习题课

习题课例1.若随机变量X服从几何分布,1,0)(===kpqkXPk。及、的特征函数求其中DXEXtXpqp)(,1,10ϕ−=解:∑∞===ϕ0)(kkitkitXpqeEetitkkitkqepqep−==∑∞=10由特征函数的定义可得根据特征函数的性质4可得pqqepqeiiEXtitit=−−=ϕ−==02)1()()0(')()0()(22ϕ−=iEX0422222)1()1(2)1(=−−+−⋅−=titititititqeqeiepqqeepqi222pqpq+=2222)(pqpqEXEXDX+=−=所以例2:且独立。试证设，的特征函数为分布已知njXittjj,,2,1),,(~)(),(=βαΓ−αα=ϕβαΓΓβ).,(~11∑∑==βαΓnjjnjjX证明:的特征函数为jXjjittXβ−αα=ϕ)(由特征函数的性质3可得∑−αα=−αα=ϕ=∑ϕ==ββ==∏∏njjjjnjjititttnjnjXX1111)()(的特征函数为∑=njjX1由特征函数的性质5可得).,(~11∑∑==βαΓnjjnjjX设随机变量X服从(2,3)上的均匀分布，在X=x的条件下，随机变量Y的条件分布是参数为x的指数分布，试求EY。例3：解：xxXYE1)|(==根据题意可得则XXYE1)|(=因此2ln3ln11)]|([32−====∫dxxXEXYEEEY例4：分布。服从，使得随机变量，试求常数为其一样本，而设226542321621)()(),,,(),1,0(~χcYcXXXXXXYXXXNX+++++=解：因为)1,0(~3),3,0(~321321NXXXNXXX++++)1,0(~3),3,0(~654654NXXXNXXX++++根据样本的独立性可得)2(~])()[(313322654232126542321χXXXXXXXXXXXX+++++=+++++则31=c例5：统计量相互独立，试求，且与方差，又设分别为样本均值和样本及为其样本，设总体nnnXXNXSXXXXNX,,),(~),,,(),,(~1212212σµσµ+11+−=+nnSXXYn的抽样分布。解：因为),(~2nNXσµ则)1,0(~21σnnNXXn+−+又因为)1(~)1(222−−nSnχσ相互独立，且与XXn−+1由t分布的定义可知)1(~)1()1(1122211−−−+−=+−++ntnSnnnXXnnSXXnnσσ例6：不全相同，相互独立，设22221221,,,),,,2,1(),(~,,,niinniNXXXXσσσσµ=2111111∑∑∑∑====−−−=÷=niniiiiniiniiinYXZXYσµσµσσ求证：。独立；与)1(~)3()2(;1,~)1(221−−=∑nZZYnNYniiχσµ÷=∑∑==niiniiiXY111σσ证明：（1）由Y是独立正态随机变量的线性组合，则其分布也为正态分布。21211211111−======÷==÷=∑∑∑∑∑niiniiniiiniiniiinDXDYEXEYσσσµσσ所以.1,~21−=∑niinNYσµ（2）和（3）的证明：相互独立。且相互独立，则，由令,,,2,1),1,0(~,,,2,1),,(~2niNYniNXXYiiiiii==−=σµσµ∑∑∑∑∑=====−=−=−==niininiiiiniiiniinYXnXnYnY1111111111σµσµσσµ则111−=+=∑niiYnYσµ根据§2.4的定理4可知,。相互独立，并且与)1(~2−nZZYχ21211)(1YYnYXZniininiiii−=−−−=∑∑∑===σµσµ例7:密度为上的均匀分布，即分布服从区间设总体],0[θX≤≤=其它,00,1),(θθθxxp值、总体方差的估计。与极大似然法求总体均，试分别用矩法现得到样本值为。和的矩估计量为样本，求参数1.1,3.0,2.2,7.1,6.0,3.1)2(ˆˆ),,()1(1LmnMLEXXθθθ解:(1)矩法估计.2ˆ22XXEXm===θθθθ的矩估计量为，可得参数，令由极大似然法:似然函数为≤≤=其它0,,01)(1θθθnnxxL等价于≤≤≤=其它001)()()1(θθθnnxxL。时，当nnLx=≥θθθ1)()(01)(1−=∂∂+nnLθθθ是严格单调递减的。关于可知θθ)(L。的极大似然估计量为所以参数)(ˆnLX=θθ(2)矩法估计2,σµ==DXEX令222)(,EXEXEX−==σµ因为的矩估计值分别为和所以2σµ407.0)(1)(1ˆ,2.1ˆ122122=−=−===∑∑==niiniimmxxnxxnxσµ极大似然法:因为12,222θσθµ==的极大似然估计值为和所以2σµ.4.0122.21212ˆˆ1.122.222ˆˆ22)(22)(========nLLnLLxxθσθµ例8。和样本方差是样本均值，的无偏估计（是使确定常数的无偏估计；为，使确定常数的一个样本，设是来自总体设))()2()()1(,,,,222221121221SXcSXcXXccDXEXXXXXniiinµσσµ−−==∑−=+解：（1）∑∑−=+−=+−=−11211121)()(niiiniiiXXEcXXcE})]([)({21111iiniiiXXEXXDc−+−=+−=+∑∑−=+σ⋅−=+=1121)1(2][niiicnDXDXc要使221121)1(2)(σ=σ⋅−=−∑−=+cnXXcEniii应取.)1(21−=nc（2）要使[]2222)()(cESXEcSXE−=−2222µ=σ−µ+σ=cn应取nc1=例9:不等式的下界。的无偏估计量的试求的无偏估计量；试求的无偏估计量；均为试证：对一切为其样本，设总体RCSXXXXPXn−−+≤≤22221)3()2()1(),10()1(),,,(,0),(~λλλααααλλ解:(1)因为22)1(])1([ESXESXEαααα−+=−+λλααλαα=−+=−+=)1()1(DXEX的无偏估计量。是参数所以，λαα2)1(SX−+(2)的无偏估计量。出发来构造由2λX因为nXDXEλλ==,222)(λλ+=+=nXEXDXE则−=−=−=nXXEnXEXEnXE2222λλ的无偏估计量。是所以，22λnXX−(3)总体的分布列为λλλ−=exxpx!),(则!lnln),(lnXXXp−−=λλλ222λλλXXp−=∂∂),(Fisher信息量为λλλλ122=∂∂−=),(ln)(XpEI不等式的下界为的无偏估计量方差的RC−2λ[].)()'(nnnI3222414λλλλλ=⋅=例10:、相合估计量。而且它是，的极大似然估计量是样本，试证个为已知的正态总体的一是均值设UMVUEXnXXXniin∑=−12221)(1,,,µσµ证明:似然函数为}2)(exp{21)(2212σµσπσ−−=∏=inixL−−=∑=212222)(exp21σµπσniinx取对数为2122222)(ln2)2ln(2)(ln)(σµσπσσ∑=−−−−==niixnnLl则02)(2)(412222=−+−=∂∂∑=σµσσσniixnl的极大似然估计量为所以2σ.)(1ˆ122∑=−=niiXnµσ因为)(~)(21222nXniiχσµχ∑=−=2222122)(1ˆσσχσµσ=⋅==−=∑=nnnEXnEEniinnnnDXnDDnii4242212222)(1ˆσσχσµσ=⋅==−=∑=的无偏估计量。是所以，22ˆσσ满足R-C定理的条件，下面我们来求Fisher信息量:22222)(ln21)2ln(21),(lnσµσπσ−−−−=XXP624242)(21),(lnσµσσσ−−=∂∂XXP所以4624242221)(21),(ln)(σσµσσσσ=−+−=∂∂−=XEXPEI下界的无偏估计量的则RC−2σ242ˆ2)(1σσσDnnI==。的是因此，UMVUE22ˆσσ因为∞→→==nnDE,02ˆˆ4222σσσσ的相合估计量。是所以，22ˆσσ例11：为指数分布设nXXX,,,21=−其它,00,1),(/xexpxθθθ相合估计量。、的是本均值的一个样本，试验证样UMVUEXθ证明：因为nnDXXDEXXE2θθ====的无偏估计量。是则θXθθθXXp−−=ln),(ln322221),(lnθθθθXXp−=∂∂∴则Fisher信息量为23222121),(ln)(θθθθθθ=+−=∂∂−=EXXpEI下界为的无偏估计量方差的RC−θXDnnI==2)(1θθ满足R-C定理的条件。的是因此，UMVUEXθ因为∞→→==nnXDXE,02θθ的相合估计量。是所以，θX.)(1)(),,()0()0(0,00,)();(P116.2111UMVUEgXgXXXXxxxexpXnx的为试证为样本均值，设一个样本，的为为未知参数，为已知常数，其中分布，分布密度为服从设总体θθθθθθαααθθαθα=≤Γ=−Γ−−解题思路：通过证明是有效估计，来证明是一致最小方差无偏估计。证明：先求总体的均值和方差dxxedxxexEXxxαθααθααθαθ−∞+−−∞+∫∫Γ=Γ⋅=010)()(dxexrxr−+∞−∫=Γ01)(xyθ=令dyeydyyeyy−∞+∞+−∫∫Γ=⋅Γ=00)(11)(ααααθαθθαθθαθαααθαα=⋅ΓΓ=⋅Γ+Γ=)()()()1(同理，可以求得22)1(θαα+=EX222)(θα=−=EXEXDX2222111)(11αθαθαααθθαθαααnnnDXXDgEXXE=⋅⋅=⋅===⋅==的无偏估计。是)(θαgX∴满足R-C定理的条件，下面我们来求θ的Fisher信息量XXXpln)1()(lnln);(ln−+−Γ−=αθαθαθ222);(ln)(θαθθθ=∂∂−=XpEI不等式下界为的无偏估计量的CRg−)(θ===′=′ααθθαθθαθθθXDnnnnIg224222111)()]([.)(UMVUEgX的是θα∴例12：的极大似然估计。求哪一个更有效？和指出两个估计量无偏估计。的为参数使得估计，试确定常数的无偏不是的数学期望，若和计算和极大似然估计量的矩估计量求参数立同分布样本，抽取的独为从均匀总体设)()4(~ˆ)3(ˆ~ˆˆˆ)2(ˆˆ)1(0),0(,,,121222212121XVarAAUXXXnnnθθθθ=θθθθθθθθθθ解：)(21ˆ2ˆ)1(nXX=θ=θθ估计量，极大似然的矩估计量为参数θ=θ⋅===θ2222ˆ)2(1EXXEE的概率密度函数为)(nX[]θθ⋅θ==−−xxnxfxFnxfnXnXn01)()()(11则dxxnxEnn∫θ−θ=θ012ˆdxxnnn∫θθ=0θ1+=nn的无偏估计量。均是和则取θ+=θθ+=)(211~ˆ,1nnXnnnnA(3)由于)2()2()1(11~2222)(22+θ=θ++⋅+=