动力学普遍方程和拉格朗日方程

第二十五章动力学普遍方程和拉格朗日方程25.1动力学普遍方程例题125.2第二类拉格朗日方程例题2例题3例题4例题5第二十五章动力学普遍方程和拉格朗日方程根据达朗伯原理和虚位移原理，可以导出非自由质点的动力学普遍方程。利用它解决问题时，可以避免约束反力在动力学方程中的出现，比较方便!第一类拉格朗日方程：用直角坐标描述的非自由质点系的拉格朗日方程------模拟和求解复杂系统的动力学问题第二类拉格朗日方程：将完整约束系统的动力学普遍方程表示为广义坐标的形式，可以推得。----可以直接写出个数与系统自由度相同的独立运动方程。25.1动力学普遍方程设一个质点系由n个质点组成，air在任意瞬时,加速度为第i个质点的质量为mi根据达朗伯原理，在其上加达朗伯惯性力amiiiqFrr作用于此质点上的主动力的合力约束反力的合力达朗伯惯性力0FNFiqiirrr).,.........2,1(ni(25.1)则点积虚位移ri对这n个式子求和若为理想约束，由虚位移和理想约束的条件知).,.........2,1(ni(25.2)0)(rFNFiiqii0)(1rFNFiiqiini(25.3)01rNinii在具有理想约束的质点系中，在运动的任一瞬时，作用在其上的主动力系和达朗伯惯性力系在任意系统的任何一组虚位移上的虚功之和等于零。动力学普遍方程或者达朗伯—拉格朗日原理说明0)0)(11ramFrFFiiiniiiiqini（或者(25.4)上式变为：例25.1如图所示，有两个半径皆为r的轮子A，B，轮心通过光滑圆柱铰链与直杆AB相连，在倾角为的固定不动的斜面上作纯滚动。设两轮重皆为P，重心都在轮上，对轮心的转动惯量为J，连杆重Q。求连杆运动的加速度。解:(1)以两轮和连杆组成的系统为研究对象系统所受约束为理想约束aABFq1Fq2Fq3PPQMq2Mq1若连杆发生平行于斜面向下的的虚位移为,则轮心的虚位移也为,轮子相应的虚转角srs(3)轮子作纯滚动,其达朗伯惯性系可以简化为通过轮心的达朗伯惯性力达朗伯惯性力偶矩其中agPFFqq21JMMqq21ra连杆作平动,其达朗伯惯性力系可简化为过其质心的一个达朗伯惯性力agQFq3(2)系统所受的主动力为重力P,P和Q（5）根据动力学普遍方程0)()(sin)2(21321MMFFFqqqqqssQPJgQPgQParr2)2(sin)2(22得：方向平行于斜面向下.25.2第二类拉格朗日方程直接用质点系的广义坐标的变分来表示各质点的虚位移,对完整约束系统来说,可推得与系统自由度相同的一组独立的运动微分方程设完整约束的质点系由n个质点组成,系统的自由度为k,广义坐标为qqqk......,,21各点的虚位移可表示为代入0)0)(11ramriiiniiiiqiniFFFrrrrrr（或者各质点相对于定点O的矢径可表示为),,......,,(21tqqqrrkii,.......)2,1(i(25.5)（25.6)qqrrjnijii1)...2,1(ni得0)(11qqramFjkjiiiiniirrr（25.7）交换上式求和顺序得0])([111qqramqrFjjiinjijikjniirrrr广义主动力：qrFQjiniijrr1广义达朗伯惯性力：qramGjiiniijrr)(1先引入两个经典的拉格朗日关系式：（1）第一个经典拉格朗日方程由对时间求导),,......,,(21tqqqrrkii再对求偏导数qjqrqrqrqvjijijiji或得到)...2,1(kj（2）第二个经典拉格朗日方程在上式对s个广义坐标求偏导数得)...,2,1(ksqs)()(1212qrqqrqqrqqqrqvsijsikjjsikjjsjisittr&r&rr即)(qrqvsisidtdrr也可以写为)(qrqvjijidtdrr)(qrqrjijidtdrr或)...2,1(kj对于不变质点系qrvmGjiiniijdtd)][1(由)()()]([])[(qrvmqrvmqrvmjiiijiiijiiidtddtddtdqvvmqvvmGjiiniijiiinijdtd)(])[(11得引入系统动能vvmvmiiiniiiniT1121221对求偏导数qqjj,qvvmqqvvmjiiniijjiiniijTqTrr&rr&11将以上公式代入qvvmqvvmGjiiniijiiinijdtd)(])[(11得qqGjjjTTdtd)(由以上将0])([111qqramqrFjjiinjijikjnii改写为0])([1qqqjjjniTTdtdQ因为的相互独立性qqqn.......,21得第二类拉格朗日方程QqqjjjTTdtd若质点系所受的全部的主动力为有势力qQjjV系统的势能只是系统广义坐标的函数0qjV0(])([qqjjVTVTdtd）可得引进L=T-V,成为拉格朗日函数，则上式为0qqjjLLdtd应用动力学普遍方程解题时的注意事项：（1）系统中各质点的加速度与各刚体的角速度都必须是绝对加速度于绝对角速度。（2）计算主动力与惯性力的虚功时所涉及到的虚位移必须是绝对虚位移。拉格朗日方程得解题步骤（1）以整个系统为研究对象，分析系统的约束性质，确定系统的自由度数，并恰当选取同样数目的广义坐标（2）写出广义坐标，广义速度表示的系统的动能（3）计算广义力。比较方便而且常用得式由公式计算。当主动力均为有势力时，则需求广义坐标表示的系统的势能，并写出拉氏函数。qQjjjW][（4）计算各相应的导数（5）根据相应形式的拉氏方程，建立质点系的运动微分方程。例25．2一质量为m的小球与弹簧的一端相连，弹簧的另一端固定。已知弹簧的质量不计，弹性系数为k，在平衡位置式的长度为L。是求小球在同一铅垂面内运动的拉氏方程。okmr(1)取小球和弹簧组成的系统为研究对象，系统由两个自由度，选取小球的极坐标为广义坐标),(r])([2122rrmT(2)系统的动能为（3）设衡位置时系统的势能为零，则系统的势能为2020)-21(21)cos(lllrkrlmgV（）其中kmgll0（4）系统的拉格朗日函数2020222)(21)(21)cos()(21llrrlkrkrlmgmVTL（5）分别计算导数sin2)(cos2202mgrLmrmrLdtdmLrkmgmrrLrmrLdtdrmrLrrl（6）由保守系统的第二类拉格朗日方程0rLrLdtd0LLdtd0sin20)1()cos1(2grrrkmgmrrm得例25.3图是一质量为M的均质圆盘，半径为R,其中心A与弹性系数为k，弹簧原长为，且与水平地面平行的弹簧一端相连，弹簧的另一端固定。质量为m，长为的均质杆AB通过以光滑铰链A与圆盘中心相连。若圆盘在水平地面上作纯滚动，试求系统运动的拉式方程。ll0kxBPCvAvCAvC(2)圆盘和杆的动能分别为解（1）系统的自由度为2，以图中的x，为系统的广义坐标。设杆的质心为C，圆盘的速度瞬心为P22221143))23(2121xMrxMrJTPcos216121241]cos)2(2)2([21)121(21)]cos(2[212121222222222222222xmlmxmmlxlxmmmmlllvvvvJvTCAACAACC故系统的动能为TTT21（3）设过A的水平面为重力势能的零势能面，弹簧原长为弹性势能的零势能点则系统的势能为cos2)(2120lmgxkVl（4）系统的拉格朗日函数为L=T-V(5)计算导数)(sin21cos21)23(cos21)23(02lxkxLmlmlxmMxLdtdmlxmMxLsin2sin21sin21cos2131cos2131222lmgxmlLxmlxmlmlLdtdxmlmlL（6）由拉氏方程00LLdtdxLxLdtd可得到0)(2sincos)23(02lxkmlmlxmM0sin3cos32gxl例25.4质量为M的均质圆柱再三角块斜边上作纯滚动，如图所示。三角块的质量也为M，置于光滑水平面上，其上有刚度系数为k的弹簧平行于斜面系在圆柱体轴心O上。设角试用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程。030解：取整个系统为研究对象三角块作平动，圆柱作平面运动，系统具有两个自由度。ok选三角块的水平位移和圆柱中心O沿三角块斜面的位移为广义坐标，其中由静止时三角块任一点位置计起，由弹簧原长处计起如图。因为作用在系统上的主动力mg和弹性力均为有势力，所以，可用拉格朗日方程式求解x1x2x1x20)(11xxLLdtd0)(22xxLLdtdvemgmgx2okl0取圆柱中心O为动点，动系与三角块固连，定系与水平面固连，则O点的绝对速度vvvreOrrr其中xve1xvr2所以，系统的动能cos43))(21(21)cos2(212121212121222122212221212221xxxxxrxxxxxIvxmmmrmmmmmTOO&&&&&&&&&&r&01xLcos23121xxxmmLcos23)(121xxxmmLdtdsin22mgkLxx将以上表达式代入0)(11xxLLdtd0)(22xxLLdtd整理得到系统的微分方程023221xx0212323222mgkmmxxx例25.5如图所示系统中，均质圆柱B的质量，半径R=10cm,通过绳和弹簧与质量的物块M相连，弹簧的刚度系数,斜面的倾角。假设圆柱B滚动而不滑动，绳子的倾角段与斜面平行，不计定滑轮A，绳子和弹簧的质量，以及轴承A处摩擦，试求系统的运动微分方程kgm21kgm12cmNk2030解：取整个系统为研究对象。圆柱B作平面运动物块M作作平动，定滑轮A作定轴转动MAB系统有两个自由度，选圆柱B的质心沿斜面向上坐标及物块M铅垂向下的的坐标为广义坐标，其原点均在静平衡位置。如图x1x2AMBgm1gm2x1x2因为作用在系统上的主动力重力和弹性力均为有势力gm1gm2所以可用拉格朗日方程式求解0)(11xxLLdtd0)(22xxLLdtd若选弹簧原长处为势能零点，则系统的势能sin2222xxmgkV故系统的拉氏函数sin2cos43222212221xxxxxxmgkmmmVTL求各偏导数：cos2211xxxmmLcos2)(211xxxmmLdtd