本科毕业论文---曲面的两个基本形式及其应用

1毕业论文题目：曲面的两个基本形式及其应用学院(直属系)：年级、专业：学生姓名：学号：指导教师：完成时间：教务处制2摘要本文针对曲面的相关性质，叙述了微分几何中空间曲面的第一基本形式和第二基本形式的概念、性质和在曲面论中的应用的相关知识。通过举几个具体的曲面说明第一基本形式和第二基本形式的计算，以及利用曲面的第一基本形式和第二基本形式来研究曲面的性质。分析了曲面的三个基本形式的系数矩阵之间的关系及其证明，并应用第一基本形式和第二基本形式来研究两曲面的等距对应，然后将曲面的第一基本形式和第二基本形式在曲面论基本定理中的作用和曲率和挠率在曲线论基本定理中的作用比较来研究。深入了解曲面的两个基本形式及其应用。关键词：曲面的第一基本形式、第二基本形式，系数矩阵，等距对应，曲线论基本定理，曲面论基本定理AbstractBasedontherelatedpropertiesofsurface,thispaperdescribesconceptandpropertiesandapplicationofsurfacetheoryintherelevantknowledgeofthefirstbasicformandthesecondbasicformofthespacesurfaceinthedifferentialgeometry.Explainingthecalculationofthefirstbasicformandthesecondbasicformbyconcretesurfaceandusingthefirstbasicformandthesecondbasicformofsurface,wecanstudythepropertiesofsurface.Withanalyzingtherelationshipbetweenthecoefficientmatrixanditsproofofthethreebasicformsofsurfaceandapplicationofthefirstbasicformandsecondbasicform,wecanstudytheisometriccorrespondingoftwocurvedsurface.Thenwewillstudybycomparingfunctionofthefirstbasicformandthesecondbasicforminbasictheoremsofsurfacetheorywithfunctionofcurvatureandflexiblerateinbasictheoremsofcurvetheory.Finally,wewillhaveafurtherunderstandingforthetwobasicformsofsurfaceanditsapplication.Keywords：thefirstbasicformsurface,、thesecondbasicform,coefficientmatrix,isometriccorresponding,curvetheorybasictheorems,surfacetheorybasictheorems3前言曲面第一基本形式和曲面第二基本形式在微分几何中占有非常重要的地位，对于曲面的第一基本形式而言，在曲面上与度量性质有关的量都能借助于去曲面的第一基本形式进行计算，第一基本形式是曲面参数的二次微分形式，而曲面的参数容许做一定的变换，第一基本形式在等距变换下不变，第一基本形式确定的曲面的性质或量在等距变换下不变的。如弧长、面积、曲线的交角。就是说第一基本形式刻画了曲面本身的内在性质，这些性质与曲面在空间的位置，与曲面的弯曲没有关系。；对于曲面的第二基本形式而言，近似的等于曲面与切平面的有向距离的两倍，因而它刻画了曲面离开切平面的程度。即刻画了曲面在空间中的弯曲性。利用第一基本形式和第二基本形式可以做一些相关计算，研究两曲面的等距对应，并和曲率，挠率进行类比等。一．曲面的第一基本形式1.定义给出曲面s:(,)rruv上的曲线()c:()uut,()vvt或((),())rrutvt。对于曲线()c有()uvdudvrtrrdtdt或uvdrrdurdv，若以s表示曲面上曲线的弧长，则有2222222()()2uvuuvvdsdrrdurdvrdurrdudvrdv。令,,uuuvvvErrFrrGrr，则2222dsEduFdudvGdv，这个二次形式决定曲面上曲线()c的弧长，曲线()c上两点01()()AtBt、之间的弧长是1022()2()ttdududvdvsEFGdtdtdtdtdt222EduFdudvGdv是关于,dudv的二次形式，称为s的第一基本形式，用表示，即=222EduFdudvGdv，它的系数,,uuuvErrFrrvvGrr叫做曲面的第一类基本量。说明因为0,0uuvvErrGrr，22222()()0uvuvuvEGFrrrrrr因此第一基本形式是正定的。求第一基本形式举例4例1求曲面(,)zzxy的第一基本形式。解(,)zzxy表示的曲面即(,){,,(,)}rrxyxyzxy，{1,0,}xrp，{0,1,}yrq，其中,zzpqxy，221,,1EpFpqGq所以第一基本形式是2222(1)2(1)pdxpqdxdyqdy。例2求球面{coscos,cossin,sin}rRRR的第一基本形式。解同理可知22222cosRdRd例3求正螺面{cos,sin,}ruvuvav的第一基本形式。解同理可知Ⅰ2222()duuadv。2.曲面上两方向的夹角曲面(,)rruv上一点00(,)uv的切方向称为曲面上的方向，它能表示为0000(,)(,)uvdrruvduruvdv，其中0000(,),(,)uvruvruv是过00(,)uv点的坐标曲线的切向量。任给一组,dudv，由上式就确定曲面的一个方向，以后常用,dudv或()d或dr表示曲面上的一个方向。两方向的夹角：给出两个方向(:)dudv与(:)uv我们把向量uvdrrdurdv与uvrrurv间的夹角称为方向(:)dudv与(:)uv间的角。(:)dudv与(:)uv总代表过00(,)uv的两条曲线的方向，所以这两方向的夹角也叫做两曲线的夹角。设dr与r的夹角为，则cosdrrdrr，2222drEduFdudvGdv2222rEuFuvGv，()drrEduuFduvdvuGdvv故2222()cos22EduuFduvdvuGdvvEduFdudvGdvEuFuvGv5例已知曲面的第一基本形式为Ⅰ22()2()EduFdudvGdv，参数曲线的二等分角轨线的方向向量是(,)dudv,求u曲线v曲线分别与参数曲线的二等分角轨线的夹角余弦。解：设正则参数曲面S的参数方程是(,)rruv，已知它的第一基本形式是Ⅰ22()2()EduFdudvGdv在基底{,}uvrr下，u曲线的方向向量是(1,0)，v曲线的方向向量是(0,1)参数曲线的二等分角轨线的方向向量是(,)dudv则有u曲线参数曲线的二等分角轨线的夹角余弦是22cos()2()EduFdvEEduFdudvGdvv曲线与参数曲线的二等分角轨线的夹角余弦是22cos()2()FduGdvGEduFdudvGdv二．曲面的第二基本形式上面讨论的是曲面的第一基本形式。第一基本形式在等距变换下不变，第一基本形式确定的曲面的性质或量在等距变换下不变的。如弧长、面积、曲线的交角。就是说第一基本形式刻画了曲面本身的内在性质，这些性质与曲面在空间的位置，与曲面的弯曲没有关系。为了研究空间曲面的弯曲性，下面介绍曲面的第二基本形式。设2C类曲面的方程是(,)rruv，即r有二阶连续偏导矢,,uuuvvvrrr。现在固定曲面上一点(,)puv,设曲面在p点的切平面是。下面先介绍：曲面s上的点P到其邻近点p的切平面的有向距离。SPQP(C)6设P在过p点的曲线()c：()uus,()vvs或((),())rrusvs上，s为()c的自然参数。p与P的自然参数分别为,sss。则212()()()()PPrssrsrsrs,其中0lim0s。设n为曲面s在p点的单位法向量，由P作平面的垂线，垂足为Q.如果QP=n,则称为为从平面到曲面s的有向距离（QP与n同向时,0，QP与n反向时，0）。因为0QPn，所以有212()[()()][()]QPnQPPPnPPnrssrsnrsrsn212()]rnns。当0rn时，的主要部分是221122rnsrnds。1.定义由于22,2uvuuuvvvrrurvrruruvrv，又因为0,0uvrnrn，故2222uuuvvvrndsrndurndudvrndv引进记号：,,uuuvvvLrnMrnNrn则称Ⅱ2222rndsLduMdudvNdv为曲面的第二基本形式，它的系数,,LMN叫做曲面的第二类基本量。说明（1）由定义曲面的第二基本形式近似的等于曲面与切平面的有向距离的两倍，因而它刻画了曲面离开切平面的程度。即刻画了曲面在空间中的弯曲性。（2）第二基本形式不一定是正定的。即可正可负，曲面向正侧弯曲时为正，曲面向反侧弯曲时为负。所以第二基本形式的符号刻画了曲面的弯曲（相对于n）的方向。（3）因为222,()uvuuuvvvdrrdurdvdrddrrdurdudvrdv722uvrdurdv，2222()uuuvvvndrnrdurdudvrdvrnds所以也有Ⅱ2ndr。（4）第二基本量的计算可按下式：22(,,),uvuuuvuurrrrrnLrnEGFEGF，2(,,)uvuvuvrrrMrnEGF，2(,,)vvuvvvrrrNrnEGF，（5）第二基本形式、第二类基本量的另一表示形式Ⅱ2ndrdndr，,,uuuvvuvvLrnMrnrnNrn证明因为0ndr,微分得：20dndrndr，所以2ndrdndr。因为0urn,对,uv分别微分得：0uuuurnrn，0uvuvrnrn，所以,uuuuuvuvrnrnrnrn。因为0vrn，对,uv分别微分得：0,0vuvuvvvvrnrnrnrn，所以,vuvuvvvvrnrnrnrn，所以,,uuuvvuvvLrnMrnrnNrn。求第二基本形式举例例1计算球面{coscos,cossin,sin}rRRR的第二基本形式。解由第一基本形式知22222cosRdRd又2cos,0,LrnRMNrnR。222cosRdRd。例2计算(,)zzxy的第二基本形式.解曲面的向量方程{,,(,)}rxyzxy记,zzpqxy，22222,,zzzrstxxyy，则22221,,1xxyyErpFrrpqGrq8所以第一基本形式2222(1)2(1)pdxpqdxdyqdy。2221{,,1}1xyrrnpqEGFpq，2222,11rsLMpqpq，221tNp