二次型的基本概念

1122111121213131122222323222333332(,,,)222222称系数属定义于数域的个变量的二次齐次多项式为数域上的一个元(quadraticform)。本章主要讨论元实二次型，简称二次。型型1二次nnnnnnnnnnPnfxxxaxaxxaxxaxxaxaxxaxxaxaxxaxPnn§6.1二次型的基本概念2122221122(,,,)nnnnfxxxdxdxdx给定一个元二次型，若具有平方和的形式,则称二次型型为。标准,.()jiijnaijAaij设a于是得到实对称矩阵利用矩阵的乘法运算可将一般的二次型(6.1)表示为31221111212112212122222211,1111112212112222121122(,,,)(,,,)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnfxxxaxaxxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxaxaxaxaxaxaxxxxaxaxaxLLLLLLLLML2,.ijijijijjijijiijaxxaxxaxxaa让其中41112112122221212(,,,)nnnnnnnnaaaxaaaxxxxaaaxLLLMMMMML5111211212222121212,(,,,),................(6.2)(,,,)nnnnnnnTTnnaaaxaaaxAXaaaxfxxxXAXAAfxxxAfAf令则称(6.2)式为二次型的，矩阵为的矩阵，的秩为矩阵表示对称的秩。611,nnTijijijnAXAXaxx反之，对于任一阶对称矩阵为一个非零二次型。112(),,,,,.ijnnnTijijijijijjiiiiTTnCcXCXcxxxxccijxcXCXCC对于任一阶矩阵的系数为的系数为因此为二次型当且仅当注意：72,,22(1)(1,2,,)TTTTTTijijijiiiiiXAXXBXAABBXAXXBXxxabijnxabinAB又若其中，则二次型与中的系数与必相等，的二次型和它的矩阵是相互唯一确定系数与必相等，故，即，这就使得二次型的问题可用对称矩阵来帮的助讨论。82221231122233(,,)435fxxxxxxxxxx例2将写成矩阵形式。332f),,iji解：设的矩阵为A=(a为中的系数，为f中x系数的一半（ij)TiiiijjAAafxax1123123231201205523,(,,)(,,)232255010122故A=xfxxxxxxxx91133316231－设－，则是一个－二次型。例TAXAX解：实际上，我们只需要判断是否是一个二次齐次多项式。TXAX10112323112312312323222123121323113()33162136323329－－－是一个二次齐次多项式，依然是一个二次型，但并不是二次型的矩阵。TTxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxXAXA11112323231(,,)1012113写出二次型的矩阵。例xxxxxx22311012113()(,1,2,3)2解：不是对称矩阵，二次型中的系数为，的系数为，故二次型的矩阵的元素.ijijjiiiiijjiijBxxbbijxbbbAaij12。3623601231221222222333223311332232221123113211211ABBbbbbbbbbbbbbbbbAT)(2,().T只要不是反对称矩阵，X都是二次型，的系数为的系数为iiiijijjiBBXxbxxbbij13把一个二次型转化为标准型nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycxn2211222212121212111136)......(..........量替换：元二次型，作如下的变一般的对14111111()写成矩阵形式或。(6.3)式表示的变量之间的替换可逆线称为线性替换，当矩阵可逆时，称为(或满秩的线性替换，或非退化的性替换线性替换等)。nnnnnnijnxccyXCYxccyCc151212(,,,)()(,,,)TTnTTnfxxxXAXAAXCYfgyyyYBYBCACg对二次型作可逆线性替换，则化为新变量的二次型，其中为定理1的矩阵。1612(,,,)()()()证明：，XCYTnTTTfxxxXAXCYACYYCACY()()令，由于以及可逆，所以，是对称矩阵。TTTTTTTTTBCACBCACCACCACBCB12(,,,)又是二次型，它的矩阵不为零，与等价，故不为零。于是，是二次型，对称矩阵为的矩阵。TnfABABgyyyYBYBg17设与是两个n阶矩阵，若存在可逆矩阵，使得，则称与，记定义2合为同。TABCBCACABAB由此定义不难验证矩阵的合同关系满足下列三条性质：(1)反身性，；(2)对称性，若，则；(3)传递性，若，，则。AAABBAABBCAC18222112233222311223(1)(2)证明：二次型可经一个非退化的线性替换化为。例4dydydydzdzdz121123223331010001......(3)100解：令，即，yzyzyzyzyzyz0100010100由于，故(3)是一个可逆线性替换，将(1)化为(2).