线面垂直的定义和判定

•同学们，经过几天的努力学习，你的身心可能有些疲惫，好想歇息一会儿，有句话说的好，很多事情不是有了希望才坚持，而是坚持了才有希望。同学们因为你的坚持又向理想迈进了一步，拿出我们饱满的热情迎接新的一课！！努力加油1.2.3空间中的垂直关系——线面垂直海岳中学李富政学习目标：一、理解直线与平面垂直的定义和性质；二、能通过动手试验，归纳和掌握直线与平面垂直的判定定理并学会简单应用。一、空间两条直线垂直如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直。AB’C’CBA’D’DA’A┴ABC’C┴ABABABABABABABABAB二、直线与平面垂直AB1、定义：如果一条直线AB和一个平面α相交于一点O，并且和这个平面内过交点O的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面垂直。直线和平面垂直的定义A平面的垂线直线的垂面垂足这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面。交点叫做垂足,垂线上一点到垂足间的线段,叫做这个点到这个平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个点到平面的距离。LP直线和平面垂直的画法记作：L⊥通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直。CBAO平面内任意一条直线AO⊥在平面内不经过O点的任意直线和垂线什么关系？B1C13、线面垂直的性质：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直。符号语言表示：abbab此性质经常用来证明线线垂直,特别是异面垂直a思考问题：学校操场上竖了一根新旗杆，现要检验它是否与地面垂直，现在手中只有几根绳子和皮尺，你有什么好办法？（1）根据定义判断（2）有没有什么方便可行的方法来判定？探究:（1）如果平面外的一条直线和平面内的一条直线垂直，能不能保证该直线垂直于此平面？bl不能lb,bl即：×探究:（2）和一个平面内的两条直线垂直呢？c①两条直线平行的情况即：不能×bacab//clblcl探究:（2）和一个平面内的两条相交直线垂直呢？,,,bcbcPllblc即：猜想：是不是一条直线垂直于平面内的两条相交直线，此直线就垂直于该平面呢？如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：过ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC于桌面接触）．（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直．ABCDABCD探究ABCDABCD当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面垂直．ABCDABCD问：由此可以归纳出直线与平面垂直应具有什么条件？直线与平面垂直的判定定理lnlmlPnmnm,,,如果一条直线和平面内的两条相交直线m,n都垂直，那么直线垂直平面ll即：mnPl线线垂直线面垂直关键：线不在多，相交则行取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直.问：要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于什么？应用定理，加深理解例1判断下列命题是否正确，并说明理由．(1)ABCDABCDBBABCD正方体中，棱和底面垂直（2）正三棱锥P—ABC中，M为棱BC的中点，则棱BC和平面PAM垂直MPABCD'C'B'A'DCBAMPABC（1）BBAB,BBBCABBCB,ABBCABCD平面BBABCD平面（2）P-ABC为正三棱锥，,PBPCABAC∵M为棱BC的中点∴BC⊥PM,BC⊥AM∵AM∩PM=M,PMAMPAM平面∴BC⊥平面PAM1、定义如果一条直线AB和一个平面α相交于一点O，并且和这个平面内过交点O的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面垂直。2、判定定理如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。线面垂直的判定方法：α自己动手，解答问题有一同学测得一旗杆AB高8m，它的顶端A挂着两条长10m的绳子，拉紧绳子，并把它的下端放在地面上的两点C,D（和旗杆脚不在同一条直线上），如果这两点和旗杆脚B的距离都是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？ABDC证明：∵⊿ABC中，AB=8m，BC=6m，AC=10m222ABBCAC同理AB⊥BD∵B、C、D三点不共线，∴BC∩BD=BBCBCDBDBCD平面，平面∴AB⊥平面BCD即旗杆和地面垂直∴AB⊥BC练习如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求证VB⊥AC.ABCV分析：（1）要证线线垂直，首先证线面垂直（2）AC⊥VB所在的面，应该是哪一个面？给出VA=VC，AB=BC可以知道△VAC与△BAC都是等腰三角形证明：取AC的中点D，连结DV、DBD∵VA=VC，AB=BC∴△VAC与△BAC都是等腰三角形∴AC⊥DVAC⊥DB∵DV∩DB=D∴AC⊥平面VDB∴AC⊥VB小结：证面内两直线垂直经常用的方法：等腰三角形底边上的中线、高线、角平分线三线合一VBDB平面V，1．直线与平面垂直的定义3．数学思想方法：转化的思想空间问题平面问题知识小结2．直线与平面垂直的判定、性质线线垂直线面垂直线面垂直很关键，要证线面找线线；必是面内两交线，线面线线会转换。善于观察勤思考，成绩提升步步高。检测答案：1、A2、C3、4个ABDCA′B′CD′′∵ABCD-A‘B’C‘D’为正方体∴DD‘⊥平面ABCD'ACDDACABCD平面∵AC、BD为正方形ABCD的对角线∴AC⊥BD∵DD'∩BD=D∴AC⊥平面BDD',DDBDBDD平面BDBDD平面ACBD4、证明：连结BD（线面垂直→线线垂直）（线面垂直的判定定理）3、在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB，D为PB的中点，求证：AD⊥PC.PABCD.ABCD:.EB,EACD,=:.4求证已知EABCD练习1、如图，空间中直线l和三角形的两边AC,BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是（）A平行B垂直C相交D不确定ABC2、如果平面外的一条直线上有两点到这个平面的距离相等，则这条直线和平面的位置是（）A.平行B.相交C.平行或相交练习ab直线与平面垂直的判定定理如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。lalblabAbal