数学期望在生活中的应用原文

一、数学期望的定义及性质（一）数学期望分为离散型和连续型1、离散型离散型随机变量的一切可能的取值Xi与对应的概率Pi(=Xi)之积的和称为该离散型随机变量的数学期望（设级数绝对收敛），记为E（X）。数学期望是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。又称期望或均值。如果随机变量只取得有限个值，称之为离散型随机变量的数学期望。它是简单算术平均的一种推广，类似加权平均。E(X)=X1*P(X1）+X2*P(X2)+……+Xn*P(Xn)。X1,X2,X3，……，Xn为这几个数据，P(X1）,P(X2）,P(X3），……，P(Xn)为这几个数据的概率函数。在随机出现的几个数据中，P(X1）,P(X2）,P(X3），……，P(Xn)概率函数就理解为数据X1,X2,X3，……，Xn出现的频率f(Xi),则：E(X)=X1*P(X1）+X2*P(X2）+……+Xn*P(Xn)=X1*f1(X1）+X2*f2(X2）+……+Xn*fn(Xn)。2、连续型连续型则是：设连续性随机变量X的概率密度函数为f（X），若积分绝对收敛，则称积分的值为随机变量的数学期望，记为E(X)。若随机变量X的分布函数F(X)可表示成一个非负可积函数f(X)的积分，则称X为连续随机变量，f(X)称为X的概率密度函数（分布密度函数）。能按一定次序一一列出，其值域为一个或若干个有限或无限区间，这样的随机变量称为连续型随机变量。（二）数学期望的常用性质1.设X是随机变量，C是常数，则E（CX）=CE（X）；2.设X，Y是任意两个随机变量，则有E（X+Y）=E（X）+E（Y）；3.设X,Y是相互独立的随机变量，则有E（XY）=E（X）E（Y）。对于第一条性质，假设E（X）你的考试成绩，C为你们全班人数，则你们全班总分的期望等于全班人数乘以个人的期望，这很好理解。对于第二条性质，E（X）为你的考试成绩，E(Y)是小明的考试成绩，你和他成绩总和的期望当然等于你和他的期望值和。对于第三条性质，我们一再强调是独立的，也就是相互没有关联，有关联是肯定是不是不等的。二、数学期望在生活中的运用（一）经济决策问题假设某一超市出售的某种商品，每周的需求量X在10至30范围内等可能取值，该商品的进货量也在10至30范围内等可能取值（每周只进一次货）超市每销售一单位商品可获利500元，若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损100元；若供不应求，可从其他超市调拨，此时超市商品可获利300元。试计算进货量多少时，超市可获得最佳利润？并求出最大利润的期望值。分析：由于该商品的需求量（销售量）X是一个随机变量，它在区间[10,30]上均匀分布，而销售该商品的利润值Y也是随机变量，它是X的函数，称为随机变量的函数。题中所涉及的最佳利润只能是利润的数学期望（即平均利润的最大值）。因此，本问题的解算过程是先确定Y与X的函数关系，再求出Y的期望E（Y），最后利用极值法求出E（Y）的极大值点及最大值。先假设每周的进货量为a，则Y=500300(),500100(),axaxaxaxxa=200300,600100,axxaxaxa利润Y的数学期望为：EY=1(600100)1020axadx[phone]xadxa=-7.52a2+350a+5250dadEY=-15a+350=0a=3501523.33EY的最大值maxEY=-7.5×270()3+350×703+52509333.3元根据结果可知，周最佳进货量为23.33（单位），最大利润的期望值为9333.3元。在经济活动中，不论是厂家的生产还是商家的销售，总是追求利润的最大化，供大于求或供不应求都不利于获得最大利润。但供应量和需求量又不是预先知道的。理性的厂家或商家往往根据过去的数据(概率），用数学期望结合微积分的有关知识，制定最佳的生产或销售策略。（二）投资方案问题假设某人用10万元进行为期一年的投资，有两种投资方案：一是购买股票;二是存入银行获取利息。买股票的收益取决于经济形势，若经济形势好可获利4万元，形势中等可获利1万元，形势不好要损失2万元。如果存入银行，假设利率为8%，可得利息8000元，又设经济形势好、中、差的概率分别为30%、50%、20%。试问应选择哪一种方案可使投资的效益较大？比较两种投资方案获利的期望大小：购买股票的获利期望是E(A1)=4×0.3+1×0.5+(-2)×0.2=1.3(万元）,存入银行的获利期望是E(A2)=0.8（万元），由于E(A1)E(A2)，所以购买股票的期望收益比存入银行的期望收益大，应采用购买股票的方案。在这里，投资方案有两种，但经济形势是一个不确定因素,做出选择的根据必须是数学期望高的方案。（三）体育比赛问题我国的羽毛球在世界上处于领先水平，技术风格是“快速、凶狠、准确、灵活”；指导思想是“以我为主，以快为主，以攻为主”。现以羽毛球比赛的安排提出一个问题：假设马来西亚队和中国队比赛。赛制有两种，一种是双方各出3人,三局两胜制,一种是双方各出5人，五局三胜制,哪一种赛制对中国队更有利？下面,我们利用数学期望解答这个问题。由于中国队在这项比赛中的优势，我们不妨设中国队中每一位队员对马来西亚队员的胜率都为60%。根据前面的分析，下面我们只需要比较两个队对应的数学期望即可。在五局三胜制中，中国队要取得胜利,获胜的场数有3、4、5三种结果。我们计算三种结果对应的概率。应用二项式定理可知，恰好获胜三场(即其中两场失利)对应的概率：；恰好获胜四场对应的概率为：；五场全部获胜的概率为：。设随机变量为x为为该赛制下中国队在比赛中获胜的场数，则可建立x分布律：X345P0.34560.25920.07776计算随机变量X的数学期望:E(X)=30.3465+40.2592+50.07776=2.4651；在三场两胜制中，中国队取得胜利，获胜的场数有2、3两种结果。对应的概率分别为：恰好获胜两场(其中有一场失利)对应的概率：432.0)6.01()6.0(223c；三场全部获胜的概率为：。设随机变量Y为该赛制下中国队在比赛中获胜的场数,则可建立Y的分布律：Y23P0.4320.2163456.0)6.01()6.0(2335c2592.0)6.01()6.0(1445c07776.0)6.01()6.0(0555c216.0)6.01()6.0(0333c计算随机变量Y的数学期望:E(Y)=2×0.432+3×0.216=1.512。比较两个期望值得：E(X)E(Y)。所以我们可以得出结论，五局三胜制对中国队更有利。（四）抽奖问题假设某百货超市现有一批快到期的日用产品急需处理，超市老板设计了免费抽奖活动来处理掉了这些商品。纸箱中装有大小相同的20个球，10个10分，10个5分，从中摸出10个球，摸出的10个球的分数之和即为中奖分数，获奖如下：一等奖100分，空调一个，价值2500元；二等奖50分，微波炉一个，价值1000元；三等奖95分，沐浴露6瓶，价值178元；四等奖55分，沐浴露3瓶，价值88元；五等奖60分，沐浴露1瓶，价值44元；六等奖65分，洗面奶一瓶，价值8元；七等奖70分，洗衣粉一袋，价值5元；八等奖85分，香皂一块，价值3元；九等奖90分，牙刷一把，价值2元；十等奖75分与80分为优惠奖，只收成本价22元，将获得洗发露一瓶；解析：表面上看整个活动对顾客都是有利的，一等奖到就等奖都是白得的，只有十等奖才收取一点成本价。但经过分析可以知道商家真的就亏损了吗？顾客就真能从中获得抽取大奖的机会吗？用以上方法分析一下并求得其期望值真相就可大白了。摸出10个球的分值只有11种情况，用X表示摸奖者获得的奖励金额数，一等奖等分100分，其对应事件101010101020(2500)ccXc，X的取值为250010001768844853222、、、、、、、、、，概率可以类似求出，其概率分布为：X250010001768844P0.0000050.0000050.0005410.0005410.01096X853222P0.0779410.2386930.0779410.010960.5824111E10.098iiiXxp表明商家在平均每一次的抽奖中将获得10.098元，而平均每个抽奖者将花10.098元来享受这种免费的抽奖。从而可以看出顾客根本没有占到什么便宜。相反，商家采用这种方法不仅把快要到期的商品处理出去了，而且还为超市大量集聚了人气，为一举多得的手法。此百货超市老板运用数学期望估计出了他不会亏损而做了这个免费抽奖活动，最后一举多得，从中也看出了数学期望这一科学的方法在经济决策中的重要性。（五）彩票问题随着社会生活的丰富，人们购买彩票，谈论彩票中奖的热潮正在兴起。报纸上不时发表谈论彩票的文章，有时也谈到摸彩与数学的关系。但众所纷纭，也说不详，论也不确。众所周知，彩票抽奖属于“独立随机事件”，彩票预测违背科学。但从总体上来说，中奖号码有服从于某些统计规律。为了研究彩票中的概率统计问题，我们选取了体育彩票和七乐彩及一些简单的模拟实验来帮助我们研究，例如：我们进行了模红白球的实验，先进性简单的概率计算问题，我们又以体育彩票和七乐彩为辅助实验并根据。由此我们计算出体彩的中奖概率如下（以一注为单位）特等奖P0=1/10000000；一等奖P1=1/1000000；二等奖P2=20/1000000；三等奖P3=300/1000000；四等奖P4=4000/1000000；五等奖P5=50000/1000000；P=P0+P1+P2+P3+P4+P5=0.0543211。这就是说每1000注彩票约有54注中奖，经过公式计算我们计算出了七乐彩的中奖概率：一等奖：C30~1/2035；二等奖：P1=1/290829；三等奖：P2=1/13219；四等奖：P3=1/4406；五等奖：P4=1/420；六等奖：P5=1/252；七等奖：P6=1/38。一般来说，各类彩票各奖级的中奖几率总和在4%-5%左右。如果要中奖金数目大的最高奖，概率一般为几十万至几百万分之一，难度更为大，是可遇而不可求的。对于购买题材只能是本着对中国体育事业支持的想法，而不能对回报有过高的期望。彩票的中奖概率与数学里的数理统计学有着密切的关系，通过统计概率，我们可以更好的发现数理统计学与生活的密切关系。在彩票市场异常火爆的今天，我们要作一个理性的彩迷，对彩票持有正确的认识，买彩票是彩民的一个爱好，一种自愿的活动，理智的彩民不该抱着赌博的心态，孤注一掷，投入极大的资金，应量力而出以平常健康重在参与的心态买彩票。（六）医疗问题在某地区进行某种疾病普查，为此要检验每个人的血液，如果当地有N个人，若逐个检验就需要检验N次，现在要问：有没有办法减少检验的工作量？我们先把受检验者分组，假设每组有k个人，把这k个人的血液混合在一起进行检验，如果检验的结果为阴性，这说明k个人的血液全为阴性，因而这k个人总共只要检验一次就够了，检验的工作量显然是减少了，但是如果检验的结果是阳性，为了明确k个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k个人再逐个进行检验，这时k个人检验的总次数为k+1次，检验的工作量反而有所增加，显然，这时k个人需要的检验次数可能只要1次，也可能要检验k+1次，是一个随机变量，为了和老方法比较工作量的大小，应该求出它的平均值（也是平均检验次数）。在接受检验的人群中，各个人的检验结果是阳性还是阴性，一般都是独立的（如果这种病不是传染病或遗传吧遗传病），并且每个人是阳性结果的概率为p，就是阴性结果的概率为q=1-p，这时k个人一组的混合血液呈阴性结果的概率为kq，呈阳性结果的概率则为1－kq,现在令η为k个人一组混合检验时每人所需的检验次数，由上述讨论可知η的分布列为：η1k1+1kPkq1-kq由此即可求得每个人所需得平均检验次数为Eη=1k.kq+（1+1k）（1-kq）=1-kq+1k而按原来得老方法每人应该检验1次，所以当1-