概率论在日常生活中的应用

谈谈概率论在日常生活中的应用摘要：本文简单的介绍了概率论的一些知识点在日常生活中的典型应用，运用概率的的相关知识来解释与探讨生活中常见的问题，通过例题让我们更清晰地看到概率论与生活的联系。关键词：概率论；社会热点；应用；生活目录1引言.......................................12概率论知识在实际生活中的应用..................................12.1古典概率的应用..............................12.2随机变量的分布.................................22.2.1在射击问题中的应用.................................32.2.2在产品检测中的应用...................................32.3数学期望的应用..................................................42.4方差的应用.............................................52.5两事件间独立性的应用.......................................62.6正态分布的应用.......................................72.7区间估计的应用.......................................82.8棣莫弗——拉普拉斯中心极限定理的应用.........................93结束语...................................................10参考文献......................................................1引言我们知道，概率论是一门重要的数学分支。它来源于生活，最终也将应用于生活。伴随着科学技术的发展以及计算机的普及化,概率论已被广泛地应用于各行各业，对于分析社会现象，研究自然科学，以及处理工程和公共事业提供了极大的帮助。本文主要探讨一些概率论知识点在日常生活中的实际应用，让我们从具体的实例中真切地体会到概率论与生活的联系。2概率论知识在实际生活中的应用2.1古典概率的应用概率论发展初期，有一些基本的方法，古典方法就是其中比较常见的一种。它一般是基于事实和经验，通过分析被考察事件的可能性，经过一些处理后，得出此事件的概率，此类概率也因此被成为古典概率。一般来说，在古典方法中，求事件的概率，就是看此事件所含样本点占总样本的多少，在计算中一般会用到排列组合方法，下面的彩票问题就是古典方法的一个例子。例有种叫做好运35选7的彩票，也就是在购买时，从01，02，03，…，34，35这35个号码中任意的选择7个号码即可，中奖号码是由7个基本号码和一个特殊号码组成，其中，基本号码是从这35个号码中不重复选择得到的。按如下规则鉴别奖级：获奖级别获奖规则一等奖二等奖三等奖四等奖五等奖六等奖七等奖7个基本号码全都中中了6个基本号码和特殊号码中了6个基本号码中了5个基本号码和特殊号码中了5个基本号码中了4个基本号码和特殊号码中了4个基本号码，或中了3个基本号码和特殊号码试求各等级的中奖概率。解由题意可知，这是类不放回抽样问题，显然此样本空间中共有样本点735个。而抽奖也是在以下三种类型中抽取：第一类型号码：7个基本号码。第二类型号码：1个特殊号码。第三类型号码：27个无用号码。记第i等奖的概率为ip，（i=1，2，…，7），既知中个中奖的概率如下：6110149.0672452017350270177p，621004.1672452077350271167p，6310106.2867245201897351270167p，6410318.8467245205677351271157p，3510096.1672452073717350270157p，3610827.16724520122857352271147p，3710448.30672452020475073532711370270147p。在此，用字母A表示事件“中奖”，则字母A表示事件“不中奖”，则由1)()(APAP可知：P(中奖)=AP=1p2p3p4p5p6p7p=033485.06724520225170，P(不中奖)=AP1-AP966515.0。由此例可知，每一百个买彩票的人中，中奖的只有3人，而一等奖中奖的概率更是为610149.0，所以买彩票时一定要保持一颗平常心，不要期望过高。2.2随机变量的分布每个随机变量都有分布，如分布列、密度函数或分布函数等。不同的随机变量，其分布可能相同，也可能不同。分布能够系统全面地描述随机变量的统计规律性，通过对这些统计规律的掌握，在实际问题中才能运用自如。2.2.1在射击问题中的应用例小明是一名专业射击手，已知他的单发命中目标的概率为p)10(p，只要命中两次，射击即可结束，设此名射手第一次射中目标需要射击的次数为X，而而次射手一共要进行Y次射击，试求（X,Y）的条件分布和联合分布。解又题意可知，此类题目属于伯努利试验，设一次伯努利试验中，首次命中目标的射击次数为X，则X服从几何分布)(pGe，即ppxXPx1)1()(，,2,1x…，其中p表示命中概率，第二次命中的射击次数为Y，则Y服从几何分布),2(pNb，即22)1(11)(ppyyYPy，,3,2y…。由于X与X-Y是相互独立的，故知条件分布为ppxyXYPxXxyXYPxXyYPxy1)1()()/()/(，,2,1x…1,y，,3,2y…。从而（X,Y）的联合分布列为)/()()/(xXyYPxXPyYxXP)()(xyXYPxXPppppxyx11)1()1(22)1(ppy，,2,1x…1y，,3,2y…。而条件分布为)(),()/(yYPyYxXPyYxXP=11)1)(1()1(2222yppyppyy，,3,2y…。2.2.2在产品检测中的应用例某公司生产一批产品，共有100件，但其中有10件是不合格品。根据验收规则，要从中任取5件产品来进行质量检验，假如5件中没有不合格品，则这批产品可被接受，否则就要重新对这批产品进行逐个检验。（1）试求这5件产品不合格品数X的分布列；（2）需要对这批产品进行逐个检验的概率是多少？解（1）这5件产品中不合格品数X的全部可能取值为0,1,2,3,4,5，则583752.0752875204394926851005900100XP,339391.0752875202555190051004901101XP,070219.075287520528660051003902102XP,006384.07528752048060051002903103XP,000251.0752875201890051001904104XP,000003.07528752025251000905105XP,故X的分布列为X012345P0.5837520.3393910.0702190.0063840.0002510.000003（2）所求概率为416248.0583752.01010XPXP2.3数学期望的应用对离散随机变量X，设nxxx,,,21为其所有可能取值。若将这n个数求和后再除n所得值来作为“均值”，这种处理方法显然不太好，因为X取不同值的概率是不同的，从而出现的机会也是不同的，在计算中其权也是不同的。这告诉我们，用取值的概率来作为一种“权数”进行加权平均是一种比较合理的方法，这种加权平均的处理方法在概率中就称为随机变量X的数学期望，数学期望在日常生活中也应用广泛，)(XE一般作为X的代表参与同类指标的比较，如下例。例在一次乒乓球的比赛中设立奖金1000元。比赛规定：谁先胜3盘，谁就获得全部奖金。设甲、乙二人的球技是相当的，现已打了3盘，甲2胜1负，由于某特殊原因比赛必须终止。问这1000元应如何分配才算公平呢？分析：方案一：平均分，这对甲欠公平。方案二：全部归甲，这对乙不公平。方案三：按已胜盘数的比例对甲、乙进行分配。方案三看似是合理的，是双方可以接受的方法，即甲拿2/3，乙拿1/3。但经仔细分析，发现这也并不合理。理由如下：设想继续比赛，要使甲、乙有一个胜3盘，只要再比2盘便可，那结果无非是以下四种情况之一：甲甲，甲乙，乙甲，乙乙，其中“甲乙”表示第4盘是甲胜、第5盘是乙胜，其余以此类推。把乙比赛过的3盘与上述的四种结果结合，即甲乙打完5盘后，可以看出前3个结果都是甲先胜3盘，因而甲可得到1000元，只有最后一个结果才是由乙得1000元。在球技相当的条件下，上述四个结果应有相等的可能性。因此，方案四，是因为甲乙最终获胜的可能性的大小这比为3∶1，所以全部的奖金应按制胜率的比例分，即甲分750元，乙分250元，这样才算公平合理。用全概率公式计算：如果再比一盘，甲乙胜的概率各为1/2。如果甲胜，则甲得全部的奖金；如果乙胜，则甲、乙各胜2盘，奖金应平分。所以有甲得奖金75050021100021(元)。这个问题实际上是利用了加权平均数的方法,即求均值的思想方法,这在决策分析中经常会用到。2.4方差的应用定义若随机变量2X的数学期望)(2XE存在，则称偏差平方2)(EXX为随机变量X（或相应分布）的方差，记为-2i22,)())(),())(())(()(在连续场合。（在离散场合，dxxpXExxpXExXEXEXVarii随机变量取值的分散与集中程度一般用方差来描述，随机变量取值越分散，表明其方差就越大；随机变量取值越集中，其方差就越小。在日常生活中，方差常用来处理“某事件发生大小”类问题，如商业投资风险、患病大小等。例有n个小伙伴在一起做游戏，他们约定每人选择一个数字，且每个人所选数字均不相同，将这些数字写在相同大小的小纸条上，并折成相同形状的小纸团，游戏要求每人从堆放在一起n个小纸团中随意的抽取一个，试求抽中写有自己所选数字的小纸条的人数X的均值与方差。解记纸条，个人拿到的是别人所选，第纸条，个人刚好拿到自己所选，第iiX01i.2,1in，，则,,,321XXX…nX是同分布的，但是不独立。且其共同分布为nXPi1)1(，nXPi11)0(，,2,1i…n,。由此可得，nXEi1)(，)11(1)(nnXVari，,2,1i…n,。又因为21XXX…nX，从而可知)()()(21XEXEXE…1