解方程的常用方法

中学代数研究14目录56换元法引入参数法二项方程和三项方程的解法23因式分解法总结作业用简单原理指导解题，是解方程的基本思想，换元法就是通过换元达到化简的目的。在解高次方程时，有时引进新未知数代换原有未知数，使原方程转化成一个易解的方程。一、换元法例1解方程6)1)(43(762xxx解：令，则原方程变形为即yx273)21(311,2143,276yxyxyx18)21)(21(22yyy018424yy例1解方程6)1)(43(762xxx。21,4922yy解之得所以得到如下四个解换回原来变量得到原方程的解iyiyyy2,2,23,234321ixixxx3267,3267,35,324321对于形如或或的方程，引入三角代换使方程转化为简单的三角方程来求解。0),(22xaxf0),(22axxf0),(22axxf1cossin2222sin1cos，cos1sec2222222tancossincoscos11cos11sec22sec1tan补充：例2解方程12351112xx解：由于定义域是0|x|1,可引入三角代换于是可变形为即两边平方，得于是，得到一个二次方程，)22(sinx，1235cos1sin124352sincossin57612252sin2sin1205762sin5762sin12252例2解方程12351112xx解得或，∴或得，都是增根，∴原方程的根是25242sin49242sin2572cos，497352cos2sin212coscossin22sin14735,14735,54,53sinx14735,54,53321xxx形如（a，b，c为已知数，，m，n为自然数）的方程，可令，将方程化为关于的整式方程。0)())((cxfbxfamnmmxfy)(例4解方程22221626xxxx解：将原方程变形为:0276266222xxxx令622xxy则有，解得（舍去），02762yy9,3yy由，解得均为原方程的解。3622xx3,121xx例4解方程22221626xxxx解:形如或)0(0)()()()(2acxgxfbxgxfa)0(0)()()()(acbxgxfcxgxfa（其中a，b，c为已知数，为既约分式）的分式方程，)()(xgxf可令，化成一个整式方程)()(xgxfu02cbuau形如或（其中a，b，c为已知数，为既约分式）的分式方程，可令，化成一个整式方程。)0(0)()()()(2acxgxfbxgxfa)0(0)()()()(acbxgxfcxgxfa)()(xgxf)()(xgxfu02cbuau例5解方程22)6(117236xxx解：将方程右边展开经变形可得令，代入上式，得解得.由,解得；由解得，它们都是原方程的解。035)6(12)3612(22xxxxxxu6035122uu7,521uu56xx3,221xx76xx6,143xx例6已知实数满足,求的值。uzyx,,,xuuzzyyxuzyxuzyx解法一:令,则kxuuzzyyx.,,,kxukuzkzykyx所以)(uzyxkuzyx故0)1(kuzyx于是或0uzyx1k0uzyxuzyx若，则0uzyx二、引入参数法例6已知实数满足,求的值。uzyx,,,xuuzzyyxuzyxuzyx解：若，则1kuzyx所以2uzyxuzyx解法二：令，则，所以kxuuzzyyxxkukzkkyx432，14k1kuzyx,,,例6已知实数满足,求的值。xuuzzyyxuzyxuzyx若，则1k224xxuzyxuzyx1k若，则020kuzyxuzyx解：形如的方程叫做二项方程，解此方程就是求的次方根。形如的方程叫做三项方程，特别当时，得方程，称为双二次方程。定理如果，那么二项方程的根是。0Axn02qpxxnn2n024qpxx)sin(cosirc0cxn1,,2,1,0),2sin2(cosnknkinkrn三、二项方程和三项方程的解法例8解方程0325x解:)0sin0(cos325ix所以)4,3,2,1,0)(52sin52(cos2kkikx四、因式分解法在解高次方程时，常用因式分解（如果可能的话）法将原方程转化为几个较低次方程的积的形式，然后根据同解定理分别求解。例10解方程0323124xx解所以原方程同解与方程故方程的解为:)176)(196()16()18()11236()18(132412323122222222244xxxxxxxxxxxxx0)176)(196(22xxxxixixixix223,223,103,1034321一、换元法二、引入参数法三、二项方程和三项方程的解法四、因式分解法74页~77页例3、例7、例11ClassisoverThanks