《分式》总复习-华东师大版

《分式》总复习一.本周教学内容：《分式》总复习[全章知识网络图][全章重点难点]重点：同底数幂的除法、单项式除以单项式；分式的意义及相关概念、分式的基本性质；分式的四则运算；可化为一元一次方程的分式方程及其应用；零指数幂和负整指数幂、用科学记数法表示绝对值小于1的数。难点：整式的除法运算、分式的运算及分式方程的解法、检验与应用、零指数幂和负整指数幂、用科学记数法表示绝对值小于1的数（同底数幂的除法是基础和关键。）[本章考点]同底数幂的除法、整式的除法、分式概念、分式的基本性质、分式的运算、分式方程的解法及应用题、零指数和负整指数、科学记数法。[主要知识与技能整和]一.同底数幂的除法运算及应用1.同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。公式：nmnmaaa（nmnma,,,0都是正整数）。2.同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。公式：nmnmaaa（都是正整数nma,,0）。3.幂的乘方法则：底数不变，指数相乘。公式：),,0()(都是正整数nmaaanmnm。4.121222)()(nnnnaaaa；；（n为正整数）nnnnbabaabba2222)()()()；（；（n为正整数）12121212)()()()(nnnnbabaabba；。（n为正整数）例1.计算下列各题：（1）aaa13aaa12；（2）mmaaa35235aamm；（3）mmkkk)(21122mmmmmkkkkk；(4)])()[()(322425xxx82106810)(xxxxxx；（5）yyyxyxxyyx16)414(414)21(4232232232；（6）baxxaaxabxxaxa39)3()3927(22223。例2.已知8,4nmaa，求nma23的值。分析：将指数相减恢复为幂的除法，将指数相乘恢复为幂的乘方。解：18423232323nmnmnmaaaaa。二.分式有意义及分式值为零、为正、为负的条件1.分式有意义：分式的分母≠0。2.分式值为0：00分式的分子分式的分母。3.分式在分子、分母同号时值为正；分式在分子、分母异号时值为负。例1：求使下列各分式无意义的字母的值：（1）)2)(1(3yx（2）132aa（3）213xxx分析：使分式无意义的条件为分母=0，则只求分母=0时的字母的取值即可。解：（1）由(x-1)(y+2)=0得x=1或y=-2时分式无意义。（2）由012a即得a=±1时，分式无意义。（3）由012xx即01xx2得251x时，分式无意义。例2：当a取何值时，下列各分式值为0：（1）163aa（2）242aa分析：分式值为0的条件是00分子分母，因此有两个条件限制了字母的取值。解：（1）06301aa∴2a1a∴a=2时，分式值为0。（2）04022aa∴22aa∴a=2时，分式值为0。例3：当a取何值时，下列各分式值为正？（1）1632aa（2）24aa分析：分式在分子、分母同号时值为正。解：（1）063012aa则2a时分式值为正；（2）0204aa则2a时分式值为正。三.分式的运算——约分、通分、加、减、乘除、乘方及混合运算1.分式基本性质：分式的分子和分母都乘以或除以同一个不等于零的整式，分式的值不变。公式：MBMAMBMABA（M是不等于零的整式）。2.分式的乘除法：实质是分式的约分。公式：nambnmabmnabmanbmnab;。3.分式的乘方：把分子、分母各自乘方。公式：nnnbaba，n为正整数。4.分式的加减法：（1）同分母分式相加减，分母不变，分子相加减：cbacbca；（2）异分母分式相加减，先通分化为同分母分式再加减：bdbcadbdbcbdaddcba。5.分式的混合运算：先乘方，再乘除，最后加减，如有括号先算括号内的。在混合运算中要注意优化运算顺序，在法则、定律允许的前提下，尽量先进行乘除最后加减；此外，运算结果应是最简分式或整式。例1.计算：（1）322223bacabcbcacbabac2782784336422；（2）964494232222xxxxxxxx23)2()3()3)(3()2)(2(2322xxxxxxxxxx；（3）abcbaab5232122（公分母为2210ba）222222221043051041030105baabcbabaabcbabbaa；（4）2123242aaaa（公分母为12aa）)1)(2(1)1)(2(33)1)(2(44aaaaaaaa)1)(2(2aaa；（5）242)4(2)2)(2(21222222222xxxxxxxxxxxxxxx；（6）baababaa2121解法1：(1)aabaababaa22221212原式abaababaa2)(2)(121aababaa2)21)((121aaa22121aa2211＝1；解法2：)(2121baababaa原式)(12121babaababaa12121aa＝1．例2.若一个多项式与单项式yx241的乘积是yxzyxyx223343621，求此多项式。解：由题意得（yxzyxyx223343621）（yx241）1224222xyzyx则此多项式为1224222xyzyx。例3.若)4)(3(1243xxxxBxA，求A和B得值。解：)4)(3(12)3)(4()3()4)(3()4(xxxxxxBxxxA则12)3()4(xxBxA12)34()(xBAxBA得1342BABA，解得A=1，B=1。四.分式的求值1.直接给出字母的值——先化简分式，然后代入求值。2.给字母的比例关系——设k值，再代入求值。3.给字母间的某种等量关系——变形后整体代入求值。例1.先化简再求值：14422222bababababa，其中3a，2b。解：14422222bababababa原式1))(()2(22bababababa12bababababa2bab，当3a，2b时，26)23(2322原式。例2.若23yx，求分式2222976yxyxyx的值。解：因23yx，则可设kykx2,3，（)0k代入原分式27127)2(9)3()2(7236)3(222222kkkkkkkk。例3.若xyyx4，求yxyxyxyx232的值。解：将xyyx4代入原分式3113114342)(3)(2xyxyxyxyxyxyxyyxxyyx。例4.若511ba，求babababa232的值。解：因00,0abba则，则可将511ba两边同时乘以ab得：abba5代入原分式67675352)(3)(2abababababababbaabba。例5.若0132xx，求xxxx22122的值。解：由0132xx得0x，则有xxxx0132即31xx，则原式5)3(22)3()1(22)1(22xxxx。五.分式方程及应用1.解分式方程得基本思想——把分式方程“转化”为整式方程。2.解分式方程的方法：(1)去分母法；(2)换元法．（1）用去分母法解分式方程的具体步骤是：把方程两边都乘以最简公分母，约去分母→解所得的整式方程→验根。（2）用换元法解分式方程的具体步骤是：①观察、分析方程的特点，探索换元的途径；②设辅助未知数；③换元把原方程化为只含有辅助未知数的方程；④解含有辅助未知数的方程，求出辅助未知数的值；⑤把辅助未知数的值代入原设辅助未知数的方程，求出原未知数的值；⑥验根，作答。3.列分式方程解应用题的步骤是：(1)审清题意，设出未知数；(2)根据题意找相等关系，并列出分式方程；(3)解方程并检验根是否是原分式方程的根；(4)检验所得的根是否符合实际问题的题意；(5)答题。例1.解方程：（1）3132xxx（分析：公分母是)1(xx，去分母时注意遍乘）解：方程两边同时乘以)1(xx，得：)1(33)1(2xxxxx解此整式方程得52x，检验：当52x时，)1(xx0，故52x是原方程得根。（2）1412112xxx（分析：公分母是)1)(1(xx，去分母时注意遍乘）解：方程两边同时乘以)1)(1(xx，得：4)1(21xx解此整式方程得1x，检验：当1x时，)1)(1(xx=0分式无意义，故1x是原方程的增根，原分式方程无根。例2.在a为何值时，关于x的方程234222xxaxx会产生增根？分析：分式方程中公分母为)2)(2(xx，方程要产生增根，公分母必须为零，即2x或2x，因此可通过2x或2x来讨论a的值。解：方程两边同时乘以)2)(2(xx的10)1()2(3)2(2xaxaxx即，如方程产生增根，则增根为2x或2x，而增根又定是整式方程的解，所以将2x和2x分别代入上整式方程可得：64aa或，故当时，64aa或原方程会产生增根。例3.在a为何值时，关于x的方程)1)(2(211xxaxxxx的解为非负数？分析：将方程的解用含a的代数式表示出来，再根据解非负列出关于a的不等式以求出a的范围；同时还要考虑排除在此范围内使方程产生增根的a的值。解：方程两边同时乘以)2)(1(xx得：axxxx)1)(1()2(解此整式方程得：21ax，由题意得：021ax，故得：1a；又因原方程的增根只能是21xx或，由31ax得；由32ax得，故3a时，21ax才是原方程的根；综合上述，当1a且3a时，原方程的解为非负数。例4.压缩机厂接受一批4800台的压缩机的订单，为了提前2天完成任务，必须把生产效率提高31，问提高效率后，每天应生产多少台压缩机?分析：等量关系：原定时间–提高效率后用时=两天。解：设按原定天数，每天生产x台，那么提高效率后，每天生产(1＋31）x台，根据题意，得x4800－x)311(4800＝2方程两边同乘以34x，得4800×34－4800＝2×34x整理，得8x＝4800，解得x＝600，经检验，x＝600是所列方程的根并适合原题意，（1＋31）x＝600×34＝800。答：提高效率后，每天应生产800台压缩机。例5.有A、B两码头相距48千米，一货轮从A码头顺水航行到B码头后，立即逆水航行返回到A码头，来回共用了5小时；已知水流速度为4千米/时，求货轮在静水中的速度。分析：(1)顺水速度：顺水静vvv，逆水速度：逆水静vvv。(2)等量关系：货轮顺流航行时间+货轮逆流航行时间=5小时。解：设货轮在静水中的速度为x千米/时，根据题意，得448448xx＝5方程的两边都乘以(x＋4)(x－4)，整理得：0809652x