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1线性代数发展简介线性代数发展简介幻灯片制作幻灯片制作::张小向张小向东南大学数学系东南大学数学系版本版本:2008.1:2008.1行列式行列式出现于线性方程组的求解出现于线性方程组的求解昀早是一种速记的表达式昀早是一种速记的表达式现已是数学中一种非常有用的工具现已是数学中一种非常有用的工具发明人发明人::德国数学家德国数学家莱布尼茨莱布尼茨日本数学家日本数学家关孝和关孝和行列式行列式17501750年，瑞士数学家年，瑞士数学家克莱姆克莱姆《《线性代数分析导引线性代数分析导引》》行列式的行列式的定义定义和和展开法则展开法则，，克莱姆法则克莱姆法则稍后，法国数学家稍后，法国数学家贝祖贝祖将确定行列式每一项符号的方法进行了系将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解断一个齐次线性方程组有非零解行列式行列式法国数学家范德蒙法国数学家范德蒙((AlexandreAlexandre--ThThééophileophileVandermondeVandermonde,1735.2.281735.2.28--1796.1.11796.1.1))对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述把行列式理论与线性方程组求解相分离把行列式理论与线性方程组求解相分离给出了用余子式来展开行列式的法则给出了用余子式来展开行列式的法则自幼在父亲的指导下学习音乐自幼在父亲的指导下学习音乐但对数学有浓厚的兴趣但对数学有浓厚的兴趣后来终于成为法兰西科学院院士后来终于成为法兰西科学院院士行列式行列式17721772年，法国数学家年，法国数学家拉普拉斯拉普拉斯证明了范德蒙提出的一些规则证明了范德蒙提出的一些规则推广了范德蒙展开行列式的方法推广了范德蒙展开行列式的方法18151815年，法国数学家年，法国数学家柯西柯西第一个系统的几乎是近代的处理第一个系统的几乎是近代的处理乘法定理乘法定理,,方阵方阵,,双足标记法双足标记法改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明了一个证明行列式行列式1919世纪，英国数学家世纪，英国数学家西尔维斯特西尔维斯特活泼、敏感、兴奋、热情，甚至容易激动活泼、敏感、兴奋、热情，甚至容易激动他他((犹太人犹太人))受到剑桥大学的不平等对待受到剑桥大学的不平等对待改进了从一个改进了从一个nn次和一个次和一个mm次的多项式中消次的多项式中消去去xx的方法的方法((他称之为配析法他称之为配析法))并给出形成的行列式为零时这两个多项式并给出形成的行列式为零时这两个多项式方程有公共根充分必要条件这一结果方程有公共根充分必要条件这一结果((但没但没有给出证明有给出证明))2行列式行列式德国数学家德国数学家雅可比雅可比继柯西之后，在行列式理论方面昀多产继柯西之后，在行列式理论方面昀多产引进了函数行列式引进了函数行列式((雅可比行列式雅可比行列式))指出函数行列式在多重积分的变量替换中指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行列式的导数公式的作用，给出了函数行列式的导数公式雅可比的著名论文雅可比的著名论文《《论行列式的形成和性质论行列式的形成和性质》》标志着行列式系统理论的建成标志着行列式系统理论的建成行列式行列式由于行列式在数学分析、几何学、线性方由于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用，程组理论、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在促使行列式理论自身在1919世纪也得到了很世纪也得到了很大发展。大发展。整个整个1919世纪都有行列式的新结果。世纪都有行列式的新结果。除了一般行列式的大量定理之外，还有许除了一般行列式的大量定理之外，还有许多有关特殊行列式的其他定理都相继得多有关特殊行列式的其他定理都相继得到。到。矩阵矩阵““矩阵矩阵””这个词是由这个词是由西尔维斯特西尔维斯特首先使用的首先使用的他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。而发明了这个述语。英国数学家英国数学家凯莱凯莱被公认为是矩阵论的创立者被公认为是矩阵论的创立者首先把矩阵作为一个独立的数学概念首先把矩阵作为一个独立的数学概念首先发表了关于这个题目的一系列文章首先发表了关于这个题目的一系列文章同研究线性变换下的不变量相结合，首先同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。引进矩阵以简化记号。矩阵矩阵英国数学家英国数学家凯莱凯莱18581858年，年，《《矩阵论的研究报告矩阵论的研究报告》》系统地阐述了关于矩阵的理论系统地阐述了关于矩阵的理论::矩阵的矩阵的相等相等、、运算法则运算法则、、转置转置以及以及逆逆等等指出了指出了矩阵加法的可交换性矩阵加法的可交换性与与可结合性可结合性方阵的方阵的特征方程特征方程和和特征根特征根((特征值特征值),),有关矩阵的一些基本结果有关矩阵的一些基本结果凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学三年后他转从律师职业，工作卓有成效三年后他转从律师职业，工作卓有成效并利用业余时间研究数学，发表了大量的数学论文并利用业余时间研究数学，发表了大量的数学论文矩阵矩阵18551855年，法国数学家年，法国数学家埃米特埃米特证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等的特征根性质等后来，德国数学家后来，德国数学家克莱伯施克莱伯施、布克海姆、布克海姆((A.BuchheimA.Buchheim))等证明了对称矩阵的特征根等证明了对称矩阵的特征根性质性质泰伯泰伯((H.TaberH.Taber))引入矩阵的迹的概念并给出引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论了一些有关的结论矩阵矩阵德国数学家德国数学家弗罗伯纽斯弗罗伯纽斯最小多项式最小多项式、、秩秩、、不变因子不变因子和和初等因子初等因子、、正交矩阵正交矩阵、、相似变换相似变换、、合同矩阵合同矩阵等概念等概念以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论因子的理论并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质性质3矩阵矩阵18541854年，法国数学家年，法国数学家约当约当矩阵化为标准型的问题矩阵化为标准型的问题18921892年，加拿大数学家梅茨勒年，加拿大数学家梅茨勒((WilliamHenryWilliamHenryMetzlerMetzler,1863.9.18,1863.9.18--1943.4.18)1943.4.18)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式阵的幂级数的形式傅立叶傅立叶、西尔和、西尔和庞加莱庞加莱的著作中还讨论了的著作中还讨论了无限阶矩阵问题，这主要是适用方程发展无限阶矩阵问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的。的需要而开始的。矩阵矩阵矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由昀初作为一种工具经过两个多质，矩阵由昀初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支分支————矩阵论。矩阵论。而矩阵论又可分为而矩阵论又可分为矩阵方程论矩阵方程论、、矩阵分解矩阵分解论论和和广义逆矩阵论广义逆矩阵论((MM--PP))等矩阵的现代理等矩阵的现代理论。论。矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技的各个领域。的各个领域。线性方程组线性方程组公元前公元前11世纪世纪,,《《九章算术九章算术》》初等行变换初等行变换,,相当于相当于高斯消元法高斯消元法。。••1717世纪后期世纪后期,,德国数学家德国数学家莱布尼茨莱布尼茨曾研究含两个未知量三个方程的线性组曾研究含两个未知量三个方程的线性组••1818世纪上半叶世纪上半叶,,英国数学家英国数学家麦克劳林麦克劳林具有二、三、四个未知量的线性方程组具有二、三、四个未知量的线性方程组得到了现在称为得到了现在称为克莱姆法则克莱姆法则的结果的结果••克莱姆克莱姆不久也发表了这个法则不久也发表了这个法则线性方程组线性方程组1818世纪下半叶，法国数学家世纪下半叶，法国数学家贝祖贝祖对线性方程组理论进行了一系列研究对线性方程组理论进行了一系列研究证明了证明了nn元齐次线性方程组有非零解的条件元齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零是系数行列式等于零1919世纪，英国数学家世纪，英国数学家史密斯史密斯和和道奇森道奇森前者引进了方程组的增广矩阵的概念前者引进了方程组的增广矩阵的概念后者证明了后者证明了nn个未知数个未知数mm个方程的方程组相个方程的方程组相容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相同同线性方程组线性方程组大量的科学技术问题，昀终往往归结为解大量的科学技术问题，昀终往往归结为解线性方程组。线性方程组。因此在线性方程组的数值解法得到发展的因此在线性方程组的数值解法得到发展的同时，线性方程组解的结构等理论性工作同时，线性方程组解的结构等理论性工作也取得了令人满意的进展。也取得了令人满意的进展。现在，线性方程组的数值解法在计算数学现在，线性方程组的数值解法在计算数学中占有重要地位。中占有重要地位。向量向量古希腊的古希腊的亚里士多德亚里士多德已经知道力可以表示成向已经知道力可以表示成向量，二力合成的平行四边形法则。量，二力合成的平行四边形法则。法国数学家法国数学家笛卡尔笛卡尔和和费马费马为解析几何奠定了基为解析几何奠定了基础础。。挪威测量学家未塞尔挪威测量学家未塞尔((CasparCasparWesselWessel,1745.6.81745.6.8--1818.3.25),1818.3.25),瑞士数学家阿工瑞士数学家阿工(JeanRobert(JeanRobertArgandArgand,,1768.7.181768.7.18--1822.8.13)1822.8.13)发明了复数的几何表示。发明了复数的几何表示。英国数学家英国数学家科兹科兹,,法国数学家法国数学家棣美弗棣美弗,,范德蒙范德蒙((AlexandreAlexandre--ThThééophileophileVandermondeVandermonde,1735.2.281735.2.28--1796.1.11796.1.1),),瑞士数学家瑞士数学家欧拉欧拉也曾认识到平面上的点也曾认识到平面上的点可与复数一一对应。可与复数一一对应。4向量向量德国数学家德国数学家高斯高斯建立了复平面的概念。建立了复平面的概念。英国物理学家数学家英国物理学家数学家亥维赛亥维赛在向量分析上在向量分析上作出了许多贡献。作出了许多贡献。18431843年年,,英国数学家英国数学家哈密顿哈密顿发现了四元数。发现了四元数。18441844年年,,德国数学家德国数学家格拉斯曼格拉斯曼提出了提出了nn维向维向量的理论。量的理论。18881888年年,,意大利意大利数学家数学家皮亚诺皮亚诺以公理的方式以公理的方式定义了有限定义了有限维或无限维向量空间维或无限维向量空间。。二次型二次型二次型的系统研究是从二次型的系统研究是从1818世纪开始的世纪开始的起源于对二次曲线起源于对二次曲线//面的分类问题的讨论面的分类问题的讨论1919世纪世纪,,法国数学家法国数学家柯西柯西当方程是标准型时，二次曲面用二次项的当方程是标准型时，二次曲面用二次项的符号来进行分类符号来进行分类然而，那时并不太清楚，在化简成标准型然而，那时并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项时，为何总是得到同样数目的正项和负项二次型二次型后来后来,,英国数学家英国数学家西尔维斯特西尔维斯特回答了