二项式定理及应用ppt课件

•第三节二项式定理及应用考纲点击掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.热点提示1.运用二项式定理的通项公式求指定项或与系数有关的问题；2.赋值法、转化与化归思想等在二项展开式中的应用问题是考查的热点.1．二项式定理公式(a＋b)n＝____________________________________(n∈N*)叫做二项式定理．其中Ckn(k＝0,1,2，…，n)叫做___________．Tk＋1＝_________________叫做二项展开式的通项，它表示第_______项．C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn二项式系数Cknan－kbkk＋1•在公式中，交换a，b的顺序是否有影响？【提示】从整体看，(a＋b)n与(b＋a)n相同，但具体到某一项是不同的，如第k＋1项Tk＋1＝knan－kbk，T′k＋1＝Cknbn－kak.2．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端____________的两个二项式系数相等，即Cmn＝Cn－mn.(2)增减性与最大值：二项式系数Ckn，当___________时，二项式系数是递增的；当___________时，二项式系数是递减的．当n是偶数时，________________取得最大值．“等距离”k＜n＋12k＞n＋12中间的一项Cn2n当n是奇数时，中间两项______和_______相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即____________________________＝2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和______奇数项的二项式系数的和，即____________________＝______________＝_____.C0n＋C1n＋C2n＋…＋Crn＋…＋CnnC1n＋C3n＋C5n＋…等于C0n＋C2n＋C4n＋…2n－1【提示】二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指C0n，C1n，…，Cnn，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？1．若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为()A．3B．6C．9D．12【解析】∵x3＝[2＋(x－2)]3，∴展开式中含(x－2)2项的系数为a2＝T2＋1＝C23×23－2＝3×2＝6.•【答案】B2．二项式(a＋2b)n展开式中的第二项的系数是8，则它的第三项的二项式系数为()A．24B．18C．16D．6【解析】T2＝C1nan－1(2b)1＝C1n·2an－1b，所以2n＝8，n＝4，所以C2n＝C24＝6.•【答案】D3．(2x＋1x2)7的展开式中倒数第三项的系数是()A．C67·2B．C67·26C．C57·22D．C57·25【解析】由于n＝7，可知展开式共有8项．∴倒数第三项即为正数第六项．由通项公式Tr＋1＝Crn·an－r·br可得T6＝C57·(2x)2·(1x2)5＝C57·4·x2·1x10＝C57·4·1x8，∴倒数第三项的系数是C57·22.•【答案】C4．已知二项式(x－1x)n的展开式中含x3的项是第4项，则n的值为________．【解析】∵通项公式Tr＋1＝Crn(－1)rxn－2r，又∵第4项为含x3的项，∴当r＝3时，n－2r＝3，∴n＝9.•【答案】95．若(x2＋1ax)6的二项展开式中x3的系数为52，则a＝________(用数字作答)．【解析】Tr＋1＝Cr6a－rx12－3r，当12－3r＝3时，r＝3，∴C36a－3＝52，∴a＝2.•【答案】2求特定的项或特定项的系数已知在(3x－123x)n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．【思路点拨】写出展开式的通项公式根据第6项为常数项求n由n值令x的指数为2，求r求出x2的项的系数令x的指数为整数k根据0≤r≤n，r∈Z，求k根据k值求出展开式的有理项【自主解答】(1)通项公式为Tr＋1＝Crnxn－r3(－12)rx－r3＝Crn(－12)rxn－2r3.因为第6项为常数项，所以r＝5时，有n－2r3＝0，即n＝10.(2)令n－2r3＝2，得r＝12(n－6)＝12×(10－6)＝2，∴所求的系数为C210(－12)2＝454.(3)根据通项公式，由题意10－2r3∈Z0≤r≤10r∈Z.令10－2r3＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝5－32k.∵r∈Z，∴k应为偶数．∴k可取2,0，－2，即r可取2,5,8.所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C210(－12)2x2，C510(－12)5，C810(－12)8x－2.二项展开式的通项公式Tr＋1＝Crnan－rbr(r＝0,1,2，…，n)集中体现了二项展开式中的指数、项数、系数的变化，它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数以及数、式的整除等方面有着广泛的应用．使用时要注意：(1)通项公式表示的是第“r＋1”项，而不是第“r”项；(2)通项公式中a和b的位置不能颠倒；(3)展开式中第r＋1项的二项式系数Crn与第r＋1项的系数，在一般情况下是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防出差错；(4)在通项公式中共含有a，b，n，r，Tr＋1这5个元素，在有关二项式定理的问题中，常常会遇到：知道这5个元素中的若干个(或它们之间的关系)，求另外几个元素的问题．这类问题一般是利用通项公式，把问题归结为解方程(组)或不等式(组)，这里要注意n为正整数，r为非负数，且r≤n.[教师选讲]若(x＋124x)n的展开式中前三项系数成等差数列，求：(1)展开式中含x的一次幂的项；(2)展开式中所有x的有理项；(3)展开式中系数最大的项．【解析】由已知条件知：C0n＋C2n·122＝2C1n·12，解得n＝8或n＝1(舍去)．(1)Tr＋1＝Cr8(x)8－r(124x)r＝Cr8·2－r·x4－34r，令4－34r＝1，解得r＝4，∴x的一次幂的项为T4＋1＝C48·2－4·x＝358x.(2)令4－34r∈Z(r≤8)．则只有当r＝0,4,8时，对应的项才为有理项，有理项分别为：T1＝x4，T5＝358x，T9＝1256x2.(3)记第r项系数为tr，设第k项系数最大，则有tk≥tk＋1且tk≥tk－1，又tr＝Cr－18·2－r＋1，于是有Ck－18·2－k＋1≥Ck8·2－kCk－18·2－k＋1≥Ck－28·2－k＋2，即8！(k－1)！(9－k)！×2≥8！k！(8－k)！8！(k－1)！(9－k)！≥8！(k－2)！·(10－k)！×2，∴29－k≥1k1k－1≥210－k，解得3≤k≤4.∴系数最大的项为第3项T3＝7x52和第4项T4＝7x74.赋值法的应用设(3x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4.(1)求a0＋a1＋a2＋a3＋a4；(2)求a0＋a2＋a4；(3)求a1＋a3；(4)求a1＋a2＋a3＋a4；(5)求各项二项式系数的和．•【思路点拨】本题给出二项式及其二项展开式求各系数和或部分系数和，可用赋值法，即令x取特殊值来解决．【自主探究】(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16.(2)令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－3－1)4＝256，而由(1)知a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16，两式相加，得a0＋a2＋a4＝136.(3)由(2)得(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)－(a0＋a2＋a4)＝a1＋a3＝－120.(4)令x＝0得a0＝(0－1)4＝1，得a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0＝16－1＝15.(5)各项二项式系数的和为C04＋C14＋C24＋C34＋C44＝24＝16.•1.赋值法在二项式定理中的应用是高考常考的内容，二项式定理实质是关于a，b，n的恒等式，除了正用、逆用这个恒等式，还可根据所求系数和的特征，让a、b取相应的特殊值，至于特殊值a、b如何选取，视具体问题而定．如：求(a＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn展开式中各项系数和，可令x＝1，即得各项系数和a0＋a1＋a2＋…＋an，若要求奇数项的系数之和或偶数项的系数之和，可分别令x＝－1，x＝1，两等式相加或相减即可求出结果．2．“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解题易出现漏项等情况，应引起注意．1．设(2－3x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值：(1)a0；(2)a1＋a3＋a5＋…＋a99；(3)(a0＋a2＋a4＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|.【解析】(1)方法一：由(2－3x)100展开式中的常数项为C0100·2100，得a0＝2100.方法二：令x＝0，则展开式可化为a0＝2100.(2)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a99＋a100＝(2－3)100①令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋3)100②联立①②得a1＋a3＋…＋a99＝(2－3)100－(2＋3)1002.(3)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)＝(2－3)100(2＋3)100＝1.(4)方法一：∵展开式中，a0，a2，a4，…，a100大于零，而a1，a3，…，a99小于零，∴原式＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100＝(2＋3)100.方法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|，即(2＋3x)100展开式中各项的系数和，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝(2＋3)100.求展开式中系数最大项已知(3x＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992.求(2x－1x)2n的展开式中，(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项．•【思路点拨】展开式中二项式系数的最大项应是中间项，并要根据n的奇偶性来确定是两项还是一项；系数最大项的系数，应满足它不小于前一项的系数，也不小于后一项的系数，若设第r＋1项为展开式中系数最大的项，则应满足第r＋1项的系数大于或等于第r项及第r＋2项的系数．【解析】由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，∴2n＝32，解得n＝5.(1)由二项式系数的性质知，(2x－1x)10的展开式中第6项的二项式系数最大，即C510＝252.(2)设第r＋1项的系数的绝对值最大，∵Tr＋1＝Cr10·(2x)10－r·(－1x)r＝(－1)rCr10·210－r·x10－2r，∴Cr10·210－r≥Cr－110·210－r＋1Cr10·210－r≥Cr＋110·210－r－1，得Cr10≥2Cr－1102Cr10≥Cr＋110，即11－r≥2r2(r＋1)≥10－r，解得83≤r≤113，∵r∈Z，∴r＝3.故系数的绝对值最大的是第4项，T4＝－C310·27·x4＝－15360x4.1.求二项式系数最大项：(1)如果n是偶数，则中间一项(第(n2＋1)项)的二项式系数最大；(2)如果n是奇数，则中间两项(第n＋12项与第(n＋12＋1)项)的二项式系数相等并最大．2．求展开式系数最大项：如求(a