用力矩分配法计算多跨连续梁结点

一、力矩分配法的基本概念二、力矩分配法的基本思路三、用力矩分配法计算多跨连续梁教学内容模块三结构力学项目十超静定结构的内力计算任务二十九多跨连续梁内力计算及内力图绘制1.力矩分配法的基本概念力矩分配法是一种渐进法。是在位移法基础上发展起来的一种数值解法，它不必计算节点位移，也无须求解联立方程，可以直接通过代数运算得到杆端弯矩。力矩分配法的适用对象：是连续梁和无节点线位移刚架。内力正负号的规定：同位移法的规定一致。杆端弯矩使杆端顺时针转向为正，固端剪力使杆端顺时针转向为正。力矩分配法是一种渐进法。是在位移法基础上发展起来的一种数值解法，它不必计算节点位移，也无须求解联立方程，可以直接通过代数运算得到杆端弯矩。力矩分配法的适用对象：是连续梁和无节点线位移刚架。内力正负号的规定：同位移法的规定一致。杆端弯矩使杆端顺时针转向为正，固端剪力使杆端顺时针转向为正。一、力矩分配法的基本概念定义：杆件固定端转动单位角位移所引起的力矩称为该杆的转动刚度，(转动刚度也可定义为使杆件固定端转动单位角位移所需施加的力矩）。转动刚度与远端约束及线刚度有关，对等截面直杆：远端固定：S=4i远端铰支：S=3i远端双滑动支座：S=i远端自由或轴向支杆：S=0i为线刚度：EIilMAB=0MBA=01一、力矩分配法的基本概念1.力矩分配法的基本概念2.传递系数当端转动时，B端也会产生一定弯矩，这好比是近端的弯矩按一定的比例传递到了远端一样，故将B端弯矩与A端弯矩之比称为由A端向B端的传递系数，用CAB表示,CAB=MBA/MAB或MBA=CABMAB传递系数只与远端的约束有关。远端为固定支座：C=1/2远端为铰支座：远端为双滑动支座：远端为自由或轴向支杆：C=0C=0C=-1MAB=0MBA=01一、力矩分配法的基本概念00近端固定、远端自由或轴向支杆-1i近端固定、远端双滑动03i近端固定、远端铰支1/24i近端固定、远端固定传递系数C转动刚度S约束条件等截面直杆转动刚度与传递系数表一、力矩分配法的基本概念力矩分配法得基本思路是：把各杆都视为单跨超静定杆，于是节点上相连的各杆的固端弯矩将组成不平衡弯矩。将这不平衡弯矩按各个杆的刚度系数进行分配，同时还按各杆的传递系数传递到杆的另一端。一次分配和传递后，若节点的弯矩仍不平衡，可继续进行不平衡弯矩的分配和传递，直到基本平衡为此。二、力矩分配法的基本思路以下图示刚架来说明力矩分配法得基本原理。此刚架用位移法计算时，只有一个未知数即结点转角Z1，其位移法方程为r11Z1+R1F=0绘出MF即M1图，可求得自由项为R1F=M12F+M13F+M14F=∑M1jFqF2134(a)M21FM14FM12FM41F2i124i123i13i14(b)MF图(c)M1图r11R1F二、力矩分配法的基本思路R1F是结点固定时附加刚臂上的反力矩，它等于汇交于结点1的各杆端固端弯矩的代数和∑M1jF，亦即各固端弯矩所不能平衡的查额，故又称为结点上的不平衡力矩。r11=4i12+3i13+i14=S12+S13+S14=∑S1j式中∑S1j----汇交于结点1的各杆端转动刚度（劲度系数的总和。解典型方程得按叠加法M=MF+M1Z1计算各杆端的最后弯矩。各杆汇交于结点1的一端为近端，另一端为远端。jFjFSMrRZ111111二、力矩分配法的基本思路各近端弯矩为以上各式右边第一项为荷载产生的弯矩，即固端弯矩；第二项为结点转动Z1角所产生的弯矩，这相当于把不平衡力矩反号后按转动刚度大小的比例分给各近端，因此称为分配弯矩，而μ12、μ13、μ14等称为分配系数。FjFFjjFFjFFjjFFjFFjjFMMMSSMMMMMSSMMMMMSSMM114141114141411313111313131121211121212二、力矩分配法的基本思路分配系数的计算公式为显然，同一结点各杆的分配系数之和应等于1，即∑μij=1。各远端弯矩为以上各式右边第一项仍是固端弯矩，第二项是由结点转动Z1角所产生的弯矩，它好比是将各近端的分配弯矩以传递系数的比例传到各远端，故称为传递弯矩。jiiSS111FjFFjFFjFFjjFMCMMMCMMMCMMSSCMM11414414111313313111212211112122121二、力矩分配法的基本思路力矩分配法的计算步骤如下：1.确定分配结点；将各独立刚节点看作是锁定的(固定端)，查表得到各杆的固端弯矩。2.计算各杆的线刚度、转动刚度S，确定刚节点处各杆的分配系数μ。并注意每个节点处总分配系数为1。3.计算刚节点处的不平衡力矩，将节点不平衡力矩变号分配，得近端分配弯矩。4.根据远端约束条件确定传递系数C，计算远端传递弯矩。用力矩分配法计算多跨连续梁三、用力矩分配法计算多跨连续梁5.依次对各节点循环进行分配、传递计算，当误差在允许范围内时，终止计算，然后将各杆端的固端弯矩、分配弯矩与传递弯矩进行代数相加，得出最后的杆端弯矩；6.根据最终杆端弯矩值及位移法下的弯矩正负号规定，用迭加法绘制结构的弯矩图。三、用力矩分配法计算多跨连续梁【例1】试作图(a)所示多跨连续梁的弯矩图。三、用力矩分配法计算多跨连续梁【解】（1）计算各杆分配系数。5.08412231223433EIEIEIiiiBCBABABA5.084122384434EIEIEIiiiBCBABCBC（2）计算杆固端弯矩。先在结点B加一附加刚臂图(b)使结点B不能转动，此步骤常称为“固定结点”。三、用力矩分配法计算多跨连续梁0ABMmKNqlMBA1801210818122mKNFLMBC100-810081-81-mKNFLMCB10081008181（3）进行力矩分配和传递。可在图(d)上进行。三、用力矩分配法计算多跨连续梁（a）由结点B的平衡条件∑MB=0求得约束力矩：MFB=MFBA+MFBC=(180-100)kN·m=80kN·m（b）为了消除约束力矩MFB，应在结点B处加入一个与它大小相等方向相反的力矩MB=-MFB图(c)，在约束力矩被消除的过程中，结点B即逐渐转动到无附加约束时的自然位置，故此步骤常简称为“放松结点”。三、用力矩分配法计算多跨连续梁计算各杆近端的分配弯矩：MμBA=μBA·MB=0.5×(-80)kN·m=-40kN·mMμBC=μBC·MB=0.5×(-80)kN·m=-40kN·m然后计算各杆远端的传递弯矩：MCAB=CBA·MμBA=0MCCB=CBC·MμBC=1/2×(-40)kN·m=-20kN·m三、用力矩分配法计算多跨连续梁最后将各杆端的固端弯矩图(b)与分配弯矩、传递弯矩图(c)相加，即得各杆端的最后弯矩值：MAB=MFAB+MCAB=0MBA=MFBA+MμBA=(180-40)kN·m=140kN·mMBC=MFBC+MμBC=(-100-40)kN·m=-140kN·mMCB=MFCB+MCCB=(100-20)kN·m=80kN·m【例2】试作图(a)所示多跨连续梁的弯矩图。三、用力矩分配法计算多跨连续梁【例2】试作图(a)所示多跨连续梁的弯矩图。【解】（1）计算各杆分配系数。结点B：SBA=3iBA=3×4EI/2=6EISBC=4iBC=4×9EI/3=12EIμBA=SBA/(SBA+SBC)=1/3μBC=SBC/(SBA+SBC)=2/3校核：1/3+2/3=1三、用力矩分配法计算多跨连续梁结点C：SCB=SBC=12EISCD=4iCD=4×4EI/2=8EIμCB=SCB/(SCB+SCD)=3/5μCD=SCD/(SCB+SCD)=2/5校核：3/5+2/5=1将分配系数填入图(b)的相应位置。三、用力矩分配法计算多跨连续梁（2）计算固端弯矩固定刚结点B和C，则连续梁变成三根单跨超静定梁，因此求得各杆的固端弯矩：MFBA=3/16Pl＝18.75kN·mMFBC=-ql2/12=-15kN·mMFCB=ql2/12=15kN·m其余各固端弯矩均为零。三、用力矩分配法计算多跨连续梁（2）计算固端弯矩将各固端弯矩填入图(b)所示相应位置。结点B和结点C的约束力矩分别为MFB=MFBA+MFBC=(18.75-15)kN·m=3.75kN·mMFC=MFCB+MFCD=15kN·m由图(b)中可以很清楚看出各结点的约束力矩。（3）放松结点C(结点B仍固定)：对于具有多个刚结点的结构，可按任意选定的次序三、用力矩分配法计算多跨连续梁轮流放松结点，但为了使计算收敛得快些，通常先放松约束力矩较大的结点。在结点C进行力矩分配(即将MFC反号乘以分配系数)，求得各相应杆端的分配弯矩为MμCB=3/5×(-15)kN·m=-9kN·mMμCD=2/5×(-15)kN·m=-6kN·m同时可求得各杆远端的传递弯矩(即将分配弯矩乘上相应的传递系数)为MCBC=CCB·MμCB=1/2×(-9)kN·m=-4.5kN·mMCDC=CCD·MμCD=1/2×(-6)kN·m=-3kN·m三、用力矩分配法计算多跨连续梁（4）重新固定结点C，并放松结点B：在结点B进行力矩分配，注意此时结点B的约束力矩为MFB+MCBC=(3.75-4.5)kN·m=-0.75kN·m然后将其反号乘以分配系数，即得相应的分配弯矩为MμBA=1/3×0.75kN·m=0.25kN·mMμBC=2/3×0.75kN·m=0.5kN·m三、用力矩分配法计算多跨连续梁传递弯矩为MCAB=0MCCB=CBC·MμBC=1/2×0.5kN·m=0.25kN·m将计算结果填入图(b)相应位置。（5）进行第二轮计算按照上述步骤，在结点C和B轮流进行第二次力矩分配与传递，三、用力矩分配法计算多跨连续梁计算结果填入图(b)相应位置。这样轮流放松、固定各结点，进行力矩分配与传递。由于分配系数和传递系数均小于1，所以收敛是很快的。由上看出，经过两轮计算后，结点的约束力矩已经很小，附加刚臂的作用基本解除，结构已接近于实际的平衡状态，若认为已经满足计算精度要求时，计算工作便可以停止。（6）最后将各杆端的固端弯矩和每次的分配弯矩、传递弯矩相加，即得最后的杆端弯矩。见图(b)，最后杆端弯矩下画双横线。（7）已知杆端弯矩后，应用拟简支梁区段叠加法可画出弯矩图M如图(c)所示。