用正交变换化二次型为标准形的具体步骤(精)

用正交变换化二次型为标准形的具体步骤;,.1AAxxfT求出将二次型表成矩阵形式;,,,.221nA的所有特征值求出;,,,.321n征向量求出对应于特征值的特;,,,,,,,,,,,,.4212121nnnC记得单位化正交化将特征向量.,.52211nnyyffCyx的标准形则得作正交变换解1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值144241422217A144241422217EA9182.,844141417323121232221化成标准形通过正交变换将二次型Pyxxxxxxxxxxf例2从而得特征值.18,9321得基础解系代入将,091xEA2．求特征向量得基础解系代入将,01832xEA,)0,1,2(2T.)1,0,2(3T3．将特征向量正交化,11取.)1,1,21(1T,22,,,2223233得正交向量组.)1,54,52(3T,)0,1,2(2T,)1,1,21(1T,3,2,1,iiii令得,051522,3232311.4554544523.45503245451324525231P所以4．将正交向量组单位化，得正交矩阵P于是所求正交变换为,45503245451324525231321321yyyxxx.18189232221yyyf且有解例3.222222,434232413121化为标准形把二次型求一个正交变换xxxxxxxxxxxxfPyx二次型的矩阵为,0111101111011110A它的特征多项式为.111111111111EA有四列都加到第一列上三把二计算特征多项式,,,:,1111111111111)1(EA有四行分别减去第一行三把二,,,1000212022101111)1(EA1221)1(2.)1()3()32()1(322.1,34321的特征值为于是A,0)3(,31xEA解方程时当,11111得基础解系.1111211p单位化即得,0)(,1432xEA解方程时当,1111,1100,0011232可得正交的基础解系单位化即得21212121,212100,002121432ppp于是正交变换为yyyyxxxx432143212121021212102121021212102121.324232221yyyyf且有五、小结1.实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请同学们注意这种研究问题的思想方法．2.实二次型的化简，并不局限于使用正交矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运算更快的可逆变换．下一节，我们将介绍另一种方法——拉格朗日配方法．1.若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;ixixkkjijjiiyxyyxyyxjiknk,,,2,1且拉格朗日配方法的步骤2.若二次型中不含有平方项，但是则先作可逆线性变换0ija),(ji化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.解32312123222162252xxxxxxxxxf.,62252323121232221并求所用的变换矩阵为标准形化二次型xxxxxxxxxf例131212122xxxxx322322652xxxx的项配方含有x1含有平方项2321xxx322322652xxxx3223222xxxx去掉配方后多出来的项322322232144xxxxxxx.22322321xxxxx3332232112xyxxyxxxy令3332232112yxyyxyyyx321321100210111yyyxxx32312123222162252xxxxxxxxxf.2221yy所用变换矩阵为.01,100210111CC,33212211yxyyxyyx令解,622323121xxxxxxf代入.842232312221yyyyyyf得.,622323121并求所用的变换矩阵成标准形化二次型xxxxxxf例2由于所给二次型中无平方项，所以yyyxxx321321100011011即再配方，得.622223232231yyyyyf333223112yzyyzyyz令,233322311zyzzyzzy.622232221zzzf得zzzyyy321321100210101即所用变换矩阵为100210101100011011C.100111311.02C二、小结将一个二次型化为标准形，可以用正交变换法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法，这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用．正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而比较简单．需要注意的是，使用不同的方法，所得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项数必定相同，项数等于所给二次型的秩．.,,,323121321变换并写出所作的可逆线性为标准形化二次型xxxxxxxxxf思考题思考题解答故令方项由于所给二次型不含平,解,,,33212211yxyyxyyx,)(2322312yyyyf有,,,,,,33223113322211zyzyzzyyzyzyyz或再令,232221zzzf得标准形.,,3332123211zxzzzxzzzx所用可逆线性变换为222164zyxf为正定二次型22213xxf为负定二次型二、正(负)定二次型的概念.,,0)(0;,,000,0,)(1是负定的并称对称矩阵为负定二次型则称都有如果对任何是正定的并称对称矩阵次型为正定二则称显然都有如果对任何设有实二次型定义AfxfxAffxfxAxxxfT例如正定二次型（正定矩阵）的判别方法：(1)定义法；(2)顺次主子式判别法；(3)特征值判别法.特征值全大于零,011a,022211211aaaa,;01111nnnnaaaa对称矩阵为正定的充分必要条件是：的各阶主子式为正，即AA负定二次型（负定矩阵）的判别方法：(1)定义法；(2)顺次主子式判别法；.,,2,1,011111nraaaarrrrr对称矩阵为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即A(3)特征值判别法.特征值全小于零