第2章-守恒定律

§2.1动量与冲量质点的动量定理一、动量(Momentum)物体的动量p定义为质量m与速度v的乘积pmv二、冲量(Impulse)力在一段时间内的累积量称为冲量，即：21ttIFdt21()IFttFt恒力的冲量：变力的冲量：21()ttIFtdt[注意：冲量的方向一般不是力的方向]（矢量）三、质点的动量定理力对时间的累积（冲量）会产生什么结果？由牛顿第二定律dpFFdtdpdt假设外力F对质点的作用时间是t1→t2，在此时间段内对上式积分2211tptpFdtdp21Ippp也即——动量定理表明：质点所受合外力的冲量等于质点动量的增量。这一结论称为质点的动量定理明确几点：1.动量定理说明质点动量的改变是由外力和外力的作用时间两个因素，即冲量，决定的。2.冲量的方向一般不等于力的方向，也不与动量的方向相同，而是与动量增量的方向相同。3.动量定理是矢量式，直角坐标下的分量形式为：Ip2121txxxxtIFdtmvmv2122tyyyytIFdtmvmv2122tzzzztIFdtmvmv在冲击和碰撞等问题中，常引入平均冲力的概念。四、平均冲力1t2tFtoF1t2121vvttFtFdtmm21vvmmFt例如人从高处跳下、飞机与鸟相撞、打桩等碰撞事件中，作用时间很短，冲力很大.注意在p一定时，t越小，则越大。F例题2-1(书中例题2-2)一人将枪托在肩上进行水平射击。一颗子弹从枪口射出时的速率是300m/s。设t=0时射击，子弹在枪筒里前进时所受合力的大小F随时间t的变化关系为F=400-4/3×104t，式中F和t均为SI制单位。若子弹运动到枪口处的合力恰好是0，求子弹在枪筒中所受合力的冲量以及子弹的质量。解：(1)依题意，枪口处，合力F=0，即444001003t可得子弹运动到枪口处的时间0.03()ts子弹在枪筒中所受合力的冲量为0.030.034004(40010)6()3IFdttdtNs(2)根据动量定理0Imvmv依题意00,300vv方向：水平方向朝向枪口所以子弹的质量是60.02300Imkgv（一维）§2.2质点系的动量定理内力系统内各质点间的相互作用力。外力系统以外的物体对系统内质点的作用力。一、内力和外力内力成对出现，是作用和反作用力。二、质点系的动量定理推导图4-6f21f12F2F1m2m1考虑最简单的质点系：两个质点m1和m2。F1、F2系统的外力f12、f21系统的内力分别对m1和m2应用质点的动量定理2122122220()dttFftmmvv2111211110()dttFftmmvv两式相加得到211212211122110220()()()dttFFfftmmmmvvvv因为内力是作用和反作用力，则f12+f21=0，所以21121122110220()()()dttFFtmmmmvvvv即，系统合外力的冲量等于系统动量的增量。上述结论可以推广到多质点系统。210111nnntiiiitiiiFdtmvmv质点系总动量的增量等于作用于该系统所有合外力的冲量质点系的动量定理：2121ttFdtpp或者强调：只有外力才能引起质点系总动量的改变。质点系内力的矢量和为0,对系统总动量的改变无贡献，不过内力会使系统内各质点的动量重新分布。§2.3动量守恒定理2121ttFdtpp根据一、质点系的动量守恒定理若系统所受合外力F=0，则21orconst.ppp——动量守恒动量守恒定律：当系统所受合外力恒为0时，系统的总动量守恒。动量守恒条件明确几点：1.质点系受合外力为0时，每个质点的动量可能变化，在内力作用下，系统内的动量可以相互转移，但它们的总和保持不变。（例子）2.若质点系受合外力不为0，但如果系统的内力外力，可近似认为动量守恒。在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中，往往可忽略外力。3.若合外力不为0，但在某个方向上合外力分量为0，则在该方向上动量守恒，即12123000xxiyyizziFPCFPCFPC若，则若，则若，则二、动量守恒定理的应用动量守恒定理给出的是系统初态和末态的总动量之间的关系，不涉及期间力学过程的变化细节，因此只要系统所受合外力和合外力的某个分量为0，则可使用动量守恒求解，这是应用动量守恒求解问题比牛顿定律的优越性所在。11220mvmv依题意125vv所以121250.2(km/h)mvmm例题2-2一质量为240t的驳船上载有一质量为10t的卡车，停泊在岸边的静水中。若卡车以相对驳船5km/h的速度在驳船上行驶，求驳船的速度。解：令m1卡车质量；v1卡车对地速度m2驳船质量；v2驳船对地速度以m1+m2为系统，其水平方向不受外力（不计水的阻力），故水平方向系统动量守恒。解：1.由于无牵引力和摩擦力，系统（车厢+落入车厢后的煤粉）动量守恒。000200()MvmdvadtMmt例题2-3煤粉从漏斗中以m0kg/s的流速竖直卸落在沿平直轨道自动行驶的列车中，列车空载时质量为M0，初速为v0，求：1.在加载过程中某一时刻t列车的速度和加速度。2.如果要使列车速度保持v0，应用多大的力牵引列车？（忽略摩擦力）0000(),MMmt0000/()MMmt2.有牵引力(外力)时，令任意t时刻列车质量为M，则在t+dt时刻牵引力的冲量0000()(0)FdtMmdtvMvmdt00FmvυmOrθm§2.4质点的角动量定理和角动量守恒定理一、质点的角动量通常为了描述质点绕某固定点转到（如圆周运动、行星的椭圆轨道运动）而引入角动量概念。质量为m的质点以速度v在空间运动，某时刻相对参考点o的位矢为r，则质点相对于参考点的角动量定义为LvLrprmsinvrmL大小：方向：服从右手螺旋定则2）角动量与位矢有关，说到角动量时必须指明是对哪一参考点而言；[例1]作圆周运动的质点的角动量。1）角动量是描述转动状态的物理量；说明：2Lrmvmr质点以角速度作半径为的圆周运动，相对圆心的角动量大小为：r质点作匀速率圆周运动时，角动量是恒量。LrpmoLrmvsinLrmvdmvvrdom[例2]作直线运动的质点的角动量。思考：若参考点在速度v的延长线上，质点角动量？例如，电子绕核运动，具有轨道角动量，电子还有内禀的自旋运动，因而具有自旋角动量，等等。3）角动量的概念，不但能描述经典力学中的宏观运动状态，在近代物理理论中仍然是表征微观运动状态的重要物理量。rdoF二、力矩M如图所示，在某时刻t质点的位矢为r，受力F，两者的夹角是，则定义力F对参考点O的力矩为MrF力矩的大小MsinMFrFdd力臂，参考点O到F作用线的垂直距离。力矩的方向：右手螺旋法则三、质点的角动量定理pdtrddtpdrdtLd()Lrprm由于,dtrd,p0dtpdFFrdtLd所以表明：质点所受的合外力矩等于其角动量对时间的变化率。这个结论叫质点的角动量定理。也即dLMdt——角动量定理微分式上式的意义是:质点受到的角冲量等于质点角动量的增量。它是质点角动量定理的积分形式。将上式两边同乘以dt再积分，得122121LLLddtMLLtt式中为质点在(t2-t1)时间内受到的角冲量（冲量矩）。21ttMdt说明：①定理中的力矩和角动量都必须是相对于同一参考点而言的。②上述定理对质点系同样适用。对比：2121/;ttFdpdtFdtpp2121;ttMdLdtMdtLL四、质点的角动量守恒根据质点的角动量定理，如果质点所受外力矩M=0，则0dLLdt或常矢量表明：当质点所受的合外力矩为零时,其角动量矢量保持不变。这一结论叫做质点角动量守恒定律。对比：角动量守恒定律是：M=0，则L=常矢量。动量守恒定律是：F=0，则p=常矢量。说明：1）质点的角动量守恒的条件是合力矩总为零。如果质点在运动中受到的力始终指向某个固定的中心，这种力叫做有心力，该固定中心称为力心。有心力相对于力心的力矩恒为零。所以，在有心力作用下质点对力心的角动量都是守恒的。2）有心力问题例如，行星在绕太阳的运动中，对太阳的角动量守恒；人造地球卫星绕地球运行时，它对地心的角动量守恒；电子绕原子核运动时，电子对原子核的角动量守恒。prFo地球太阳地球的轨道角动量守恒例题2-4用绳系一小球使它在光滑的水平面上做匀速率圆周运动，其半径为r0，角速度为ω0。现通过圆心处的光滑小孔缓慢地往下拉绳使半径逐渐减小。求：当半径缩为r时的角速度。解：mr0rov以小孔O为原点，绳对小球的拉力为有心力，对O点其力矩为零，则小球对O点的角动量守恒。初态：末态：20000mvrmr2mvrmr角动量守恒：2200mrmr所以：2002rr例题2-5一半径为R的光滑圆环置于竖直平面内。一质量为m的小球穿在圆环上，并可在圆环上滑动。小球开始时静止于圆环上的点A(该点在通过环心O的水平面上)，然后从A点开始下滑。设小球与圆环间的摩擦略去不计。求：小球滑到最低点B时对环心O的角动量和角速度。解：小球受重力和支持力作用.对O点,支持力的力矩为零，重力矩垂直纸面向里。由质点的角动量定理：cosmgRMtLmgRddcosPNB..cosiemgRdtdL考虑到2,,LmRvmRddt23cosLdLmgRd得由题设条件,对上式积分,有/22300cosddLLLmgR3212(2)LmRg122()gR2mRLPNB§2.5功动能定理一、外力的功功的定义：力在质点位移方向上的分量与位移大小的乘积。1.恒力的功若质点在恒力F作用下沿直线运动，位移为r,则力F作的功为cosWFrFr（标量）rF2.变力的功（曲线运动）解决方法：用微积分的方法化曲为直2)在这段位移上质点受的力可以近似看成是恒力，在该微过程中的功(元功)为：abFdr3)总功等于各段上元功的代数和，即：cos||dWFdrFdrbaWdWFdr1)把路径无限分割成许多小段，任取一小段位移（元位移）；rd功就是质点所受的力沿质点运动路径的线积分。cosbbaaWdWFdrFds090,0W90180,0W90,,0FdrW说明：1）功是标量，没有方向，但有大小正负。Fdrabθ3）功是沿质点运动轨道进行积分计算的。一般地说,功的值既与质点运动的始末位置有关,也与运动路径的形状有关。所以功是过程量。2）对于恒力F做功bbaaWFdrFdrFrv0v0aabb例：摩擦力做功与路径有关5）在直角坐标系中功的解析式：()babxyzaWFdrFdxFdyFdz4）合力的功=分力的功的代数和12WWbaWFdr()baFFdr12bbaaFdrFdr12解：（一维运动问题，可以用代数形式）rdFA＝tadtvv0033230012336729AttdttdtJvdtFtdtmF00203212tdtttdtdtdxFFdx例题2-6质量为2kg的质点在力(SI)的作用下，从静止出发，沿x轴正向作直线运动。求前三秒内该力所作的功。itF12＝二、功率定义：力在单位时间内所作的功（表征作功快慢的物理量）0limcostWFdWPFvdrFvddttt（例：汽车爬坡档）三、动能定理力F时间的累积（积分，即冲量）动量定理空间的累积（积分，即功）？动能定理合外力对质点所做的