数列训练(7)-数列实际应用

1数列训练（7）数列实际应用数列实际应用4.为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2006年底，将当地沙漠绿化了40%，从2007年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲（被绿化的部分叫绿洲），同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？（可参考数据lg2=0.3，最后结果精确到整数）.解设该地区总面积为1，2006年底绿化面积为a1=52，经过n年后绿洲面积为an+1，设2006年底沙漠面积为b1，经过n年后沙漠面积为bn+1，则a1+b1=1，an+bn=1.依题意an+1由两部分组成：一部分是原有绿洲an减去被侵蚀的部分8%·an的剩余面积92%·an，另一部分是新绿化的12%·bn，所以an+1=92%·an+12%(1-an)=54an+253,即an+1-53=54(an-53),∴53na是以-51为首项，54为公比的等比数列，则an+1=53-5154n,∵an+1＞50%,∴53-5154n＞21,∴54n﹤21,n＞log5421=2lg312lg=3.则当n≥4时，不等式54n﹤21恒成立.所以至少需要4年才能使绿化面积超过50%.例3假设某市2008年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2008年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？（参考数据：1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)解（1）设中低价房的面积形成的数列为{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1=250,d=50,2则an=250+(n-1)·50=50n+200Sn=250n+2)1(nn×50=25n2+225n,令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数，∴n≥10.∴到2017年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.（2）设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，其中b1=400,q=1.08,则bn=400·(1.08)n-1.由题意可知an＞0.85bn,即50n+200＞400·(1.08)n-1·0.85.当n=5时，a5﹤0.85b5,当n=6时，a6＞0.85b6,∴满足上述不等式的最小正整数n为6.∴到2013年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.例4.美国某公司给员工加工资有两个方案：一是每年年末加1000美元；二是每半年结束时加300美元．问：⑴从第几年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多？⑵如果在该公司干10年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元？⑶如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a美元．问a取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？解：⑴设工作年数为n（n∈N*），第一种方案总共加的工资为S1，第二种方案总共加的工资为S2．则：S1＝1000×1＋1000×2＋1000×3＋…＋1000n＝500(n＋1)nS2＝300×1＋300×2＋300×3＋…＋300×2n＝300(2n＋1)n由S2S1，即：300(2n＋1)n500(n＋1)n解得：n2∴从第3年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多．⑵当n＝10时，由⑴得：S1＝500×10×11＝55000S2＝300×10×21＝63000∴S2－S1＝8000∴在该公司干10年，选第二种方案比选第一种方案多加工资8000美元．⑶若第二种方案中的300美元改成a美元．则12S＝an(2n＋1)n∈N*∴a＞12)1(500nn＝250＋12250n≥250＋3250＝31000变式训练4.假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,3(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?解：(1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列,其中a1=250,d=50,则Sn=250n+502)1(nn=25n2+225n,令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数,∴n≥10.到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.(2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,其中b1=400,q=1.08,则bn=400·(1.08)n-1·0.85.由题意可知an0.85bn,有250+(n-1)·50400·(1.08)n-1·0.85.由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.3.某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d＞0),因此，历年所交纳的储备金数目a1,a2,…是一个公差为d的等差数列.与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r(r＞0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1+r)n-1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1+r)n-2,…….以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.（1）写出Tn与Tn-1(n≥2)的递推关系式；（2）求证：Tn=An+Bn,其中{An}是一个等比数列，{Bn}是一个等差数列.（1）解我们有Tn=Tn-1(1+r)+an(n≥2).（2）证明T1=a1,对n≥2反复使用上述关系式，得Tn=Tn-1(1+r)+an=Tn-2(1+r)2+an-1(1+r)+an=…=a1(1+r)n-1+a2(1+r)n-2+…+an-1(1+r)+an.①在①式两端同乘1+r，得(1+r)Tn=a1(1+r)n+a2（1+r）n-1+…+an-1(1+r)2+an(1+r).②②-①,得rTn=a1(1+r)n+d［(1+r)n-1+(1+r)n-2+…+(1+r)］-an=rd［(1+r)n-1-r］+a1(1+r)n-an,即Tn=21rdra(1+r)n-rdn-21rdra.如果记An=21rdra(1+r)n,Bn=-21rdra-rdn,则Tn=An+Bn,4其中{An}是以21rdra(1+r)为首项，以1+r（r＞0）为公比的等比数列；{Bn}是以-21rdra-rd为首项，-rd为公差的等差数列.（2010·江门调研）⒛（本小题满分14分）某地在保民生促增长中拟投资某项目，据测算，第一个投资季度投入1000万元，将带动GDP增长400万元。以后每个投资季度比上季度减少投入100万元，由于累计投资的促进作用，预计每季度带动GDP增长额将比上季度增加25%。设到第n个投资季度结束，总投入为nS万元，带动GDP增长总额为nT万元。⑴求nS，nT的表达式；⑵至少经过几个投资季度，带动GDP增长总额才能超过总投入？（直接写出结果即可）参考数据：⒛⑴设第n个投资季度的投入为na万元，带动GDP增长nb万元……1分，依题意，10001a，1001nnaa……3分，4001b，nnnbbb45%)251(1……5分，所以nan1001100，nnb)45(320……7分，)21(502)(1nnaanSnn……9分，]1)45[(1600451])45(1[400nnnT……11分．⑵至少经过6个投资季度，带动GDP增长总额才能超过总投入……14分．（2010·佛山二模）19．（本题满分14分）国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费.每一年度申请总额不超过6000元.某大学2010届毕业生凌霄在本科期间共申请了24000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内（按36个月计）全部还清.n34567)21(nn5468809098]1)45[(16n25.204811.23163698.3264210104.452561152929.601024617415签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元，第13个月开始，每月工资比前一个月增加5%直到4000元.凌霄同学计划前12个月每个月还款额为500，第13个月开始，每月还款额比前一月多x元.（Ⅰ）若凌霄恰好在第36个月（即毕业后三年）还清贷款，求x的值；（Ⅱ）当50x时，凌霄同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他当月工资的余额是否能满足每月3000元的基本生活费？（参考数据：181920211.052.406,1.052.526,1.052.653,1.052.786）19．解：（Ⅰ）依题意，从第13个月开始，每个月的还款额为na构成等差数列，其中1500ax，公差为x.……………2分从而，到第36个月，凌霄共还款124(241)12500242ax………………………4分令24(241)12500(500)24240002xx，解之得20x（元）.……………………6分即要使在三年全部还清，第13个月起每个月必须比上一个月多还20元.…………………7分（Ⅱ）设凌霄第n个月还清，则应有(12)(121)12500(50050)(12)50240002nnn…………………8分整理可得238280nn，解之得33321302n，取31n.…………………10分即凌霄工作31个月就可以还清贷款.这个月凌霄的还款额为(3012)(30121)24000[12500(50050)(3012)50]4502元…………………12分第31个月凌霄的工资为1915001.0515002.5263789元.因此，凌霄的剩余工资为37894503339，能够满足当月的基本生活需求.…………………14分若有穷数列12,...naaa（n是正整数），满足1211,....nnnaaaaaa即1iniaa（i是正整数，且1in），就称该数列为“对称数列”。6（1）已知数列nb是项数为7的对称数列，且1234,,,bbbb成等差数列，142,11bb，试写出nb的每一项（2）已知nc是项数为211kk的对称数列，且121,...kkkccc构成首项为50，公差为4的等差数列，数列nc的前21k项和为21kS，则当k为何值时，21kS取到最大值？最大值为多少？（3）对于给定的正整数1m，试写出所有项数不超过2m的对称数列，使得211,2,2...2m成为数列中的连续项；当1500m时，试求其中一个数列的前2008项和2008S解：（1）设nb的公差为d，则1132314ddbb，解得3d，数列nb为25811852，，，，，，．（2）12112112kkkkkccccccSkkkkcccc)(2121，50134)13(42212kSk，当13k时，12kS取得最大值．12kS的最大值为626．（3）所有可能的“对称数列”是：①22122122222221mmm，