数学期望和方差

第四章数学期望和方差分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性，但在实际问题中，随机变量的分布函数较难确定，而它的一些数字特征较易确定．并且在很多实际问题中，只需知道随机变量的某些数字特征也就够了.另一方面，对于一些常用的重要分布，如二项分布、泊松分布、指数分布、正态分布等，只要知道了它们的某些数字特征，就能完全确定其具体的分布.第四章数学期望和方差第四章数学期望和方差随机变量的平均取值——数学期望随机变量取值平均偏离平均值的情况——方差描述两个随机变量之间的某种关系的数——协方差与相关系数本章内容第四章数学期望和方差引例:测量50个圆柱形零件直径(见下表)则这50个零件的平均直径为cm14.10501012101115107988尺寸（cm）89101112数量（个）8715101050§4.1数学期望第四章数学期望和方差换个角度看,从这50个零件中任取一个,它的尺寸为随机变量X,则X的概率分布为XP89101112508507501550105010则这50个零件的平均直径为14.10)(128128kkkkpkXPkD称之为这5个数字的加权平均,数学期望的概念源于此.第四章数学期望和方差数学期望的定义定义1.1设离散型随机变量X的概率分布为,2,1,)(kpxXPkk若无穷级数1kkkpx绝对收敛，则称其和为随机变量X的数学期望或均值，记作E(X).1)(kkkpxXE第四章数学期望和方差常见离散型随机变量的数学期望(1)0－1分布这时P(X=1)=p,P(X=0)=1-p.故E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)=p.第四章数学期望和方差(2)二项分布X的取值为0,1,…,n.且P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k,k=0,1,…,n.nkknkknppkCXE0)1()(nkknkppknknk1)1()!(!!10)1(1)1(nkknkknppCnpnkknkppknknnp1)1()1(1)1()!()!1()!1(np第四章数学期望和方差(3)泊松分布X的可能取值为0,1,2,…，且第四章数学期望和方差(4)几何分布X的可能取值为1,2,…,且P(X=k)=qk-1p,k=1,2,….p+q=1.第四章数学期望和方差注:在第三个等号中利用了等式这可以由等式两边同时对x求导数得到.第四章数学期望和方差例1对产品进行抽样，只要发现废品就认为这批产品不合格，并结束抽样。若抽样到第n件仍未发现废品则认为这批产品合格.假设产品数量很大，抽查到废品的概率是p，试求平均需抽查的件数.第四章数学期望和方差解：设X为停止检查时，抽样的件数，则X的可能取值为1,2,…,n，且.,;1,,2,1,}{11nkqnkpqkXPnk，于是其中pq11111)(nnkknqpkqXE第四章数学期望和方差111111nnkknkknqkqkq112222))1()2(2())1(321(nnnnnqqnqnqqqnqq121nqqqppqqnn)1(1111111)1()(nnkknqqkqXE第四章数学期望和方差定义1.2设X为连续型随机变量,其密度函数为f(x)，若积分dxxxf)(绝对收敛，则称此积分为随机变量X的数学期望或均值，记作E(X).dxxxfXE)()(注意：随机变量的数学期望的本质就是加权平均数，它是一个数，不再是随机变量。第四章数学期望和方差常见连续型分布的数学期望(5)指数分布E()随机变量X的密度为：第四章数学期望和方差第四章数学期望和方差设X的数学期望有限,概率密度f(x)关于.)(),()(XExfxf则对称，定理1证明).()(xfxxg令)()()(xfxxg)(xfx).(xgg(x)是奇函数.dxxfxXE)()(dxxfx)()(dxxfdxxfx)()()(dxxfx)()()(xt令dttft)(dttg)(.第四章数学期望和方差推论.2)(),,(~)1(baXEbaUX则若.)(),,(~)2(2XENX则若第四章数学期望和方差例2设X的概率密度为：其他,010,101,1)(xxxxxf求E(X).0)1()1()()(0110dxxxdxxxdxxxfXE解:注:由于f(x)是偶函数，由定理1.1也知E(X)=0.第四章数学期望和方差注意：不是所有的随机变量都有数学期望.例如：Cauchy分布的密度函数为xxxf,)1(1)(2dxxxdxxfx)1(||)(||2但发散.它的数学期望不存在.注：虽然f(x)是偶函数，但不能用定理1.1.第四章数学期望和方差设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的数学期望，而是X的某个函数的数学期望，比如说g(X)的数学期望.那么应该如何计算呢？更一般的，已知随机向量(X1,X2…,Xn)的联合分布，Y=g(X1,X2…,Xn)是(X1,X2…,Xn)的函数,需要计算Y的数学期望，应该如何计算呢？我们下面就来处理这个问题.§4.2数学期望的性质第四章数学期望和方差A.随机向量函数的数学期望设X=(X1,…,Xn)为离散型随机向量，概率分布为.1,,,)),,((111njjjjjjpxxXPnnZ=g(X1,…,Xn),若级数绝对收敛，则.),,(111nnnjjjjjjpxxgnnnjjjjjjnpxxgXXgEZE111),,()),,(()(1第四章数学期望和方差随机向量函数的数学期望（续）设X=(X1,…,Xn)为连续型随机向量，联合密度函数为),,(1nxxfZ=g(X1,…,Xn),若积分绝对收敛，则nnnxddxxxfxxg111),,(),,()),,(()(1nXXgEZEnnnxddxxxfxxg111),,(),,(第四章数学期望和方差例3设离散型随机向量X的概率分布如下表所示，求Z=X2的期望.X0−11P214141E(Z)=g(0)0.5+g(-1)0.25+g(1)0.25解:=0.5注:这里的.)(2xxg第四章数学期望和方差例4设二维离散型随机向量(X,Y)的概率分布如下表所示,求:Z=X2+Y的期望.E(Z)=g(1,1)0.125+g(1,2)0.25+g(2,1)0.5+g(2,2)0.125解:YX1211/81/421/21/8=4.25注:这里的.),(2yxyxg第四章数学期望和方差例5设随机变量X服从二项分布B(n,p),Y=eaX,求E(Y).解:第四章数学期望和方差例6设X~U[0,],Y=sinX,求E(Y).解:X的概率密度为所以第四章数学期望和方差例7解：(1)设整机寿命为N,}{min5,,2,1kkXN,))(1(1)(51kkNxFxF其它，,0,0,15xex五个独立元件,寿命分别为,,,,521XXX都服从参数为的指数分布，若将它们(1)串联；(2)并联成整机，求整机寿命的均值.第四章数学期望和方差其它，,0,0,5)(5xexfxN即N~E(5),51)(NE51)()(kkMxFxF其它，,0,0,)1(5xex其它，,0,0,)1(5)(4xeexfxxM(2)设整机寿命为M,}{max5,,2,1kkXM第四章数学期望和方差dxxxfMEM)()(04)1(5dxexexx6013711)()(5160137NEME可见，并联组成整机的平均寿命比串联组成整机的平均寿命长11倍之多.注：128页的4.20与此例为同一模型。第四章数学期望和方差B.数学期望的性质E(C)=CE(aX)=aE(X)E(X+Y)=E(X)+E(Y)CXEaCXaEniiiniii11)(当X,Y相互独立时，E(XY)=E(X)E(Y).第四章数学期望和方差注：性质4的逆命题不成立，即若E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y不一定相互独立.第四章数学期望和方差反例XYpij-101-10181818181818181810p•j838382pi•838382第四章数学期望和方差XYP-101828284;0)()(YEXE;0)(XYE)()()(YEXEXYE但0)0,0(YXP282)0()0(YPXP第四章数学期望和方差若X≥0，且EX存在，则EX≥0.推论:若X≤Y，则EX≤EY.证明：设X为连续型，密度函数为f(x),则由X≥0得：,0,0)(xxf所以.0)()(0dxxfxdxxfxEX证明：由已知Y-X≥0，则E(Y-X)≥0.而E(Y-X)=E(Y)-E(X),所以，E(X)≤E(Y).第四章数学期望和方差例19253310230)5()()(2)(3)523(EYEXYEXEYXYXE性质2和353)()(2103YEXE性质4设X～N(10,4)，Y～U[1,5]，且X与Y相互独立，求E(3X＋2XY－Y＋5).解：由已知，有E(X)＝10,E(Y)＝3.第四章数学期望和方差例2二项分布B(n,p),设单次实验成功的概率是p，问n次独立重复试验中，期望几次成功？解:引入.)()()(21npXEXEXEEXn次试验不成功。第次试验成功，第iiXi,0,1则X＝是n次试验中的成功次数.nXXX21因此，这里，X～B(n,p).第四章数学期望和方差例3将4个可区分的球随机地放入4个盒子中，每盒容纳的球数无限，求空着的盒子数的数学期望.解一:设X为空着的盒子数,则X的概率分布为XP012344!442413144PCC4341224244)(CCCC4144C6481)(XE第四章数学期望和方差解二:再引入Xi,i=1,2,3,4.其它，盒空，第,0,1iXi4321XXXXXXiP104434431443)(iXE6481434)(4XE第四章数学期望和方差例4将n个球放入M个盒子中,设每个球落入各个盒子是等可能的,求有球的盒子数X的期望.解:引入随机变量:M,,2,1ii0i1Xi个盒子中无球若第个盒子中有球若第则X=X1+X2+…+XM,于是E(X)=E(X1)+E(X2)+…+E(XM).每个随机变量Xi都服从两点分布,i=1,2,…,M.第四章数学期望和方差因为每个球落入每个盒子是等可能的均为1/M，所以，对第i个盒子,没有一个球落入这个盒子内的概率为(1-1/M).故，n个球都不落入这个盒子内的概率为(1-1/M)n，即第四章数学期望和方差.)11(1)()()()()(.,,2,1,)11(1)(.)11(1}1{,)11(}0{2121nMMnininiMMXEXEXEXXXEXEMiMXEMXPMXP注：129页4.27以此题为模型.第四章数学期望和方差§4.2随机变量的方差前面我们介绍了随机变量的数学期望,它体现了随机变量取值的平均,是随机变量的一个重要的数字特征.但是在一些场合