平面向量在三角形中的应用

1().2OPOAOB课本基础知识的延伸：•线段中点的向量表达式：若P为线段AB的中点，则(1).OPOAOB其中2.若点P，A，B共线，则12,ee11220ee120.4.若不共线，，则0.GAGBGC3.若G为△ABC的重心，则反之亦然.O222222OABCOBCAOCABO1.1在同一平面上，有△ABC及一点满足关系式，则A．内心B．垂心C．外心D．重心是△ABC的（）OCAB2222OABCOBCA解：由2222OAOCOBOBOAOC即：()0OCOBOAOCAB化简有：,OABCOBAC同理有：OABC为的垂心.ABC)(OCOBOAmOHm的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数．OCOBOAOH解法一：特例法．ABC为一个直角三角形，则O点斜边的中点，设顶点，这时有H点为直角，1.m高考真题再现,,DAABCHABAHDCOHOAAHOAOBOC解法二：连BO延长交⊙O于D，连AD、CD.CH∥DA同理，AH∥DC，DCDOOCOBOC又OHABDC∴四边形AHCD为平行四边形．CAHBOABCOGH三角形的欧拉线：外心O、重心G、垂心H三点共线且OG=GH123()3OGOHmOAOBOCmOG1,3PACABCSS512PBCABCPACPABABCSSSSSACBDPENM解法一：利用平面向量基本定理ACABAP4131ABCPBCSS例2.设P为△ABC内一点，且满足，则．14PABABCSS典型例题ACABAP41311113()3434APABACABAC11313344PABABDABCABCSSSS44141313333343PACPADABDABCABCSSSSS512PBCABCPACPABABCSSSSS法二：构造三角形的重心．34ADAC取点D使得则点P为△ABD的重心，连接BD,·P·DABCACABAP4131ABCPBCSS例2.设P为△ABC内一点，且满足，则．032PCPBPAACPBCPABP,,2.1已知P为△ABC内一点，且满足，则面积之比为．ABCABOABCCAOABCBCOSSSSSS,,OCOBOA2.2设O为△ABC内一点，记，则．变式训练：032PCPBPAACPBCPABP,,2.1已知P为△ABC内一点，且满足，则面积之比为．解法一：利用平面向量基本定理1132APABAC得032PCPBPA由EPFDCAB1,3PACABCSS12PABABCSS111(1)326PBCABCABCSSS111::::3:1:2263ABPPBCACPSSS230PAPBPCACPBCPABP,,2.1已知P为△ABC内一点，且满足，则面积之比为．法二：构造三角形及重心．PABCC'B'PABC'2PBPB'3PCPB0PAPBPC则P为的重心.ABC1,2PABPABSS16PBCPBCSS13PACPACSS令111::::3:1:2263ABPPBCACPSSS13103OAOBOCOAOBOC解法一：特例法．取O为△ABC的重心，则ABCABOABCCAOABCBCOSSSSSS,,OCOBOA2.2设O为△ABC内一点，记，则．变式训练：ADAEAOADAEABACABAC0OAOBOCＣBＡODEABCABOABCCAOABCBCOSSSSSS,,OCOBOA2.2设O为△ABC内一点，记，则．()ABACOBOCOA1r由题知,,CAOABOABCABCSSADAESABSAC法二：过O分别作ＡＣ、ＡＢ的平行线OD、OE，交ＡＢ于D，交ＡＣ于E，则00.OAOBOC，，，，ABCSBCOCAOABOSSS，，引申：设O为△ABC内一点，记=m,则分别为．2、已知A、B、C是平面上不共线的三点，O为平面ABC内1[(1)(1)(12)],()3OPOAOBOCRA．内心B．垂心C．外心D．重心任一点，动点P满足等式则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）bACaAB,bnAQamAP,nm113、已知G为△ABC的重心，令点G分别交AB，AC于P，Q两点，且，则，若PQ过．0543OCOBOAC4、△ABC外接圆的圆心为O，且，则角．,,,abc0aOAbOBcOC1、△ABC中三边长分别为O为△ABC所在平面内一点，若A．外心B．内心C．重心D．垂心，则O为△ABC的（）课后作业