直线和圆的方程学案

用心爱心专心1直线和圆的方程学案（教师）★★要点梳理1.直线的倾斜角与斜率：tan(90)k，211221()yykxxxx.2.直线方程的几种形式:经常用的有点斜式、斜截式、一般式、截距式，注意其各自的适应条件.3.平行与垂直:掌握两直线平行与垂直的条件,同时要注意其各自的适应范围.4.距离:熟练点到直线的距离与两条件平行直线的距离公式.5.熟记圆的标准方程与一般方程.6.位置关系：点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系.★★高考考什么【考题回放】1、（07年广东文数19题）在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为22的圆C与直线yx相切于坐标原点O．椭圆22219xya与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．（1）求圆C的方程；（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设圆心坐标为（m，n）（m0，n0），则该圆的方程为228xmyn．已知该圆与直线y＝x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则2nm＝22．即nm＝4，①又圆与直线切于原点，将点（0，0）代入，得m2＋n2＝8．②联立方程①和②组成方程组解得22nm，故圆的方程为22228xy．（2）a＝5，∴a2＝25，则椭圆的方程为221259xy．其焦距c＝925＝4，右焦点为（4，0），那么OF＝4．要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于OF的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F为顶点，半径为4的圆2248xy与（1）所求的圆的交点数．用心爱心专心2通过联立两圆的方程解得x＝54，y＝512．即存在异于原点的点Q（54，512），使得该点到右焦点F的距离等于OF的长．（08年没考直线与圆）2.（09年广东卷文数19）已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为23,两个焦点分别为1F和2F,椭圆G上一点到1F和2F的距离之和为12.圆kC:0214222ykxyx)(Rk的圆心为点kA.(1)求椭圆G的方程；(2)求21FFAk的面积；(3)问是否存在圆kC包围椭圆G?请说明理由.【解析】（1）设椭圆G的方程为：22221xyab（0ab）半焦距为c;则21232aca,解得633ac,22236279bac所求椭圆G的方程为：221369xy.(2)点KA的坐标为,2K，12121126326322KAFFSFFV（3）若0k，由2260120215120kkf可知点（6，0）在圆kC外，若0k，由22(6)0120215120kkf可知点（-6，0）在圆kC外；不论K为何值圆kC都不能包围椭圆G.3.（10年广东卷6）由题意知，圆心在y轴左侧，排除A、C用心爱心专心3在AORt0，210kAOA，故50510500OOOA，选D4.（2011广东文数2题）已知集合{(,)|,Axyxy为实数，且221}xy，{(,)|,Bxyxy为实数，且1}xy，则AB的元素个数为A．4B．3C．2D．1解：．（C）．AB的元素个数等价于圆221xy与直线1xy的交点个数，显然有2个交点5．（11年广东文数8题）设圆C与圆22(3)1xy外切，与直线0y相切，则C的圆心轨迹为A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆解：A）．依题意得，C的圆心到点(0,3)的距离与它到直线1y的距离相等，则C的圆心轨迹为抛物线6.（2011全国卷一）已知O为坐标原点，F为椭圆C：2212yx在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为2的直线l与C交与A、B两点，点P满足0OAOBOPuuruuuruuurr.(I)证明：点P在C上；(II)设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.【解析】(I)(0,1)F,l的方程为21yx,代入2212yx并化简得242210xx.设112233(,),(,),(,)AxyBxyPxy,则122626,,44xx1212122,2()21,2xxyyxx由题意得3123122(),()1,2xxxyyy所以点P的坐标为2(,1)2.经验证点P的坐标2(,1)2满足方程2212yx,故点P在椭圆C上…6分(II)由P2(,1)2和题设知，Q2(,1)2，PQ的垂直平分线1l的方程为22yx.①用心爱心专心4设AB的中点为M,则21(,)42M,AB的垂直平分线2l的方程为2124yx.②由①、②得1l、2l的交点为21(,)88N.22221311||()(1)2888NP,22132||1(2)||2ABxxg,32||4AM,22221133||()()48288MN,22311||||||8NAAMMN,故||||NPNA,又||||NPNQ,||||NANB,所以||||||||NANPNBNQ,由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心,NA为半径的圆上.……………12分（II）法二：12121212(1)(1)22()()22tan(1)(1)1122()()22PAPBPAPByyxxkkAPByykkxx212112123()4()33293()22xxxxxxxx同理212121211122()22tan111122()22QBQAQAQByyxxkkAQByykkxx12211212()4()3213()22xxxxxxxx所以,APBAQB互补，因此A、P、B、Q四点在同一圆上。【点评】本题涉及到平面向量，有一定的综合性和计算量，完成有难度.首先出题位置和平时模拟几乎没有变化，都保持全卷倒数第二道题的位置，这点考生非常适应的。相对来讲比较容易，是因为这道题最好特点没有任何的未知参数，我们看这道题椭圆完全给出，直线过了椭圆焦点，并且斜率也给出，平时做题斜率不给出，需要通过一定条件求出来，或者根本求不出来，这道题都给了，反而同学不知道怎么下手，让我求什么不知道，给出马上给向量条件，出了两道证明题，这个跟平时做的不太用心爱心专心5一样，证明题结论给大家，需要大家严谨推导出来，可能叙述的时候有不严谨的地方。这两问出的非常巧妙，非常涉及解析几何本质的内容，一个证明点在椭圆上的问题，还有一个疑问既然出现四点共圆，这都是平时很少涉及内容。从侧面体现教育深层次的问题，让学生掌握解析几何的本质，而不是把套路解决。其实几年前上海考到解析几何本质问题，最后方法用代数方法研究几何的问题，什么是四点共圆？首先在同一个圆上，首先找到圆心，四个点找圆形不好找，最简单的两个点怎么找？这是平时的知识，怎么找距离相等的点，一定在中垂线，两个中垂线交点必然是圆心，找到圆心再距离四个点距离相等，这就是简单的计算问题.方法确定以后计算量其实比往年少.★★★热点透析广东省这几年主要考了求圆的方程，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系、圆的切线问题、圆与其他圆锥曲线的综合；题目类型可能是一个大题，或两个小题；小题属中低档题，圆与其他圆锥曲线的综合则有一定难度。【范例1】（《名师讲堂》P31例1）在平面直角坐标系中，曲线261yxx与坐标轴的交点都在圆C上，（1）求圆C的方程；（2）如果圆C与直线0xya交于A，B，且OAOB，求a的值。变式训练1：（本题满分13分）已知圆C的圆心C(-1,2),且圆C经过原点。（1）求圆C的方程（2）过原点作圆C的切线m，求切线m的方程。（3）过点(2,0)A的直线n被圆C截得的弦长为2，求直线n的方程。【答案】（1）圆方程为22(1)(2)5xy…………………3分[来源:Zxxk.Com]（2）切线方程为12yx…………………7分（3）直线n的方程为0y或4(2)3yx（写成一般式为4380xy）…13分【范例2】．已知椭圆2222:1(0)xyEabab过点(3,1)A，左、右焦点分别为12,FF，离心率为223，经过1F的直线l与圆心在x轴上且经过点A的圆C恰好相切于点(0,2)B．（1）求椭圆E及圆C的方程；（2）在直线l上是否存在一点P，使PAB为以PB为底边的等腰三角形？若存在，求点P的坐标，否则说明理由．【答案】解：（1）ca223，则229ab，用心爱心专心6∴椭圆2222:19xyEbb，1(,0)Fc，(0,2)B∴2:()lyxcc…………3分设圆心(,0)Mm，半径r，则由MAMB，得1,5mrMA∴圆22:15Cxy，又1MBBF∴221cm，从而4c，结合229ab得2218,2ab∴椭圆22:1182xyE………………………6分（2）假设存在一点P，使PAB为以PB为底边的等腰三角形，则有PAAB，由（1）知2:(4),4lyx即122yx，设直线l上的点(2,2)Ptt，∴PB中点(,2)2tHt，又123AHtkt，12PBk，由1PBAHkk得2t∴所求的点为(4,4)P……………………………12分【范例3】已知点),(11yxA，),(22yxB)0(21xx是抛物线pxy22)0(p上的两个动点，O是坐标原点，向量OBOA,满足||||OBOAOBOA设圆C的方程为xxxyx)(21220)(21yy,证明：1）求圆心C的规迹方程；2）当圆C的圆心到直线02yx的距离的最小值为552时，求p的值。解：设圆C的圆心为C(x,y)，则222121yyyxxx)0,0(2,221222121yyppxypxy22221214pyyxx又02121yyxx,2121yyxx22221214pyyyy021xx,021yy2214pyy用心爱心专心7pyyyyyypyypxxx2)2(41)(41221212221222121=)2(122pyp所以圆心的轨迹方程为：222ppxy2）设圆心C到直线02yx的距离为d,则pppyyxd5|)(|5|2|22，所以当py,d有最小值，由题设5525p，所以p=2变式：已知P是直线0843yx上的动点，PA、PB是圆012222yxyx的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值。解：点P在直线0843yx上，所以设)432,(xxP，C点坐标为(1,1)PACBS=2PACS=||||||APACAP1||||||||2222PCACPCAP,||,||最小最小时当APPC四边形PACB的面积最小，而|PC|2=9)145()4321()1(222xxx，所以|PC|最小为3，所以PACBS最小为22课后作业：1．（全国Ⅰ）已知直线l过点（－2，0），当直线l与圆xyx222有两个交点时，其斜率k的取值范围是（C）A．(22,22)B．)2,2(C．（42,42）D．（81,81）2．（大连检测）从点P(m,3)向圆C：1)2()2(22yx，引切线，则切线长的最小值为（A）A．26B．26C．24D．53．(江西高考)P为双曲线116922yx的右支上一点，M、N分别是圆4)5(22yx和2)5(x12y上的点，则||||PNPM的最大值为（D）A．6B．7C．8D．94．(天津高考)设直线03