材料力学简单的超静定问题

1第六章简单的超静定问题第六章简单的超静定问题2目录第六章简单的超静定问题§6-1超静定问题及其解法§6-2拉压超静定问题§6-3扭转超静定问题§6-4简单超静定梁3§6-1超静定问题及其解法§6-1超静定问题及其解法一.静定与超静定的概念静定问题：若未知力（外力或内力）的个数等于独立的平衡方程的个数，仅用静力平衡方程即可解出全部未知力，这类问题称为静定问题.相应的结构称静定结构。超静定问题：若未知力（外力或内力）的个数多于独立的平衡方程的个数，仅用静力平衡方程便无法确定全部未知力，这类问题称为超静定问题或静不定问题.相应的结构称超静定结构或静不定结构。4多余约束：在静定结构上加上的一个或几个约束，对于维持平衡来说是不必要的约束（但对于特定的工程要求是必要的）称为多余约束。对应的约束反力称为多余未知力。超静定次数：未知力个数与独立平衡方程数之差，也等于多余约束数。由于超静定结构能有效降低结构的内力及变形，在工程上（如桥梁等）应用非常广泛。§6-1超静定问题及其解法52.超静定的处理方法二、求解超静定问题的基本方法1.静定与超静定的辩证关系多余约束的两种作用：前者使问题变为不可解；后者使问题变为可解。增加了未知力个数，同时增加对变形的限制与约束平衡方程变形协调方程相结合，进行求解（几何方程）物理方程(体现为力与变形关系。)61.比较变形法I.拉压超静定问题的解法：把超静定问题转化为静定问题解，但必须满足原结构的变形约束条件。§6-2拉压超静定问题§6-2拉压超静定问题712FC11AE22AEBA例1.杆上段为铜，下段为钢杆，222,,EA弹性模量截面积下段长杆的两端为固支,求两段的轴力。111,,EA弹性模量截面积上段长§6-2拉压超静定问题§6-2拉压超静定问题812FC11AE22AEBABR解：（1）选取基本静定系（或相当系统如图），解除B端多余约束，代之以约束反力BR§6-2拉压超静定问题12FC11AE22AEBA9（2）建立变形协调方程。0BBBFAB)(111AEFACBF))((222111AEAERBABBB12FC11AE22AEBABR——补充方程)(222111111AElAElRAEFlB（3）物理方程。§6-2拉压超静定问题10（4）联立求解。)(222111111AElAElRAEFlB12FC11AE22AEBABRAR0FRRBA),122211122211122211AEAEFAERAEAEFAERBA§6-2拉压超静定问题112.几何分析法解超静定问题的关键是找出求解所有未知约束反力所缺少的补充方程。结构变形后各部分间必须象原来一样完整、连续、满足约束条件----即满足变形相容条件。§6-2拉压超静定问题12解:为一次超静定。F例2.结构如图，F1N2N3N①A123A,3,3311AEAE杆为在F力作用下，求各杆内力。1、2杆抗拉刚度为21:0NNFxFNNFy31cos2:0§6-2拉压超静定问题(1)画A结点受力图，建立平衡方程13A213(3)代入物理关系，建立补充方程21cos321Δl②③333311111111cosAENAENAENA3(2)建立变形协调方程：如图三杆铰结，画A节点位移图,列出变形相容条件。要注意所设的变形性质必须和受力分析所中设定的力的性质一致。由对称性知§6-2拉压超静定问题14A213(3)代入物理关系，建立补充方程21cos321Δl②A3(2)建立变形协调方程：如图三杆铰结，画A节点位移图,列出变形相容条件。要注意所设的变形性质必须和受力分析所中设定的力的性质一致。由对称性知§6-2拉压超静定问题coscos333111AELNAELN④15(4)联立①、④求解：3331132113321cos21coscos2AEAEFNAEAEFNN§6-2拉压超静定问题19解超静定问题的步骤：1）用约束反力代替多余约束，得到静定结构。2）利用虎克定律建立力与变形之间的关系（物理关系）3）利用变形协调关系建立补充方程（几何关系）4）利用平衡方程，解出全部的未知反力（平衡关系）。§6-2拉压超静定问题20II.温度应力和装配应力1、静定问题无温度应力。2、超静定问题存在温度应力。温度应力装配应力：超静定结构中由于加工误差，装配产生的应力。1、静定问题无装配应力。2、超静定问题存在装配应力。21aa温度应力aaaaN1N2（b）（a）22D3ABC12A1例4：如图，3号杆的尺寸误差为，求各杆的装配内力。ABC12装配应力：23D3ABC12A1A1N1N2N3AA13L2L1L解：、平衡方程:0sinsin21NNX0coscos321NNNY、几何方程1321cos)(LΔLΔL装配应力：24cos)(332211EALNEALNEALN、物理方程及补充方程：、解平衡方程和补充方程，得:/cos21cos32321EAEAEALNN/cos21cos23333EAEAEALNA1N1N2N3AA13L2L1L装配应力：25例5：两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C受外力偶矩m作用，试求杆两端的支座反力偶矩。§6-3扭转超静定问题26解：mmmAB静力平衡方程为：0CBACAB变形协调条件为：27解：mbaammbabmBA联立解出：0pBpAIGbmIGam0CBACAB28例6:长为L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的作用，如图，若杆的内外径之比为=0.8，外径D=0.0226m，G=80GPa，试求固端反力偶。§6-3扭转超静定问题2902BAmmm②几何方程（变形协调方程）0BA解：①杆的受力图如图示，这是一次超静定问题。平衡方程为：§6-3扭转超静定问题30③综合物理方程与几何方程，得补充方程：040220200PAPALPBAGImdxGIxmdxGITmN20Am④由平衡方程和补充方程得：另:此题可由对称性直接求得结果。mN20Bm§6-3扭转超静定问题311.基本概念：超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。2.求解方法：解除多余约束，建立相当系统——比较变形，列变形协调条件——由物理关系建立补充方程——利用静力平衡条件求其他约束反力。相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统目录§6-4简单超静定梁322a(d)(c)(b)(a)aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA解例7求梁的支反力，梁的抗弯刚度为EI。2a(d)(c)(b)(a)aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA1）判定超静定次数2）解除多余约束，建立相当系统(d)ABCFByABFC0)()(ByFBFBB）进行变形比较，列出变形协调条件§6-4简单超静定梁334）由物理关系，列出补充方程EIFaaaEIaFwFB314)29(6)2()(32EIaFwByFBBy38)(303831433EIaFEIFaBy所以FFBy474）由整体平衡条件求其他约束反力)(43),(2FFFaMAyA目录2a(d)(c)(b)(a)aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA2a(d)(c)(b)(a)aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA(d)ABCFByABFCAMAyF§6-4简单超静定梁34例8梁AB和BC在B处铰接，A、C两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，F=40kN，q=20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。从B处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。变形协调方程为：21BByyBBFFFBMAFAyB1FBMCFCyB2物理关系EIFEIqyBB3484341EIFEIFy'BB3424362322解§6-4简单超静定梁35FBFBMAFAMCFCyB1yB2kN75.84842046104023342BF代入得补充方程：EIFEIFEIFEIqBB342436234843234确定A端约束力04,0qFFFBAykN25.7175.82044BAFqF0424,0BAAFqMMmkN12575.842204424BAFqM§6-4简单超静定梁36FBFBMAFAMCFCyB1yB2§6-4简单超静定梁确定C端约束力0,0FFFFCBykN75.4875.840BCFFF042,0BCCFFMMkN.m11540275.8424FFMBC37MAFAMCFCA、B端约束力已求出最后作梁的剪力图和弯矩图)()(25.7175.875.48kNSF)(kN25.71AF)kN(75.48CF)(mkN125AM)m(kN115CM)(12511594.15.17)mkN(M)(§6-4简单超静定梁38小结1、明确超静定、超静定次数、多余约束、多余未知力、基本静定系等基本概念。2、能判断超静定次数。3、理解超静定问题的基本解法为考虑静力平衡、变形相容和物理关系三个方面。4、对于二次或二次以下的超静定问题，能合理地选取基本静定系，正确地列出变形几何方程。5、初步学习利用对称性降低超静定次数、选取基本静定系的技巧。目录39对称结构在对称荷载作用下，则结构的内力分布和变形（或位移）均对称于对称轴。因而位于对称轴截面上仅可能有对称的内力分量和位移分量，其反对称的内力分量和位移分量必为零。对称结构在反对称荷载作用下，则结构的内力分布和变形（或位移）均反对称于对称轴。因而，位于对称轴截面上仅可能有反对称的内力分量和位移分量，其对称的内力分量和位移分量必为零。40轴向拉压扭转对称弯曲内力分量轴力对称扭矩反对称剪力反对称弯矩对称位移分量轴向线位移反对称扭转角对称挠度对称转角反对称内力分量和位移分量的对称或反对称属性416.56.116.17第六章作业