江苏各2019年中考数学分类解析-专项10：四边形

江苏各2019年中考数学分类解析-专项10：四边形专题10：四边形一、选择题1.〔2018江苏连云港3分〕小明在学习“锐角三角函数”中发明，将如下图的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，如此就能够求出67.5°角的正切值是【】A、3＋1B、2＋1C、2.5D、5【答案】B。【考点】翻折变换(折叠问题)，折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，锐角三角函数定义，勾股定理。【分析】∵将如下图的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，∴AB＝BE，∠AEB＝∠EAB＝45°，∵还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，∴AE＝EF，∠EAF＝∠EFA＝0452＝22.5°。∴∠FAB＝67.5°。设AB＝x，那么AE＝EF＝2x，∴an67.5°＝tan∠FAB＝tFB2x+x21ABx。应选B。2.〔2018江苏南通3分〕如图，矩形ABCD的对角线AC＝8cm，∠AOD＝120º，那么AB的长为【】A、3cmB、2cmC、23cmD、4cm【答案】D。【考点】矩形的性质，平角定义，等边三角形的判定和性质。【分析】在矩形ABCD中，AO=BO=12AC=4cm，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=180°－120°=60°。∴△AOB是等边三角形。∴AB=AO=4cm。应选D。3.〔2018江苏苏州3分〕如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.假设AC=4，那么四边形CODE的周长是【】四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连结矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形、其中真命题．．．共有【】A、1个B、2个C、3个D、4个【答案】B。【考点】真假命题，平行四边形的判定，正方形的判定，菱形的判定，轴对称图形和中心对称图形。【分析】依照平行四边形的判定，正方形的判定，菱形的判定和轴对称图形、中心对称图形的概念逐一作出判断：①如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠ABC，连接BD，那么∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC〔两直线平行，内错角相等〕。又∵∠ADC=∠ABC，∴∠BDC=∠ABD〔等量减等量，差相等〕。∴AB∥DC〔内错角相等，两直线平行〕。∴四边形ABCD是平行四边形〔平行四边形定义〕。因此命题①正确。②举反例说明，如图，铮形对角线互相垂直且相等。因此命题②错误。③如图，矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，连接AC，BD。∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EF=12AC，HG=12AC，EF=12BD，FG=12BD〔三角形中位线定理〕。又∵矩形ABCD，∴AC=BD〔矩形的对角线相等〕。∴EF=HG=EF=FG〔等量代换〕。∴四边形EFGH是菱形〔四边相等的辊边形是菱形〕。因此命题③正确。④依照轴对称图形和中心对称图形的概念，正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形。因此命题④错误。综上所述，正确的命题即真命题有①③。应选B。5.〔2018江苏无锡3分〕如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，那么四边形ABED的周长等于【】A、17B、18C、19D、20【答案】A。【考点】梯形和线段垂直平分线的性质。【分析】由CD的垂直平分线交BC于E，依照线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，即可得DE=CE，即可由AD=3，AB=5，BC=9求得四边形ABED的周长为：AB+BC+AD=5+9+3=17。应选A。6.〔2018江苏徐州3分〕如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC=14BC。图中相似三角形共有【】A、1对B、2对C、3对D、4对【答案】C。【考点】正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定。【分析】依照正方形的性质，求出各边长，应用相似三角形的判定定理进行判定：同，设CF=a，那么CE=DE=2a，AB=BC=CD=DA=4a，BF=3a。依照勾股定理，得EF=5a，AE=25a，AF=5a。∴CFCEEF1CFCEEF5DEDAAE25,,DEDAAD2EFEAAF5EFEAAF5。∴△CEF∽△DEA，△CEF∽△EAF，△DEA∽△EAF。共有3对相似三角形。应选C。【二】填空题1.〔2018江苏淮安3分〕菱形ABCD中，假设对角线长AC＝8cm，BD=6cm，那么边长AB＝▲cm。【答案】5。【考点】菱形的性质，勾股定理。【分析】如图，依照菱形对角线互相垂直平分的性质，由对角线长AC＝8cm，BD=6cm，得AO＝4cm，BP=3cm；在Rt△ABO中，依照勾股定理，得2222ABAOBO4+35〔cm〕。2.〔2018江苏南京2分〕如图，在平行四边形ABCD中，AD=10cm，CD=6cm，E为AD上一点，且BE=BC，CE=CD，那么DE=▲cm【答案】2.5。【考点】平行四边形的性质，平行的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】∵四边形ABCD是平行四边形，AD=10cm，CD=5cm，∴BC=AD=10cm，AD∥BC，∴∠2=∠3。∵BE=BC，CE=CD，∴BE=BC=10cm，CE=CD=5cm，∠1=∠2，∠3=∠D。∴∠1=∠2=∠3=∠D。∴△BCE∽△CDE。∴BCCECDDE，即1055DE，解得DE=2.5cm。3.〔2018江苏南通3分〕如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＋∠B＝90º，AB＝7cm，BC＝3cm，AD＝4cm，那么CD＝▲cm、【答案】2。【考点】梯形的性质，平行的性质，三角形内角和定理，平行四边形的判定和性质，勾股定理。【分析】作DE∥BC交AB于E点，那么∠DEA=∠B。∵∠A+∠B=90°，∴∠A+∠DEA=90°。∴∠ADE=90°。又∵AB∥CD，∴四边形DCBE是平行四边形。∴DE=CB，CD=BE。∵BC=3，AD=4，∴EA=2222DE+AD3+45。∴CD=BE=AB×AE=7－5=2。4.〔2018江苏宿迁3分〕点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，假设AC⊥BD，且AC≠BD，那么四边形EFGH的形状是▲.〔填“梯形”“矩形”“菱形”〕【答案】矩形。【考点】三角形中位线定理，矩形的判定。【分析】如图，连接AC，BD。∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，∴依照三角形中位线定理，HE∥AB∥GF，HG∥AC∥EF。又∵AC⊥BD，∴∠EHG=∠HGF=∠GFE=∠FEH=900。∴四边形EFGH是矩形。且∵AC≠BD，∴四边形EFGH邻边不相等。∴四边形EFGH不可能是菱形。5.〔2018江苏宿迁3分〕如图，P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB.假设S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB、宽是PB的矩形的面积，那么S1▲S2.〔填“＞”“=”“＜”〕【答案】=。【考点】黄金分割点，二次根式化简。【分析】设AB=1，由P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，依照黄金分割点的，AP=512，BP=5135122。∴21151353535SS12222，。∴S1=S2。6.〔2018江苏徐州2分〕如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠A=600。BD是以点A为圆心、AB长为半径的弧，CD是以点B为圆心、BC长为半径的弧。那么阴影部分的面积为▲cm2。【答案】3。【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特别角的三角函数值。【分析】如图，连接BD。∵菱形ABCD中∠A=600，∴△ABD和△BCD是边长相等的等边三角形。∴BD与BD围成的弓形面积等于CD与CD围成的弓形面积。∴阴影部分的面积等于△BCD的面积。由菱形ABCD的边长为2cm，∠A=600得△BCD的高为2sin600=3。∴△BCD的面积等于123=32〔cm2〕，即阴影部分的面积等于3cm2。7.〔2018江苏盐城3分〕如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,ABDC.在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形,只需再加上的一个．．条件是▲.(填上你认为正确的一个答案即可)【答案】∠A=90°〔答案不唯一〕。【考点】矩形的判定。【分析】由，依照对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，从而在不添加任何辅助线的前提下，依照矩形的判定写出一个内角是直角或相邻两角相等或对角互补即可。例如，∠A=90°〔答案不唯一〕。8.〔2018江苏扬州3分〕梯形的中位线长是4cm，下底长是5cm，那么它的上底长是▲cm、【答案】3。【考点】梯形中位线定理。【分析】依照“梯形中位线的长等于上底与下底和的一半”直截了当求解：设梯形的上底长为x，那么梯形的中位线＝12(x＋5)＝4，解得x＝3。9.〔2018江苏镇江2分〕如图，E是平行四边形ABCD的边CD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，且AD=4，CE1AB3，那么CF的长为▲。【答案】2。【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质的。【分析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，BC=AD=4。∴△CEF∽△ABF。∴CECFABBF。又∵CE1AB3，BF=BC+CF=4+CF，∴CF14CF3，解得CF=2。【三】解答题1.〔2018江苏常州7分〕如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂直平分线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF。求证：AE=AF。【答案】证明：连接CE。∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，。又∵AO=CO，∴△AEO≌△CFO〔AAS〕。∴AE=CF。∴四边形AECF是平行四边形。又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形。∴AE=AF。【考点】菱形的判定和性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】由，依照AAS可证得△AEO≌△CFO，从而得AE=CF。依照一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形。由EF⊥AC，依照对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定得平行四边形AECF是菱形。依照菱形四边相等的性质和AE=AF。2.〔2018江苏常州9分〕，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点〔点P异于C、D两点〕。连接PM，过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E〔如图〕。设CP=x，DE=y。〔1〕写出y与x之间的函数关系式▲；〔2〕假设点E与点A重合，那么x的值为▲；〔3〕是否存在点P，使得点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上？假设存在，求x的值；假设不存在，请说明理由。【答案】解：〔1〕y=－x2＋4x。〔2〕2+2或22。〔3〕存在。过点P作PH⊥AB于点H。那么∵点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上，∴PD′=PD=4－x，ED′=ED=y=－x2＋4x，EA=AD－ED=x2－4x＋2，∠PD′E=∠D=900。在Rt△D′PH中，PH=2，D′P=DP=4－x，D′H=2224x2x8x+12。∵∠ED′A=1800－900－∠PD′H=900－∠PD′H=∠D′PH，∠PD′E=∠PHD′=900，∴△ED′A∽△D′PH。∴EDEADPDH，即222x4xx4x+24xx8x+12＋，即22x4x+2xx8x+12，两边平方并整理得，2x2－4x＋1=0。解得22x2。∵当2+2x2时，y=22+22+25+22+4=2222，∴如今，点E已在边DA延长线上，不合题意，舍去〔实际上是无理方程的增根〕。∵当22x2时，y=222225+22+4=2222