1.1.2余弦定理导学案(必修五)

1§1.1.2余弦定理一．学习目标1.掌握余弦定理的两种表示形式；2.证明余弦定理的向量方法；3.运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．二、学习过程三、课前准备一、阅读教材在P5----P7页，完成以下问题：．正弦定理：asinA＝bsinB＝csinC＝2R的常见变形：(1)sinA∶sinB∶sinC＝________；(2)asinA＝bsinB＝csinC＝a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝______；(3)a＝__________，b＝__________，c＝__________；(4)sinA＝________，sinB＝________，sinC＝____________.．三角形面积公式：S＝__________＝____________＝______________=预习课本完成以下公式2a2b2ccosAcosBcosC复习2：在△ABC中，已知10c，A=45，C=30，解此三角形．思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？四、新课导学如图1．1-4，在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b和C，求边c(图1．1-4)[探索研究]联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。A如图1．1-5，设CBa，CAb，ABc，那么cab，则bc22222cccababaabbabababCaB从而2222coscababC(图1．1-5)同理可证2222cosabcbcA2222cosbacacB余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？2（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：cosAcosBcosC例1．在ABC中，已知23a，62c，060B，求b及A例2.例2.在△ABC中，BC=a，AC=b，且a，b是方程02322xx的两根，1cos2BA。（1）求角C的度数；（2）求AB的长；（3）求△ABC的面积。[理解定理]（1）若C=90，则cosC，这时222cab由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．（2）余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角．试试：（1）△ABC中，33a，2c，150B，求b．（2）△ABC中，2a，2b，31c，求A．※典型例题例1.在△ABC中，已知3a，2b，45B，求,AC和c．变式：在△ABC中，若AB＝5，AC＝5，且cosC＝910，则BC＝________．例2.在△ABC中，已知三边长3a，4b，37c，求三角形的最大内角．变式：在ABC中，若222abcbc，求角A．3三、总结提升※学习小结1.余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；2.余弦定理的应用范围：①已知三边，求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边．※知识拓展在△ABC中，若222abc，则角C是直角；若222abc，则角C是钝角；若222abc，则角C是锐角．学习评价※当堂检测1．根据下列条件，求解.(1)已知a=1，b=1，C=120o，求c；(2)已知a=3，b=4，c=37，求最大角；(3)已知a:b:c=1:3:2，求A，B，C；(4)已知a=23，c=2，C=30o，求b；2.在△ABC中，解三角形(1)b=3，c=3，A=60o；(2)a=20，b=29，c=21；3.已知a＝3，c＝2，B＝150°，则边b的长为（）.A.342B.34C.222D.2244.已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（）.A．60B．75C．120D．1505.已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（）.A．513xB．13＜x＜5C．2＜x＜5D．5＜x＜56.在△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝2，AB与AC的夹角为60°，则|AB－AC|＝________．7.在△ABC中，已知三边a、b、c满足222bacab，则∠C等于．8.在△ABC中,若sin:sin:sin(31):(31):10ABC,求最大内角.9.在△ABC中，已知2222sinsin2coscosbCcBbcBC，试判断三角形的形状.10.已知方程2(cos)cos0xbAxaB的两根之积等于两根之和，,ab为△ABC的两边，A，B为两内角，试判断这个三角形的形状.11.如图所示的四边形ABCD中，已知AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°，求BC的长.12.我舰在敌岛A南偏西50°相距12海里的B处，发现敌舰正由岛沿北偏西10°的方向以10海里/时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？课后作业1.在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC＝1314，求最大角的余弦值．2.在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，求ABBC的值.o50o10AB