边界层分析求解

§15-3边界层微分方程组的解边界层的概念是1904年德国科学家普朗特提出的。（Boundarylayer）1）定义垂直于壁面的方向上流体流速发生显著变化的流体薄层定义为流动边界层。一.边界层1.流动边界层热线风速仪在离平壁前端x处用热线风速仪，测得沿壁面方向方向上各点的流速，这一分布呈现类似抛物线型。在u=0.99u∞处以外的流体，可以认为不受流体粘性的影响，称其为主流区。而u=0.99u∞以内的区域，存在明显速度梯度，称为边界层区。流体流过固体壁面时，由于壁面层流体分子的不滑移特性，在流体黏性力的作用下，近壁流体流速在垂直于壁面的方向上会从壁面处的零速度逐步变化到来流速度。twt∞uδtδ0x普朗特通过观察发现，对于低黏度的流体，如水和空气等，在以较大的流速流过固体壁面时，在壁面上流体速度发生显著变化的流体层是非常薄的。边界层内：平均速度梯度很大；y=0处的速度梯度最大满足牛顿粘性定律：wy式中：τ——粘滞力，N/m2;μ——动力粘度,kg/(m·s)在速度边界层内存在较大的速度梯度，因此粘滞力也较大。由于粘滞力的牵制，在这一边界层内流体微团只能沿着壁面平行地分层流动，称为层流边界层。流体流过固体壁面的流场就人为地分成两个不同的区域。twt∞uδtδ0x其一是边界层流动区，这里流体的黏性力与流体的惯性力共同作用，引起流体速度发生显著变化；其二是势流区，这里流体黏性力的作用非常微弱，可视为无黏性的理想流体流动，也就是势流流动。2）边界层的厚度当速度变化达到时的空间位置为速度边界层的外边缘，那么从这一点到壁面的距离就是边界层的厚度99.0uuxtwt∞uδtδ0x小：空气外掠平板，mm5.2;mm8.1200100mmxmmx理论关系式为：121122=5.05.0=5.0Rexxwxux层u=10m/s：12=5.0xvw层11225.05.0Rexxwx要使边界层的厚度远小于流动方向上的尺度(即)，也就是所说的边界层是一个薄层，这就要求雷诺数必须足够的大,即1xx1Re因此，对于流体流过平板，满足边界层假设的条件就是雷诺数足够大。由此也就知道，当速度很小、黏性很大时或在平板的前沿，边界层是难以满足薄层性条件。3)临界雷诺数随着x的增大，δ（x）也逐步增大，同时黏性力对流场的控制作用也逐步减弱，从而使边界层内的流动变得紊乱。把边界层从层流过渡到紊流的x值称为临界值，记为xc，其所对应的雷诺数称为临界雷诺数，即ccxuRe流体平行流过平板的临界雷诺数大约是5105Rec对于管内的流动运动，取临界雷诺数2300粘性底层：在紊流边界层内，由于紧贴壁面处那一层薄层内粘滞力甚大，流体仍具有层流的特征。紊流支层：粘性底层上方称为紊流支层，在该层内粘滞力较小，流体具有紊流的特点。边界层厚度=粘性底层+紊流支层11099=29.4mxw底1545=0.37mwx紊15=0.37Rexx紊11099=29.4mxw底12=5.0xvw层由以上两式可以发现，流体的主流速度w∞越大，层流边界层厚度δ层以及粘性底层的厚度δ底越薄；x增大时，层流边界层厚度δ层随x0.5成正比增加，而粘性底层则随x0.1成正比增加，这表明当x增大时，δ底增加很少。4)要点•(1)边界层厚度δ与壁的定型尺寸L相比极小，δL•(2)边界层内存在较大的速度梯度•(3)边界层流态分层流与紊流；紊流边界层紧靠壁面处仍有层流特征，粘性底层（层流底层）•(4)流场可以划分为边界层区与主流区（纵向）•层流边界段：Re数很小，粘性力占优势，忽略惯性力•过度边界段：Re数处于之间，粘性力和惯性力相当•紊流边界段：Re数很大，惯性力主导，忽略粘性力惯性力指当物体加速时，惯性会使物体有保持原有运动状态的倾向，若是以该物体为参照物，看起来就仿佛有一股方向相反的力作用在该物体上，因此称之为惯性力。因为惯性力实际上并不存在，实际存在的只有原本将该物体加速的力，因此惯性力又称为假想力。惯性系:相对于地球静止或作匀速直线运动的物体.非惯性系:相对地面惯性系做加速运动的物体.2.热（温度）边界层（Thermalboundarylayer）当流体流过平板而平板的温度tw与来流流体的温度t∞不相等时，在壁面上方也能形成温度发生显著变化的薄层，常称为热边界层。Tw1）定义2）热边界层厚度当壁面与流体之间的温差达到壁面与来流流体之间的温差的0.99倍时，即，此位置就是边界层的外边缘，而该点到壁面之间的距离则是热边界层的厚度,记为99.0)/()(ttttwwxt湍流：温度呈幂函数分布层流：温度呈抛物线分布湍流边界层贴壁处的温度梯度明显大于层流故：湍流换热比层流换热强！在同一位置上热边界层厚度与速度边界层厚度的相对大小与流体的普朗特数Pr有关，也就是与流体的热扩散特性和动量扩散特性的相对大小有关。31Pr026.11xxt由此式可以看出，热边界层是否满足薄层性的条件，除了Re×足够大之外还取决于普朗特数的大小，当普朗特数非常小时（Pr1）,热边界层相对于速度边界层就很厚，反之则很薄。普朗特数Pr的物理意义:表征流体的热扩散特性和动量扩散特性的相对大小3）速度边界层厚度与热边界层厚度的关系当Pr1时，Pr=υ/a，υa，粘性扩散热量扩散，速度边界层厚度温度边界层厚度。当Pr1时，Pr=υ/a，υa，粘性扩散热量扩散，速度边界层厚度温度边界层厚度。也可以从公式得出31Pr026.11xxtT∞u∞T∞x0δδtu∞x0δδt(a)Pr1(b)Pr1要点：热边界层的边界线将流体的温度场划分为两个区域，只有在热边界层中才有温度变化，而在热边界层以外可以认为温度梯度为零，当做等温流动区。对于层流，壁面法线方向热量传递靠导热方式，边界层内温度分布为抛物线；对于紊流，粘性底层的热量传递靠导热，而在底层以外的紊流支层，除导热外，主要靠速度脉动引起的对流混合作用。对于导热系数不高的流体，紊流换热热阻主要取决于粘性底层的导热过程，边界层的温度梯度在粘性底层最大，而在紊流支层变化平缓。流型：层流和紊流3.引入边界层概念的意义缩小计算区域。对对流换热问题的研究可集中在边界层区域内边界层内的流动与换热可以利用边界层的特点进一步简化二、数量级分析与边界层微分方程1.数量级分析(orderofmagnitude)1)定义:比较方程中各量或各项的量级的相对大小；保留量级较大的量或项；舍去那些量级小的项，方程大大简化)()()()(22222222yvxvypyvvxvuyuxuxpyuvxuuxu0yv2222ytxtytvxtucp例：二维、稳态、强制对流、层流、忽略重力的对流换热为例2)实例分析主流速度：);1(0~u温度：);1(0~t壁面特征长度：);1(0~l边界层厚度：)(0~);(0~tx与l相当，即：);1(0~~lx)(0~0yy注意：0(1)、0()表示数量级为1和，1。“~”—相当于a.定义5个基本量的数量级b.其他量的数量级导出u沿边界层厚度由0到u:由连续性方程：)1(0~~uu)1(0~~luxuyv)(0~v(a)0yvxu(b))()2222yuxuxpyuvxuu（11）（）（2211111111）（）（2221111(c))()2222yvxvypyvvxvu（0yvxu22)yuxpyuvxuu（(d))()2222ytxtytvxtucp（）（）（221111111122)ytytvxtucp（表明：边界层内的压力梯度仅沿x方向变化，而边界层内法向的压力梯度极小。边界层内任一截面压力与y无关而等于主流压力)(0~yp)1(0~xpdxdpxpdxduudxdp由上式：22)uupuuvxyxy（)(0~yp可视为边界层的又一特性层流边界层对流换热微分方程组：3个方程、3个未知量：u、v、t，方程封闭如果配上相应的定解条件，则可以求解0yvxu221yudxdpyuvxuu22ytaytvxtudxduudxdp00dxdpdxdu，则若xu0yv22()uuuuvxyy22ytytvxtucp边界条件：constuttuuttvuyywyyy|,||,0|,0|000三、外掠平板层流换热边界层微分方程式分析解简述微分方程：3/12/13/12/13/12/12/1,2/1PrRe332.0PrRe332.0PrRe332.0Re664.0Re0.5lhNuxhCxxxxxxxfx结果为：式中,Nux=αx/λ为局部努赛尔数，无量纲，其大小反映了局部换热的程度。(1)建立边界层积分方程针对包括固体边界及边界层外边界在内的有限大小的控制容积；(2)对边界层内的速度和温度分布作出假设，常用的函数形式为多项式；(3)利用边界条件确定速度和温度分布中的常数，然后将速度分布和温度分布带入积分方程，解出和的计算式；(4)根据求得的速度分布和温度分布计算固体边界上的tNucytyufyy和及00§5-4边界层积分方程组及其求解一.用边界层积分方程求解对流换热问题的基本思想课后作业：⑴常物性、不可压缩流体沿平壁稳定流动边界层动量积分方程的推导。⑵常物性、不可压缩流体沿平壁稳定流动边界层能量积分方程的推导。0()wxxt00d()|dytttudyaxy二、边界层动量积分方程边界层动量积分方程是把动量定律应用于一个控制容积导出的。取常物性、不可压缩流体的二维稳态强制对流为对象作分析。u∞δτw在流体中划出如图的控制容积，包括dx一段边界层，而z方向为单位长度。控制容积左侧面为ab，右侧面为cd，顶面为bd，底面为壁面的ac部分，即取ac为dx。u∞u∞δτw由于在边界层内y方向上的流速很小，因此推导中只考虑x方向上的动量变化，不引入流速v。图中给出了速度的分布曲线。在距壁面y处流速为u，在y≥δ处u=u∞。先计算单位时间内出入控制容积的动量之差。为此计算以下各项：（1）穿过控制面ab进入控制容积的动量为ldyu02u∞u∞δτw而同时穿过cd面流出的动量为dxdyudxddyull)(0202净流出的动量为)()(02adxdyudxdl（2）没有流体穿过固体表面ac。但有流体质点穿过bd面。根据质量守恒，穿过bd面流入控制容积的质量流量等于流出cd面与流入ab面的质量流量之差。流入ab面的质量流量为:ludy0流出cd面的质量流量:dxudydxdudyll)(00于是穿过bd面流入控制容积的质量流量为:dxudydxdl)(0u∞u∞δτw相应带入控制体的动量（略去u∞沿x变化引入的高阶导数项）为(b))(0ludydxddxu根据动量定律，在x方向上的动量变化必须等于x方向上作用在控制体表面上外力的代数和。作用在控制体表面上x方向上的外力，有作用于ac面上的切应力τwdx以及ab和cd两面压力之差dxdxdplplldxdxdpp)(u∞u∞δτw于是动量定律可表达为(c))(002dxdxdpldxudydx