微分方程公式总结

第四章微分方程1.可分离变量的微分方程初值问题00)()(yydxxfdyygxx的解为dxxfxxy00)(g(y)dyy2.一阶线性微分方程)()(xQyxPdxdy的通解公式为))(()()(CdxexQeydxxPdxxP3.初值问题00)()(yyxQyxPdxdyxx的解为))((0)()(000ydxexQeyxxdxxPxxxxdxxP4.齐次型方程)(xydxdydxduxudxdyuxyxyu于是有便得到)(udxduxu这是一个可分离变量的微分方程。分离变量后积分xdxuudu)(5.可化为齐次型的方程bbaacybxacbyaxdxdy11111其中当01cc时方程是齐次型的，否则是非齐次型的。在非齐次型的情形下，可用如下的代换把它化为齐次型的。作代换kYyhXx,)()(11111ckbhaYbXacbkahbYaXdXdY再令00111ckbhacbkah可定出h和k6.伯努利方程yxQyxPdxdy)()()1,0(作代换1yz则dxdyydxdz)1(，于是有)()1()()1(xQzxPdxdz，这是一阶线性方程。7.可降阶的二阶微分方程(1))(''xfy(2))',(''yxfy设py'那么'''pdxdpy从而方程就化为),('pxfp这是一个关于变量x，p的一阶微分方程。如果我们求出它的通解为),('1Cxpy，那么再通过积分，可得原方程的通解21),(CdxCxy(3))',(''yyfy设py'dydppdxdydydpdxdpy''从而方程就化为),(pyfdydpp这是一个关于变量y，p的一阶微分方程。如果我们求出它的通解),('1Cxpy那么分离变量并两端积分，可得原方程的通解为21),(CxCydy