第3章-雅可比矩阵和动力学分析

第3章雅可比矩阵和动力学分析上一章讨论了刚体的位姿描述、齐次变换，机器人各连杆间的位移关系，建立了机器人的运动学方程，研究了运动学逆解，建立了操作空间与关节空间的映射关系。本章将在位移分析的基础上，进行速度分析，研究操作空间速度与关节空间速度之间的线性映射关系——雅可比矩阵(简称雅可比)。雅可比矩阵不仅用来表示操作空间与关节空间之间的速度线性映射关系，同时也用来表示两空间之间力的传递关系。3.1机器人速度雅可比与速度分析一、机器人速度雅可比可写成：Y＝F(X)将其微分，得：),,,,,(),,,,,(),,,,,(654321666543212265432111xxxxxxfyxxxxxxfyxxxxxxfy也可简写成：666226116666222211226612211111ddddddddddddxxfxxfxxfyxxfxxfxxfyxxfxxfxxfyXXFYdd雅可比矩阵用J表示二自由度平面关节型机器人端点位置X、Y与关节θ1、θ2的关系为1121211212ccssXllYll1212(,)(,)XXYY即12121212ddddddXXXYYY微分得121212ddddXXXYYY121212ddddXXXYYY写成矩阵形式为1212XXYYJ令简写为：dX=Jdθ关节空间微小运动dθ与手部作业空间微小位移dX的关系。2R机器人的速度雅可比矩阵为：1121221211212212lslslslclclcJ已知关节θ和角速度,可求出该机器人手部速度。若J1，J2分别为雅可比的第1列矢量和第2列矢量，则:1122JJv右边第一项表示仅由第一个关节运动引起的端点速度；右边第二项表示仅由第二个关节运动引起的端点速度；总的端点速度为这两个速度矢量的合成。因此，机器人速度雅可比的每一列表示其他关节不动而某一关节运动产生的端点速度。dX=Jdθ()XJqqvn自由度机器人J阵关节变量用广义关节变量q表示：q=[q1,q2,…,qn]T当关节为转动关节时qi=θi；当关节为移动关节时qi=di关节空间的微小运动：dq=[dq1，dq2,…,dqn]T机器人末端在操作空间的位姿X表示，它是关节变量的函数，X=X(q)，是一个6维列矢量。J（q）：反映了关节空间微小运动dq与手部作业空间微小运动dX之间的关系。121212T121212nnnXXXnYYYnZZZnXXXqqqYYYqqqZZZqqqqqqqqqqqqXqJ(q)dX=J(q)dqdX=[dX，dY，dZ，φX，φY，φZ]T反映了操作空间的微小运动，由机器人末端微小线位移和微小角位移(微小转动)组成。二、机器人速度分析对dX=Jdθ两边各除以dt得dd()ddttXqJq()XJqqv或表示为式中：v为机器人末端在操作空间中的广义速度；q为机器人关节在关节空间中的关节速度；与操作空间速度v之间关系的雅可比矩阵。qJ(q)为确定关节空间速度反之，假如给定工业机器人手部速度，可解出相应的关节速度，即：VJq1式中：J-1称为工业机器人逆速度雅可比。当工业机器人手部在空间按规定的速度进行作业，用上式可以计算出沿路径上每一瞬时相应的关节速度。例1如图示的二自由度机械手，手部沿固定坐标系X0轴正向以1.0m/s的速度移动，杆长l1=l2=0.5m。求当θ1=30°，θ2=60°时的关节速度。解由推导知，二自由度机械手速度雅可比为1121221211212212ssscccllllllJ二自由度机械手手爪沿X0方向运动示意图21221211121211212122cs1ccsssllllllllJ逆雅可比为1θJv12122121121211212122210cs1ccsssllllllll且vX=1m/s，vY=0，因此1121221211212212ssscccllllllJ11221212cc4rad/sssll在两关节的位置分别为θ1=30°,θ2=–60°12rads/24rad/s速度分别为，手部瞬时速度为1m/s。rad/s)(2)(-60sin5.0)60-03(cossin)(cos21211l三、雅可比矩阵的奇异性由此可见，当雅可比矩阵的行列式为0时，要使手爪运动，关节速度将趋于无穷大。当雅可比不是满秩矩阵时，J的行列式为0。qJqJqJ*1VqJq1qJ1则0qJ若——J矩阵的伴随阵qJ*当雅可比不是满秩矩阵时，可能出现奇异解，机器人的奇异形位，相应操作空间的点为奇异点。机器人的奇异形位分为两类：(1)边界奇异形位：当机器人臂全部伸展开或全部折回时，手部处于机器人工作空间的边界上或边界附近，逆雅可比奇异。相应的机器人形位叫做边界奇异形位。(2)内部奇异形位：两个或两个以上关节轴线重合时，机器人各关节运动相互抵消，不产生操作运动。相应的机器人形位叫做内部奇异形位。当机器人处在奇异形位时会产生退化现象，丧失一个或更多的自由度。这意味着在工作空间的某个方向上，不管怎样选择机器人关节速度，手部也不可能实现移动。当l1l2s2＝0时无解，机器人逆速度雅可比J-1奇异。因l10，l20，所以，在2＝0或2＝180时，机器人处于奇异形位。机器人二臂完全伸直，或完全折回，两杆重合。在奇异形位下，手部正好处在工作域的边界上，该瞬时手部只能沿着一个方向(与臂垂直的方向)运动，退化了一个自由度。如果希望机器人手部在空间按规定的速度进行作业，雅可比是满秩矩阵，可以计算出沿路径每一瞬时相应的关节速度。对空间机器人，J的行数为6。二维平面机器人，J的行数为3，列数则为机械手含有的关节数目。平面运动机器人手的广义位置向量[x,y,φ]T容易确定，且方位φ与角运动的形成顺序无关，可直接采用微分法求J。对于空间机器人,根据机器人运动学方程，可以获得直角坐标位置向量[x,y,z]T的显式方程，但找不到方位向量的一般表达式。空间机器人雅可比矩阵J确定：不能用直接微分法，采用构造法。Tzyx四、雅可比矩阵的构造法n个关节机器人，雅可比矩阵是6×n矩阵。前三行称为位置雅可比矩阵，代表对手爪线速度V的传递比；后三行称为方位矩阵，代表相应的关节速度对手爪角速度ω的传递比。将J分块为：qqJV*naaainiiqqqJJJJJJV2122121iqqqJ*)(•把机器人关节速度向量定义为：式中，为连杆相对于的角速度或线速度。•手爪在基坐标系中的广义速度向量为：•与之间的线性映射关系称为雅可比矩阵J。iqTnqqqq21),,2,1(nqii1iTzyxzyxvVqVnzyxqqqJzyx21矢量运算kajaiaazyxkbjbibzyxbzzyyxxbabababakbabajbabaibaba)()()(xyyxzxxzyzzybazyxzyxbbbaaakji雅可比各列的计算公式：iziyixiziyixzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxaaaoonnapapapaaaopopopoonpnpnpnn000o000n000)()()()()()(o)()()(n666666转动关节i：系i只绕zi轴以角速度转动i.666666100000000000000)()()()()()(ooo)()()(nizyxzyxzyxzyxxxxzyxxxxzyxzyxzyxzyxaaaooonnnapapapaaaopopopnpnpnpnn.666666)()()(izzzzzzzyxzyxaonapopnp（2）移动关节i：系i只沿zi轴以速度移动iizyxzyxzyxzyxxxxzyxxxxzyxzyxzyxzyxaaaooonnnapapapaaaopopopnpnpnpnn000100000000000)()()()()()(ooo)()()(n666666iziyixiziyixzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyx6z6y6x6z6y6xaaa000ooo000nnn000)ap()ap()ap(aaa)op()op()op(ooo)np()np()np(nnn中的元素i6T中的元素i6T.666666)()()(izzzzzzzyxzyxaonapopnpizzzzyxzyxaon0006666661)()()()()(0)()()()()(0)()()()()(0)()()()()(0)()()()()(0)()()()()(564636261656463626165646362616565646463636262616165656464636362626161656564646363626261616zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzaaaaaooooonnnnnapapapapapopopopopopnpnpnpnpnpJ全转动关节机器人计算公式.6.5.4.3.2.166564636261666564636261666564636261666665656464636362626161666665656464636362626161666665656464636362626161666y6666)()()()()()()()()()()()()()()()()()()