数列与数学归纳法专题

数列与数学归纳法专题上海市久隆模范中学石英丽经典例题【例1】已知数列na的前n项和为nS，且*,855NnanSnn.（1）证明：1na是等比数列；（2）求数列nS的通项公式，并求出使得nnSS1成立的最小正整数n.解：(1)当1n时，141a；当2n时，15511nnnnnaaSSa，所以16511nnaa.又01511a，所以数列1na是以－15为首项，65为公比的等比数列.(2)由(1)知：165151nna，得1651nna从而*1,906575NnnSnn；由nnSS1得252651n，9.141252log65n，最小正整数15n.【例2】等差数列na的前n项和为239,21,31SaSn．（1）求数列{}na的通项na与前n项和nS；（2）设()nnSbnnN，求证：数列{}nb中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：（1）由已知得112133932aad，，2d，故212(2)nnanSnn，．（2）由（Ⅰ）得2nnSbnn．假设数列{}nb中存在三项pqrbbb，，（pqr，，互不相等）成等比数列，则2qprbbb．即2(2)(2)(2)qpr．2()(2)20qprqprpqrN，，，2020qprqpr，，22()02prprprpr，，．与pr矛盾．所以数列{}nb中任意不同的三项都不可能成等比数列．【例3】已知公差不为0的等差数列na的首项1a为aRa,设数列的前n项和为4211,1,1,aaaSn且成等比数列.（1）求数列na的通项公式及nS；（2）记naaaaBSSSAnnn2221211111,1112，当2n时，试比较nA与nB的大小．解：（1）设等差数列na的公差为d，由4122111aaa，得)3(1121daada.因为0d，所以ad所以21,1nanSnaann.（2）因为11121nnaSn，所以)111(211121naSSSAnn.因为aann1221，所以nnnaaaaaaBn211221121111111122221.当12,210nCCCnnnnnn时，即nn211111.所以，当nnnnBAaBAa时当时0;0.【例4】已知21a，点1,nnaa在函数xxxf22的图象上，其中=1，2，3，…（1）证明数列na1lg是等比数列；（2）设nnaaaT11121，求nT及数列na的通项；（3）记211nnnaab，求数列}{nb的前项和Sn，并证明132nnTS=1.解：（1）由已知212nnnaaa，211(1)nnaa12a11na，两边取对数得1lg(1)2lg(1)nnaa，即1lg(1)2lg(1)nnaa{lg(1)}na是公比为2的等比数列.（2）由（Ⅰ）知11lg(1)2lg(1)nnaa1122lg3lg3nn1213nna（*）12(1)(1)nTaan…(1+a)012222333n-12…321223n-1…+2=n2-13由（*）式得1231nna（3）nnnaaa2211(2)nnnaaa11111()22nnnaaa11122nnnaaa.又112nnnbaa1112()nnnbaa12nSbbn…+b122311111112()nnaaaaaa…+11112()naa.1221131,2,31nnnnaaa22131nnS.又213nnT2131nnST.【例5】已知数列na满足2,021aa，且对任意*,Nnm都有211212)(22nmaaanmnm.（1）求53,aa；（2）设)(*1212Nnaabnnn，证明：nb是等差数列；（3）设*11,0,Nnqqaacnnnn，求数列}{nc的前n项和nS.解：(1)由题意，6221,2123aaanm可得令，再令20821,3135aaanm可得.(2)当*Nn时，由已知(以mn代替2)可得82121232nnnaaa.于是8)(][1212112112nnnnaaaa，即6,81211aabbbnn.所以nb是以6为首项，8为公差的等差数列.(3)由(1)(2)解答可知28,281212naanbnnn即.另由已知(令1m)可得211212naaann.那么nnnnaaaannnn21222812212121，于是12nnnqc.当1q时，12642nnnSn；当1q时，12102642nnnqqqqS.两边同乘以q，可得nnnqqqqqS2642321.上述两式相减得qnqqnnqqqnqqqqSqnnnnnnn111221122121112.所以21)1(112qnqqnSnnn.综上所述，1,11,111221qnnqqnqqnSnnn数列与数学归纳法专题检测题一、填空题（每小题4分，满分40分）1.列na是首项为1，公比为23a的无穷等比数列，且na各项的和为a，则a的值是.2.等比数列{}na的前n项和为nS，已知1S，22S，33S成等差数列，则{}na的公比为__.3.函数()2xfx,等差数列{}xa的公差为2.若246810()4faaaaa,则212310log[()()()()]fafafafa.4.知数列}{na、}{nb都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a、1b，且511ba，*11,Nba．设nbnac（*Nn），则数列}{nc的前10项和等于.5.知数列na的首项10a，其前n项的和为nS，且112nnSSa，则limnnnaS.6.知等比数列{}na满足0,1,2,nan，且25252(3)nnaan，则当1n时，2123221logloglognaaa.7.差数列na的前n项和为nS，已知2110mmmaaa，2138mS,则m.8.全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910．．．．．．．按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为.9.na是公比为q的等比数列，||1q，令1(1,2,)nnban，若数列nb有连续四项在集合53,23,19,37,82中，则6q=.10.知数列na满足：ma1（m为正整数），1,231,nnnnnaaaaa当为偶数时，当为奇数时。若6a＝1，则m所有可能的取值为__________.二、解答题（本大题共有5题，解答下列各题必须在规定区域内写出必要的步骤）11.设数列na满足11111011nnaaa且.（1）求na的通项公式；（2）设nabnn11，记nkknbS1,证明1nS.12.等比数列na中，321,,aaa分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且321,,aaa中的任何两个数不在下表的同一列．第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（1）求数列na的通项公式；（2）若数列nb满足：nnnnaabln1，求数列nb的前n项和nS.13.设d为非零实数，*11221,121NndnCdCndCdCnannnnnnnnn.（1）写出321,,aaa并判断na是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由；（2）设)(,*Nnndabnn，求数列nb的前n项和nS.14.设数列na的前n项和为nS，且方程02nnaxax有一根为,3,2,1,1nSn（1）求21,aa；（2）na的通项公式．15.已知有穷数列A：12,,,naaa，(2n).若数列A中各项都是集合{|11}xx的元素，则称该数列为Γ数列.对于Γ数列A，定义如下操作过程T：从A中任取两项,ijaa，将1ijijaaaa的值添在A的最后，然后删除,ijaa,这样得到一个1n项的新数列1A(约定:一个数也视作数列).若1A还是Γ数列，可继续实施操作过程T，得到的新数列记作2A，,如此经过k次操作后得到的新数列记作kA.（1）设11:0,,.23A请写出1A的所有可能的结果；（2）求证：对于一个n项的Γ数列A操作T总可以进行1n次；（3）设5111511111:,.7654623456A，，，，，，，，求9A的可能结果，并说明理由.数列与数学归纳法专题检测题答案一、填空题1.2；2.13q；3.－6；4.85；5.12；6.2n；7.10；8.262nn；9.－9（提示81，－54，36，－24）；10.4532；二、解答题11.设数列na满足11111011nnaaa且（1）求na的通项公式；（2）设nabnn11，记nkknbS1,证明1nS解：（1）由题设111111nnaa即na11是公差为1的等差数列。又1111a，故nan11所以nan11（2）由（I）得1111111nnnnnnnabnn，11111nbSnkkn12.等比数列na中，321,,aaa分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且321,,aaa中的任何两个数不在下表的同一列．第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（1）求数列na的通项公式；（2）若数列nb满足：nnnnaabln1，求数列nb的前n项和nS解：（1）当31a时，不合题意；当21a时，当且仅当18,632aa时，符合题意；当101a时，不合题意.因此18,6,2321aaa所以公式3q，故132nna（2）因为3ln12ln13232ln132ln1111naabnnnnnnnnn=3ln13ln2ln1321nnnn所以3ln]1321[)3ln2](ln1111[331212nSnnnn当n为偶数时，13ln233ln231312nnSnnn当n为奇数时，12ln3ln2133ln21)3ln2(ln31312nnnSnnn综上所述，为奇数为偶数nnnnSnnn,12ln3ln213,13ln2313.设d为非零实数，*11221,121NndnCdCndCdCnannnnnnnnn（1）写出321,,aaa并判断na是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由；（2）设)(,*Nnnda