＝a3a1＝41＝4，所以q＝2.则S6＝a11－q61－q＝1×1－261－2＝63.14答案350无解析设该病人第n次服药后，药在体内的残留量为an毫克，所以a1＝200，a2＝200＋a1(1－50%)＝300，a3＝200＋a2(1－50%)＝350.由an＝200＋0.5an－1(n≥2)，得an－400＝0.5(an－1－400)(n≥2)，所以{an－400}是一个等比数列，所以an－400＝－200×0.5n－10，∴an400.所以若该患者坚持长期服用此药无明显副作用．15答案2n2＋6n解析记Tn＝a1＋a2＋…＋an，∴an＝Tn－Tn－1＝n2＋3n－[(n－1)2＋3(n－1)]＝2(n＋1)，∴an＝4(n＋1)2(n≥2)．令n＝1，∴a1＝4⇒a1＝16，∴an＝4(n＋1)2，∴ann＋1＝4(n＋1)．∴a12＋a23＋…＋ann＋1＝4(2＋3＋…＋n＋1)＝4·2＋n＋12·n＝2n2＋6n.答案k≥38解析an＋1＝Aan＋B⇒an＋1－B1－A＝A(an－B1－A)，因此an＋1－12＝12(an－12)，故{an－12}是首项为3，公比为12的等比数列．因此2Sn－n＝12(1－12n)，故不等式可化简为k≥2n－32n.因此令函数f(n)＝2n－32n，令f′(n)＝2·2n－2n－32nln22n2＝0，解得2n＝2ln2＋3，正整数n可取2或3，f(2)＝14，f(3)＝38.所以k≥38.