2.1离散型随机变量及其分布列

2.1离散型随机变量及其分布列第二章随机变量及其分布问题1：1）抛掷一个骰子，出现的点数可以用数字1,2,3,4,5,6来表示.——可以用数字1和0分别表示正面向上和反面向上.2）还可以用其他的数字表示这两个试验结果吗?3）任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗?可以,只要建立一个从试验结果到实数的对应关系,就可以使每一个试验结果都用一个确定的数字表示.——该变量的值随着试验结果的变化而变化.4)在这个对应关系下,变量的值和试验结果有什么关系？也即，试验的结果可以用一个变量表示.那么掷一枚硬币的结果是否也可用数字表示呢?如果随机试验的结果可用一个变量来表示,而这个变量是随着试验结果的变化而变化的，称这个变量为随机变量.随机变量常用字母：X，Y，ξ，η等表示.1.随机变量的概念：2.随机变量的表示：问题2：随机变量与函数有什么联系和区别?共同点：随机变量把试验的结果映为实数，函数把实数映为实数；试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当与函数的值域；3.所有随机变量的取值范围的集合叫做随机变量的值域.随机变量和函数都是一种映射；区别:联系：将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是（）A、两次出现的点数之和B、两次掷出的最大点数C、第一次减去第二次的点数差D、抛掷的次数D例1：例2.在含有10件次品的100件产品中,任取4件,可能含有的次品件数X1)X的取值为多少?它的值域为多少?2)｛X=0｝,｛X=4｝,｛X3｝各表示什么?3)“抽出3件以上次品”如何表示?解:｛0,1,2,3,4｝.0,1,2,3,4“抽出0件次品”“抽出4件次品”“抽出3件以下次品”｛X3｝2)｛X=0｝表示:｛X=4｝表示:｛X3｝表示:3)“抽出3件以上次品”:1)X的取值:X的值域:1)离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，如果可以一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．2)连续型随机变量:随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.4.随机变量的分类：练习二1.①某座大桥一天经过的车辆数为X；②某无线寻呼台一天内收到寻呼的次数为X；③一天之内的温度为X；④某市一年内的下雨次数X.以上问题中的X是离散型随机变量的是（）A、①②③④B、①②④C、①③④D、②③④B（1）电灯泡的寿命X是离散型随变量吗？（2）如果规定寿命在1500小时以上的灯泡为一等品，寿命在1000到1500小时之间的为二等品，寿命在1000小时以下的为不合格品。如果我们关心灯泡是否为合格品，应如何定义随机变量？如果我们关心灯泡是否为一等品或二等品，又如何定义随机变量？问题3：抛掷一枚骰子，所得的点数ξ有哪些值？ξ取每个值的概率是多少？111(1),(2),(3),666111(4),(5),(6),666PPPPPPP126543161616161616列成表的形式解：ξ的取值有1,2,3,4,5,65.离散型随机变量的分布列设离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xn，X取每一个值xi(i=1,2,…n)的概率P(X=xi)=pi，则称表Xx1x2…xi…pp1p2…pi…为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.也可用等式P(X=xi)=pi，i=1,2,…,n表示X的分布列.或图像(如课本P47图2.1-2)表示.6.离散型随机变量的表示6.概率分布还经常用图象来表示.O12345678p0.10.2（1）离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随机变量所刻画的随机现象。（2）函数可以用解析式、表格或图象表示，离散型随机变量可以用分布列、等式或图象来表示。可以看出的取值范围是{1,2,3,4,5,6}，它取每一个值的概率都是。617.离散型随机变量的分布列两个性质：(1)pi≥0,i=1,2,3,…n(2)p1+p2+…+pn=1x1234p1/31/6a1/6练习：若随机变量X的概率分布如下,则表中a的值为1/3练习1.随机变量ξ的分布列为解:(1)由离散型随机变量的分布列的性质有ξ-10123p0.16a/10a2a/50.3（1）求常数a;（2）求P(1ξ4)(2)P(1ξ4)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.12+0.3=0.4220.160.31105aaa解得a=-0.9(舍)或a=0.6练习2:已知随机变量ξ的分布列如下：P-2-13210112161121314112(1)求P(ξ0);(2)求随机变量η1=ξ/2的分布列；(3)求随机变量η2=ξ2的分布列.例：在掷一枚图钉的随机试验中,令1,0,X针尖向上针尖向下如果针尖向上的概率为p,试写出随机变量X的分布列解:根据分布列的性质,针尖向下的概率是(1—p)，于是，随机变量X的分布列是：X01P1—pp如果随机变量的分布列为：则的分布列称为两点分布列,称随机变量服从两点分布,而称(1)pP为成功概率.1.两点分布列（最简单的类型之一）又例：抛一枚硬币，记ξ=0表示反面向上，ξ=1表示正面向上.求ξ的分布列.ξ01p0.50.5例：篮球比赛中每次罚球命中得1分,不中得0分,已知某运动员罚球命中的概率为0.7,求他一次罚球得分的分布列.解:设他一次罚球得分为X,则X的分布列为X10p0.70.3注：两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布.练习：袋中装有8个红球和2个白球，现任取两球，记ξ=1表示全是红球，ξ=0表示取到的两球有白球，求ξ的分布列第二课时：复习引入：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，（或随着试验结果变化而变化的变量），那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用希腊字母X、Y、ξ、η等表示。1.随机变量2、随机变量的分类：（1）取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。（2）如果随机变量可能取的值是某个区间的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.注3：若是随机变量，则（其中a、b是常数）也是随机变量．ba注1：随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量。注2：某些随机试验的结果不具备数量性质，但仍可以用数量来表示它。3.离散型随机变量的分布列设离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xn，X取每一个值xi(i=1,2,…n)的概率P(X=xi)=pi，则称表Xx1x2…xi…pp1p2…pi…为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.4、求离散型随机变量ξ分布列的解题步骤为：(1)判断随机变量ξ的取值；(2)说明ξ取各值的意义(即表示什么事件)并求出取该值的概率，如果取各值的意义基本相似，则可只说明第一个值，后面的值同理即可；(3)列表写出ξ的分布列.☆求分布列重在过程，必须有文字说明和详细过程，切忌只有数、式或表！[思路探索]已知随机变量X的分布列，根据分布列的性质确定a及相应区间的概率．设随机变量X的分布列PX＝k5＝ak(k＝1，2，3，4，5)．(1)求常数a的值；(2)求PX≥35；(3)求P110＜X＜710.例1：解由题意，所给分布列为XPa2a3a4a5a1525354555(1)由分布列的性质得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝115.(2)PX≥35＝PX＝35＋PX＝45＋PX＝55＝315＋415＋515＝45，或PX≥35＝1－PX≤25＝1－115＋215＝45.(3)∵110＜X＜710，∴X＝15，25，35.∴P110＜X＜710＝PX＝15＋PX＝25＋PX＝35＝115＋215＋315＝25.例2：袋中装有编号为1～6的同样大小的6个球，现从袋中随机取3个球，设ξ表示取出3个球中的最大号码，求ξ的分布列．[思路探索]确定随机变量ξ的所有可能取值，分别求出ξ取各值的概率．超几何分布解根据题意，随机变量ξ的所有可能取值为3，4，5，6.ξ＝3，即取出的3个球中最大号码为3，其他2个球的号码为1，2，所以，P(ξ＝3)＝C22C36＝120；ξ＝4，即取出的3个球中最大号码为4，其他2个球只能在号码为1，2，3的3个球中取，所以，P(ξ＝4)＝C23C36＝320；ξ＝5，即取出的3个球中最大号码为5，其他2个球可以在号码为1，2，3，4的4个球中取，所以，P(ξ＝5)＝C24C36＝310；ξ＝6，即取出的3个球中最大号码为6，其他2个球可以在号码为1，2，3，4，5的5个球中取，所以，P(ξ＝6)＝C25C36＝12.所以，随机变量ξ的分布列为ξ3456P12032031012在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y元，求Y的分布列．超几何分布【例3】X01P[规范解答](1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况．(1分)P(X＝1)＝C14C110＝410＝25，则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－25＝35.(3分)因此X的分布列为3525(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．故所求概率P＝C14C16＋C24C06C210＝3045＝23.(6分)②X的所有可能取值为0，10，20，50，60，且P(Y＝0)＝C04C26C210＝1545＝13，P(Y＝10)＝C13C16C210＝1845＝25，P(Y＝20)＝C23C06C210＝345＝115，P(Y＝50)＝C11C16C210＝645＝215，P(Y＝60)＝C11C13C210＝345＝115.(10分)因此随机变量Y的分布列为Y010205060P1325115215115(12分)【题后反思】解决超几何分布问题的两个关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．(2)超几何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列．备注:一般地，离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。ξ45678910p0.020.040.060.090.280.290.22(1)P(ξ≥7)=P(ξ=7)+P(ξ=8)+P(ξ=9)+P(ξ=10)=0.88(2)P(ξ≥6)=P(ξ=6)+P(ξ≥7)=0.94(3)P(ξ4)=0练习：某一射手射击所得环数的分布列如下：（1）求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率（2）求此射手“射击一次命中环数≥6”的概率（3）求此射手“射击一次命中环数＜4”的概率解:1、若离散型随机变量ξ的分布列为ξ01P9a2－a3－8a求常数a及相应的分布列．解由离散型随机变量的性质可得9a2－a＋3－8a＝1，0≤9a2－a≤1，0≤3－8a≤1.解得a＝13或a＝23(舍去)．随机变量ξ的分布列为ξ01P23132、已知随机变量X只能取三个值x1，x2，x3，其概率值依次成等差数列，求公差d的取值范围．解设分布列为Xx1x2x3Pa－daa＋d则a－d＋a＋a＋d＝1，∴a＝13.由分布列性质，得a－d≥0，a＋d≥0.∴－13≤d≤13.所以公差d的取值范围是－13，13.1、连续抛掷两个骰子，得到的点数之和为X，则X取哪些值？X的分布列是什么？2、从集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集中，等可能地取出一个．记所取出的非空子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列．3、一个口袋里有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取出3