范德蒙德行列式的性质及应用(16开)

湖北师范学院文理学院2012届数学与应用专业毕业论文（设计）-1-目录1、前言...............................................................................................22、范德蒙行列式的计算方法[1]...........................................................24、范德蒙行列式的推广[2]..................................................................55、范德蒙行列式的应用.....................................................................85.1在多项式理论中的应用[3]........................................................85.2在行列式计算中的应用[4]........................................................95.3在向量空间理论应用............................................................145.4在微积分中的应用................................................................18参考文献：........................................................................................21湖北师范学院文理学院2012届数学与应用专业毕业论文（设计）-2-范德蒙行列式的性质及应用张鹏（指导老师：余红宴）（文理学院数学系0807班湖北黄石435002）1、前言形如12322221231111312111...1.....................nnnnnnnaaaaaaaaaaaa−−−−的行列式称为Vandermonde行列式，记为12(,,...,).nnVaaaVandermonde行列式是高等代数的一个重要内容。其特点是每一列为某一个数的不同方幂，且从上到下幂指数由零递增至1n−.范德蒙行列式的计算在行列式的计算中占有特殊的地位，在数学的各个领域都有很广泛的应用2、范德蒙行列式的计算方法[1]定理1123222212311111312111...1......()(2)...............nnnjiijnnnnnnaaaaDaaaaaanaaaa≤≤−−−−==−≥∏证明:对n用归纳法.当n2=时,212211211(,),Vaaaaaa==−结论成立.假设对1n−结论也成立,即112111211323121(,,...,)()...()()...()()()nnnnnnVaaaaaaaaaaaaaaa−−−−−=−−−−−−湖北师范学院文理学院2012届数学与应用专业毕业论文（设计）-3-作辅助行列式1212222121111111211...11...()..................nnnnnnnaaaxfxaaaxaaax−−−−−−−=(1)不难看出,()fx是一个(1)n−次多项式,并且它有1n−个根:1a,2a,…,1na−,因此()fx121()()...(),nkxaxaxa−=−−−其中k为特定常数.由于k为1nx−的系数,而由(1)式可t知1nx−的系数为1121(,,...,)nnVaaa−−,所以()fx=1121(,,...,)nnVaaa−−12()()...()nxaxaxa−−−又121(,,...,)()nnnVaaafa−=12111211211(,,...,)(,,...,)()()...()()(2)nnnnnnnnjiijnVaaaVaaaaaaaaaaan−−−−≤≤∴=−−−=−≥∏证法2[12]将nD看作系数与121,,naaa−⋯有关，未知量是na的一元多项式。则当(1,2,1)niaain==−⋯时，0nD=，所以121,,naaa−⋯是nD的根，所以ninaaD−1,2,1in=−⋯又因为当ij≠时，(,)1ninjaaaa−−=所以设121()()()nnnnnaaaaaaD−−−−⋯设12121(,,)()()()nnnnnnDgaaaaaaaaa−=−−−⋯⋯(2)另一方面，如果将按最后一列展开可知道，是的次多项式，且项的系数湖北师范学院文理学院2012届数学与应用专业毕业论文（设计）-4-是阶范德蒙行列式123122221123122223112111...1.....................nnnnnnnnaaaaDaaaaaaaa−−−−−−−−=与(2)比较可得1121(,,,,)nnnDgaaaa−−=⋯因此11121()()()nnnnnnDDaaaaaa−−−==−−−⋯同理12111212()()()nnnnnnDDaaaaaa−−−−−−=−−−⋯依次类推，最后有2121()DDaa=−又因为11D=，所以121211()()()()()nnnnnijjinDaaaaaaaaaa−≤≤=−−−−=−∏⋯⋯⋯例1计算行列式2111111212222221111nnnnnnnnxxxxxxxxxxDxxxxx−−−−−=−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯解从第i行提出(1,2,,),1iixinx=−⋯然后再把第1列加到第2列，之后，第2列加到第3行，,⋯⋯第1n−列加到第n列，就得到范德蒙行列式，于是湖北师范学院文理学院2012届数学与应用专业毕业论文（设计）-5-11()1niijijinixDxxx=≤≤=−−∏∏例2计算1n+阶行列式1111(21)(22)(2)(21)(22)(2)212221111nnnnnnnnnnnnnnnnDnnnn−−−−−−−−=−−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯解将第1n+行依次与上行交换到第1行，第n行依次交换到第2行，,⋯⋯第2行与第1行交换，得到(1)21111111121222(1)(1)1!2!!(21)(22)(2)(21)(22)(2)nnnnnnnnnnnnnnnDnnnnnnnnn+−−−−−−=−=−−−−−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3、范德蒙行列式的性质性质1121(,,...,)0nnVaaa−=的充要条件是12,,...,naaa中至少有两个相等.性质2任意实数t，都有12123(,,...,)(,,,...,)nnnnVatatatVaaaa+++=推论1[18]11122212221121212111122(2)12111,,(,,,,,,,,,,)(,,,,)(1)[!]()[()()](,,,)iiiinnnnnnnnnninniiiinnnpnpnppppnnpnnVxxxxxxxxVxxxxpxxxxxxVxxx+++===≠≠==−−−−∏∏∏⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯推论2[18]湖北师范学院文理学院2012届数学与应用专业毕业论文（设计）-6-1211112111111111(1)1(1)112111111111(,,,,,,)111000000[!][()][iiimmnnnminminminminmiinmiinminnminminnminminimmmimpqppqVxxxxxxxxAAxxxAxAxAxAxpxx++−+−+−+−+−+−−+−−+−+−+−+−=====−∏∏∏⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12111()][()](,,,)mmmmipqpqnpqmpqmxxxxVxxx==+≤≤−•−∏∏∏⋯4、范德蒙行列式的推广[2]定理2从第n列起缺一列时的公式如下：22111122222222333311221...1...(1,1)()().1.....................1...nnnnnnnnijiiijnnnnnnnaaaaaaaaDnaaaaaaaaaaa−−−=≤≤−−==−∑∏证明将D升阶为下面的1n+阶行列式22111111221222221221111112212211111...1...nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa−−−−+−−−−−−−−−−−∆=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯即插入一行与一列，使1n+∆是关于12,,,,naaaa⋯的1n+阶范德蒙行列式，此处a是变数.于是1121()()()()nnijjinaaaaaaaa+≤≤∆=−−−−∏⋯故1n+∆是一个关于a的n次多项式，它可以写成11121(){(1)()}nnnijnjinaaaaaaa−+≤≤∆=−+−++++∏⋯⋯另一方面将1n+∆按其第1n+行展开，即得湖北师范学院文理学院2012届数学与应用专业毕业论文（设计）-7-21111()(1)(1,1)nnnnijnjinaaaDna+−+≤≤∆=−+−−+∏⋯比较1n+∆中关于1na−的系数，即得11(1,1)()().nnijiiijnDnaaa=≤≤−=−∑∏定理3从第n列起缺二列时的公式如下：22111112212222112211...1...(1,2)()()...................1...nnnnnnijjiiijnijnnnnnnnaaaaaaaaDnaaaaaaaa−+−+=≤≤≤≤−+−==−∑∑∏证明：构造线性方程组21112131121122232221123.................................................nnnnnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxa−−−⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩（2）()i当1a，2a，…，na中有两个相等时，显然(1,2)nDn−0=.()ii当1a，2a，…，na中互不相等时,由Vandermonde行列式知,方程组的系数行列式1()0.jiijnaa≤≤∆=−≠∏方程组有惟一解,其中(1,2)/.nnxDn=−∆所以(1,2)nnDnx−=∆.再做1n+次方程112121...0.nnnnntxtxtxtx+−−−−−−−−=(4)由(2)知,方程(4)存在n个根1a，2a，…，na.又因为nt的系数为0,由根与系数关系知另一根0x为湖北师范学院文理学院2012届数学与应用专业毕业论文（设计）-8-012(...).nxaaa=−+++由根与系数关系知1.nnijiijnxaa=≤≤=∑∑(5)将(5)代入(3)得(1,2)nDn−=(1nijiijnaa=≤≤∑∑)1()jiijnaa≤≤−∏.定理4合流范德蒙行列式给定t个互异的数12,,tααα⋯和正整数12,,tnnn⋯记1tiinn==∑称如下形式的n阶行列式(1)'(1)'111det(),(),,(),,(),(),,()tnnttttVvvvvvvαααααα−−=⋯⋯⋯为合流范德蒙行列式，当tn=且121tnnn====⋯时，dettV是通常的范德蒙行列式定理[13]n阶合流范德蒙行列式1101det!()jijntnntijjktijVkαα−==≥≥=−∏∏∏证明设n维向量12,(,,,0,,0)(1,2,,)tTqqqqnnqtqnαααα++==⋯⋯⋯满足11112,1()()()jiitnnnqTqqqqqnnqtjjvxxxxxαααααα−−+−−−+=•=+++=−−∏⋯，比较上式两边1innqx−+−的系数，可知,1iqnnqα−+=，且有或111111111()[()()]0,1,2,,1;1,2,,,(1)!(),,jiikktnTqqxijxkkjittjjddvxxxdxdxitknkqqitkqααααααα−−