2.2.1综合法和分析法

金品质•高追求我们让你更放心！◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆§2.2直接证明与间接证明2．2.1综合法和分析法推理与证明金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆1．了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程与特点．2．结合已学过的数学实例，体会综合法的两种形象化说法：“顺推证法”或“由因导果法”；分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”．了解分析法和综合法的流程图、思考过程及特点．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆基础梳理1．_______________是直接证明中最基本的两种证明方法，其思维方式也是解决数学问题时常用的思维方式．2．一般地，利用__________和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的____________成立，这种证明方法叫做__________．综合法和分析法已知条件结论综合法金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆3．分析法是从命题的____________出发，逐步寻求使它成立的____________．4．分析法的思维特点是____________，即从结论寻求条件，向____________靠拢．结论充分条件执果索因已知金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆自测自评1．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到其对角∠A为钝角的结论，对三边a，b，c应满足的条件，判断正确的是()A．a2b2＋c2B．a2＝b2＋c2C．a2b2＋c2D．a2≤b2＋c2解析：由cosA＝0得，b2＋c2－a20.所以a2b2＋c2.答案：Cb2＋c2－a22bc金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆2．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：若l⊥α，m⊂β，α∥β，则l⊥β，所以l⊥m，①正确；若l⊥α，m⊂β，l⊥m，α与β可能相交，②不正确；若l⊥α，m⊂β，α⊥β，l与m可能平行或异面，③不正确；若l⊥α，m⊂β，l∥m，则m⊥α，所以α⊥β，④正确．答案：B金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆3．要证成立，a，b应满足的条件是()A．ab0且abB．ab0且abC．ab0且abD．ab0且ab或ab0且ab3a－3b3a－b金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆解析：要证3a－3b3a－b，只需证(3a－3b)3(3a－b)3，即a－b－33a2b＋33ab2a－b，即证3ab23a2b，只需证ab2a2b，即ab(b－a)0.只需ab0且b－a0或ab0，b－a0.答案：D金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆综合法的应用已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：≥4.1a＋1b证明：证法一∵a，b∈R＋且a＋b＝1，∴a＋b≥2ab.∴ab≤12.∴1a＋1b＝a＋bab＝1ab≥4.金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆证法二∵a，b∈R＋，∴a＋b≥2ab0.1a＋1b≥21ab0.∴(a＋b)1a＋1b≥4.又a＋b＝1，∴1a＋1b≥4.证法三∵a，b∈R＋，∴1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝1＋ba＋ab＋1≥2＋2ab·ba＝4，当且仅当a＝b时，取“＝”号．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆跟踪训练1．已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：a＋1ab＋1b≥254.证明：∵a＋b＝1，a0，b0，∴a＋b≥2ab.∴ab≤14.∴a＋1ab＋1b－254＝a2＋1a·b2＋1b－254＝4a2b2－33ab＋84ab＝1－4ab8－ab4ab≥0.∴a＋1ab＋1b≥254.金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆分析法求证：3＋725.证明：因为3＋725两边都是正数，所以为了证明3＋725，只需证明(3＋7)2(25)2，展开，得10＋22120，即215.只需证明2125.因为2125显然成立，所以不等式3＋725成立．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆点评：(1)用分析法证明的逻辑关系是：B(结论)⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A(已知)．(2)在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是使结论成立的充分条件．最后一步归结到已被证明了的事实．因此，从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆跟踪训练2．当a≥2时，求证：a＋1－a＜a－1－a－2.分析：条件和结论的联系不明确，考虑用分析法证明．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆证明：要证a＋1－a＜a－1－a－2，只需证a＋1＋a－2＜a＋a－1，只需证(a＋1＋a－2)2(a＋a－1)2，只需证a＋1＋a－2＋2a＋1a－2＜a＋a－1＋2aa－1，只需证a＋1a－2aa－1，只需证(a＋1)(a－2)＜a(a－1)，只需证a2－a－2＜a2－a，只需证－2＜0，显然成立，所以a＋1－a＜a－1－a－2.金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆综合法与分析法的综合应用设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称，求证：f为偶函数．x＋12金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆证明：证法一要证fx＋12为偶函数，只需证fx＋12的对称轴为x＝0，只需证－b2a－12＝0，只需证a＝－b.因为函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称，即x＝－b2a－1与x＝－b2a关于y轴对称，所以－b2a－1＝－－b2a.所以a＝－b.所以fx＋12为偶函数．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆证法二要证fx＋12是偶函数，只需证f－x＋12＝fx＋12.因为f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称，而f(x)与f(－x)的图象关于y轴对称，所以f(－x)＝f(x＋1)，f－x＋12＝f－x－12＝fx－12＋1＝fx＋12，所以fx＋12是偶函数．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆跟踪训练3．求证：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.证明：证法一要证明(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，只要证明a2c2＋b2c2＋a2d2＋b2d2≥a2c2＋2abcd＋b2d2，也就是证明b2c2＋a2d2≥2abcd，即(bc－ad)2≥0，∵(bc－ad)2≥0成立，∴(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆证法二∵b2c2＋a2d2≥2abcd，∴a2c2＋b2c2＋a2d2＋b2d2≥a2c2＋2abcd＋b2d2，即(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.点评：分析法解题方向较为明确，利于寻找解题思路；综合法条理清晰，易于表述．因此，在实际解题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆1.①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法.A.2个B.3个C.4个D.5个C金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆2．在△ABC中，“＞0”是“△ABC为锐角三角形”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件BABAC金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆3．A，B为△ABC的内角，AB是sinAsinB的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件CA.B.C.D.其他证法（）B金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆5．对任意的锐角α，β，下列不等式中正确的是()A．sin(α＋β)sinα＋sinβB．sin(α＋β)cosα＋cosβC．cos(α＋β)sinα＋sinβD．cos(α＋β)cosα＋cosβ解析：取α＝30°，β＝30°，可知A，B不成立，取α＝β均趋近于0°，则α＋β→0°，此时cos(α＋β)→1，而sinα→0，sinβ→0，显然C不成立．答案：D金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆6．已知a，b，c是三条互不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出四个命题：①a∥b，b∥α，则a∥α；②a，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β；③a⊥α，a∥β，则α⊥β；④a⊥α，b∥α，则a⊥b.其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4B金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆7．某工程由下表中所列工序组成，则工程总工时为______天.工序abcdef紧前工序——a，bccd，e工时/天232541金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆解析：本题首先是读懂数表，然后按倒序分析如下：(1)完成f需1天(需在d，e完成后)；(2)d，e可并行但需c完成后，故d与e均可在5天内完成；(3)完成c需2天(需a，b均完成后)；(4)a，b可并行无前置限制，故完成a，b需3天．所以工程总工时应为11天．答案：11金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆8．证明：函数f(x)＝x6－x3＋x2－x＋1的值为正数．证明：当x0时，f(x)各项都为正数，因此，当x0时，f(x)为正数；当0≤x≤1时，f(x)＝x6＋x2(1－x)＋(1－x)0；当x1时，f(x)＝x3(x3－1)＋x(x－1)＋10.综上所述，函数f(x)的值为正数．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆9．已知a＋b＋c＝1，求证：ab＋bc＋ca≤.13证明：∵a＋b＋c＝1，∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.又∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，将以上三个不等式相加，得2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)．∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.∴1＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥ab＋bc＋ca＋2ab＋2bc＋2ca＝3(ab＋bc＋ca)．∴ab＋bc＋ca≤.13金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆10．在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c也成等差数列，求证：△ABC为等边三角形．证明：由A，B，C成等差数列知，B＝，由余弦定理知b2＝a2＋c2－ac.又a，b，c也成等差数列，∴b＝，代入上式得＝a2＋c2－ac，整理得3(a－c)2＝0，∴a＝c，从而A＝C.而B＝，则A＝B＝