第八节微分形式的外微分

第八节微分形式的外微分一微分形式及其外积我们知道,一个可微函数12(,,,)nfxxx的全微分为1niiifdfdxx.它是12,,ndxdxdx的线性组合,一个很自然的想法是将12,,ndxdxdx看作一个线性空间的基.设是n上的区域,记12(,,)nxxxx,1()C(1,2,,in)为上连续可微函数全体.将12,,ndxdxdx看作一组基,其线性组合11122()()(),()()(1,2,,)nniaxdxaxdxaxdxaxCin称为一次微分形式,简称1-形式.1-形式的全体记为1()(或1).如果对1中的元素定义加法、数乘、零元和负元等,就可以使1成为一个1()C上的线性空间.对于任意1,:1122()()()nnaxdxaxdxaxdx,1122()()()nnbxdxbxdxbxdx,定义和(1()C)为111222(()())(()())(()())nnnaxbxdxaxbxdxaxbxdx,1122(()())(()())(()())nnxaxdxxaxdxxaxdx,进一步定义1中的零元为120000ndxdxdx,且定义负元为1122(())(())(())nnaxdxaxdxaxdx显然1成为一个1()C上的线性空间.为了得到二次微分形式,我们先引入向量的外积这个概念.设12(,)aaa,12(,)bbb为平面2上两个线性无关的向量,我们将行列式1212aabb称为向量a与b的外积,记为ab,即1212aaabbb.平面上的向量的外积的讨论可以推广到n上去.设12(,,,),1,2,,,iiiinaaaain定义他们的外积为11121212221212nnnnnnnaaaaaaaaaaaa.它是由12,,,naaa所张成的平行2n面体的有向体积.而且这种体积满足反对称性和分配律.类似于向量的外积,规定,0(,1,2,,)ijjiiidxdxdxdxdxdxijn.因此共有2nC个有序元,1.ijdxdxijn以这些有序元为基就可以构造一个线性空间2.其中2的元素称为二次微分形式.简称2-形式.于是2中的元素可以表示为1()ijijijngxdxdx.这种形式称为2-形式的标准形式.一般地,在12{,,,}ndxdxdx中任意选取k个组成有序元,记为12kiiidxdxdx,这里12,,,kiii是从集合{1,2,,}n中选取的任意k个整数.规定1212,1iikkdxdxdxiiin.以这些有序元为基构造一个线性空间k.其中k的元素称为k次微分形式.简称k-形式.于是一般k-形式就可以表示为121212,,,1()kkkiiiiiiiiingxdxdxdx.这种形式称为k形式的标准形式.显然,当kn时,总有120kiiidxdxdx,因此{0}k.上的连续可微函数称为0形式,它们的全体记为0,它是一个线性空间,函数1g是它的一个基.现在把ijdxdx中的理解为一种运算.对于任意1,:1122()()()nnaxdxaxdxaxdx,1122()()()nnbxdxbxdxbxdx,定义与的外积为1()()()()ijijijnijaxaxdxdxbxbx它是2中的元素.下面把这样的外积定义推广到任意的i和j上去.若记为线性空间01,,,n之和,即有01n,于是是一个2n(因012nnnnnCCC)维的线性空间,因此中的元素的一般形式为01,,0,1,,iniin.记12pIiiidxdxdxdx,12qJjjjdxdxdxdx.则1212pqIJiiijjjdxdxdxdxdxdxdxdx它是()pq形式.对一般p形式()IIIgxdx和q形式()JJJhxdx,定义和的外积为,().IJIJIJghxdxdx它是()pq形式.对于0形式f,我们补充定义()(),pIIIfffxgxdx二外微分的基本概念设n为区域,上的可微函数12(,,,)nfxxx的全微分为1.ninifdfdxx这可以理解为:一个0-形式作了微分运算后成为了1-形式.现在将微分运算推广到k上去.对k中的任意一个k-形式.1212121()kkkiiiiiiiiingxdxdxdx,定义1212121(())kkkiiiiiiiiinddgxdxdxdx12121211kkkniiiiiiiiiiniigdxdxdxdxx同时,对空间0n上的任意一个元素01,,ini定义01ndddd.这样,微分运算:d就是线性的,即()ddd,,,其中,为常数.这样的微分运算d称为外微分.显然,1212()(1)kkiiiiiiddxdxdxddxdxdx12(1)0kiiiddxdxdx.性质1设为k-形式,为l-形式,则()(1)kddd.证明(留作练习).设,定义2()ddd.在下面的讨论中,我们假设微分形式的系数都具有二阶连续偏导数.例13.34设0f为0-形式,证明20.df证明由于f具有二阶连续偏导数,因此22ijjiffxxxx.所以22111()nnnijiiijijiffdfddfddxdxdxxxx220ijijijjiffdxdxxxxx.性质2对任意,有20.d证明由于d的线性性,只要证明12()kiiiaxdxdxdx这种情形即可.这时12(())kiiiddaxdxdxdx,由于具有二阶连续偏导数,因此22ijjixxxx.所以22111()nnnijiiijijidddddxdxdxxxx220ijijijjidxdxxxxx.因此再由性质1可得2()ddd122()kiiidadxdxdx12()()kiiidaddxdxdx120()00kiiidxdxdxda.二外微分的应用首先看Green公式,,LDQPdxdyPxydxQxydyxy其中闭区域nD的边界由分段光滑的曲线L所围成.若将dxdy看成有向面积元素,那么如果将它看成是正面积元素dxdy的话,上式就可以表示为,,LDQPdxdyPxydxQxydyxy对于1-形式(,)(,)PxydxQxydy,则由外微分的定义可得()()ddPdxdQdyPPQQdxdydxdxdydyxyxyPQQPdydxdxdydxdyyxxy.于是有下式成立LDd.再看Stokes公式()()()RQPRQPdydzdzdxdxdyyzzxxyPdxQdyRdz其中为分段光滑的空间有向闭曲线,是以为边界的分片光滑的有向曲面,的正向与的侧符合右手规则.对于1-形式(,,)(,,)(,,)PxyzdxQxyzdyRxyzdz,由外微分的定义可得()()()ddPdxdQdydRdzPPRQQQRRRdxdydzdxdxdydxdzxyzxyzxyzRQPRQQdydzdzdxdxdyyzzxxy于是Stokes公式则变为d.同样地,对于Gauss公式()PQRdxdydzPdydzQdzdxRdxdyxyz其中空间区域由分片光滑的双侧封闭曲面所围成.如果我们将有向体积元素dxdydz看成是正体积元素dxdydz的话,它就可以表示为()PQRdxdydzPdydzQdzdxRdxdyxyz对于2-形式(,,)(,,)(,,)PxyzdydzQxyzdzdxRxyzdxdy,我们有()()()ddPdydzdQdzdxdRdxdyPPPdxdydzdydzxyzQQQdxdydzdzdxxyzRRRdxdydzdydzxyz.于是Gauss公式则变为d.这样,Green公式、Gauss公式和Stokes公式就可以统一地写成如下形式：MMfdf.这个式子统称为Stokes公式.它说明了,高次的微分形式d在给定区域上的积分等于低一次的微分形式在低一维的区域边界上的积分.习题14.81.设p,q,证明:当pqn时,0.2.设p,q,证明:(1)pq.3.设1njjiinadx,1,2,,jn,为n上的1形式,证明1212det()jninadxdxdx.4.证明性质1.