解一元二次方程练习题(韦达定理)

-1-解一元二次方程练习题(配方法)1．用适当的数填空：①、x2+6x+=（x+）2；②、x2－5x+=（x－）2；③、x2+x+=（x+）2；④、x2－9x+=（x－）22．将二次三项式2x2-3x-5进行配方，其结果为_________．3．已知4x2-ax+1可变为（2x-b）2的形式，则ab=_______．4．将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为______，所以方程的根为_______．5．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（）A．3B．-3C．±3D．以上都不对6．用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是（）A．（a-2）2+1B．（a+2）2-1C．（a+2）2+1D．（a-2）2-17．把方程x+3=4x配方，得（）A．（x-2）2=7B．（x+2）2=21C．（x-2）2=1D．（x+2）2=28．用配方法解方程x2+4x=10的根为（）A．2±B．-2±C．-2+D．2-9．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（）A．总不小于2B．总不小于7C．可为任何实数D．可能为负数10．用配方法解下列方程：（1）3x2-5x=2．（2）x2+8x=9（3）x2+12x-15=0（4）41x2-x-4=07、01842xx8、0222nmxx9、00222mmmxx11.用配方法求解下列问题（1）求2x2-7x+2的最小值；（2）求-3x2+5x+1的最大值。10141010-2-一．填空题：1．关于x的方程mx2-3x=x2-mx+2是一元二次方程,则m___________．2．方程4x(x-1)=2(x+2)+8化成一般形式是______________,二次项系数是____,一次项系数是_____,常数项是____.3．方程x2=1的解为______________.4．方程3x2=27的解为______________；x2+6x+____=(x+____)2；a2±____+41=(a±____)25．关于x的一元二次方程(m+3)x2+4x+m2-9=0有一个解为0,则m=______.二．选择题：6．在下列各式中①x2+3=x;②2x2-3x=2x(x-1)–1;③3x2-4x–5;④x2=-x1+2是一元二次方程的共有()A0个B1个C2个D3个8．一元二次方程的一般形式是()Ax2+bx+c=0Bax2+c=0(a≠0)Cax2+bx+c=0Dax2+bx+c=0(a≠0)9．方程3x2+27=0的解是()Ax=±3Bx=-3C无实数根D以上都不对10．方程6x2-5=0的一次项系数是()A6B5C-5D011．将方程x2-4x-1=0的左边变成平方的形式是()A(x-2)2=1B(x-4)2=1C(x-2)2=5D(x-1)2=4三.。将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项一般形式二次项系数一次项系数常数项t(t+3)=282x2+3=7xx(3x+2)=6(3x+2)(3–t)2+t2=9五.用配方法或公式法解下列方程.：(10)x2－6x+9=0（1）x2+2x+3=0（2）x2+6x－5=0(3)x2－4x+3=0(4)x2－2x－1=0(5)2x2+3x+1=0(6)3x2+2x－1=0(7)5x2－3x+2=0(8)7x2－4x－3=0(9)-x2-x+12=0-3-韦达定理：对于一元二次方程20(0)axbxca，如果方程有两个实数根12,xx，那么1212,bcxxxxaa说明：（1）定理成立的条件0（2）注意公式重12bxxa的负号与b的符号的区别根系关系的三大用处（1）计算对称式的值例若12,xx是方程2220070xx的两个根，试求下列各式的值：(1)2212xx；(2)1211xx；(3)12(5)(5)xx；(4)12||xx．解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007xxxx-4-(1)2222121212()2(2)2(2007)4018xxxxxx(2)121212112220072007xxxxxx(3)121212(5)(5)5()2520075(2)251972xxxxxx(4)22212121212||()()4(2)4(2007)22008xxxxxxxx说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2xxxxxx，12121211xxxxxx，22121212()()4xxxxxx，2121212||()4xxxxxx，2212121212()xxxxxxxx，33312121212()3()xxxxxxxx等等．韦达定理体现了整体思想．【课堂练习】1．设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值为_________2．已知x1，x2是方程2x2－7x＋4＝0的两根，则x1＋x2＝，x1·x2＝，（x1－x2）2＝3．已知方程2x2－3x+k=0的两根之差为212，则k=;4．若方程x2+(a2－2)x－3=0的两根是1和－3，则a=;5．若关于x的方程x2+2(m－1)x+4m2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为;6．设x1,x2是方程2x2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值：(1)x12x2+x1x22(2)1x1－1x27．已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：2221x1x1（2）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。例解方程组x+y=5xy=6解：显然，x，y是方程z2-5z+6＝0①的两根由方程①解得z1=2,z2=3-5-∴原方程组的解为x1=2,y1=3x2=3,y2=2显然，此法比代入法要简单得多。（3）定性判断字母系数的取值范围例一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k的取值范围。解：设此三角形的三边长分别为a、b、c，且a、b为的两根，则c=2由题意知△＝k2-4×2×2≥0，k≥4或k≤-4∴为所求。【典型例题】例1已知关于x的方程221(1)104xkxk，根据下列条件，分别求出k的值．(1)方程两实根的积为5；(2)方程的两实根12,xx满足12||xx．分析：(1)由韦达定理即可求之；(2)有两种可能，一是120xx，二是12xx，所以要分类讨论．解：(1)∵方程两实根的积为5∴222121[(1)]4(1)034,412154kkkkxxk所以，当4k时，方程两实根的积为5．-6-(2)由12||xx得知：①当10x时，12xx，所以方程有两相等实数根，故302k；②当10x时，12120101xxxxkk，由于302k，故1k不合题意，舍去．综上可得，32k时，方程的两实根12,xx满足12||xx．说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足0．例2已知12,xx是一元二次方程24410kxkxk的两个实数根．(1)是否存在实数k，使12123(2)(2)2xxxx成立？若存在，求出k的值；若不存在，请您说明理由．(2)求使12212xxxx的值为整数的实数k的整数值．解：(1)假设存在实数k，使12123(2)(2)2xxxx成立．∵一元二次方程24410kxkxk的两个实数根∴2400(4)44(1)160kkkkkk，又12,xx是一元二次方程24410kxkxk的两个实数根∴1212114xxkxxk∴222121212121212(2)(2)2()52()9xxxxxxxxxxxx939425kkk，但0k．∴不存在实数k，使12123(2)(2)2xxxx成立．(2)∵222121212211212()44224411xxxxxxkxxxxxxkk∴要使其值是整数，只需1k能被4整除，故11,2,4k，注意到0k，-7-要使12212xxxx的值为整数的实数k的整数值为2,3,5．说明：(1)存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在．(2)本题综合性较强，要学会对41k为整数的分析方法．一元二次方程根与系数的关系练习题A组1．一元二次方程2(1)210kxx有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A．2kB．2,1kk且C．2kD．2,1kk且2．若12,xx是方程22630xx的两个根，则1211xx的值为()A．2B．2C．12D．923．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于x的方程22(21)30xmxm的根，则m等于()A．3B．5C．53或D．53或4．若t是一元二次方程20(0)axbxca的根，则判别式24bac和完全平方式2(2)Matb的关系是()A．MB．MC．MD．大小关系不能确定5．若实数ab，且,ab满足22850,850aabb，则代数式1111baab的值为()A．20B．2C．220或D．220或6．如果方程2()()()0bcxcaxab的两根相等，则,,abc之间的关系是______7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22870xx的两个根，则这个直角三角形的斜边长是_______．8．若方程22(1)30xkxk的两根之差为1，则k的值是_____．-8-9．设12,xx是方程20xpxq的两实根，121,1xx是关于x的方程20xqxp的两实根，则p=_____，q=_____．10．已知实数,,abc满足26,9abcab，则a=_____，b=_____，c=_____．11．对于二次三项式21036xx，小明得出如下结论：无论x取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．12．若0n，关于x的方程21(2)04xmnxmn有两个相等的的正实数根，求mn的值．13．已知关于x的一元二次方程2(41)210xmxm．(1)求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两根为12,xx，且满足121112xx，求m的值．14．已知关于x的方程221(1)104xkxk的两根是一个矩形两边的长．(1)k取何值时，方程存在两个正实数根？(2)当矩形的对角线长是5时，求k的值．-9-B组1．已知关于x的方程2(1)(23)10kxkxk有两个不相等的实数根12,xx．(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请您说明理由．2．已知关于x的方程230xxm的两个实数根的平方和等于11．求证：关于x的方程22(3)640kxkmxmm有实数根．3．若12,xx是关于x的方程22(21)10xkxk的两个实数根，且12,xx都大于1．(1)求实数k的取值范围；(2)若1212xx，求k的值．-10-一元二次方程试题一、选择题1、一元二次方程2210xx的根的情况为（）BＡ．有两个相等的实数根Ｂ．有两个不相等的实数根Ｃ．只有一个实数根Ｄ．没有实数根2、若关于z的一元二次方程02.2mxx没有实数根，则实数m的取