第五章方阵的相似变换

方阵的相似变换林冬梅一、相似矩阵与相似变换的概念.,.,,,,,111的相似变换矩阵变成称为把可逆矩阵进行相似变换称为对行运算进对相似与或说矩阵的相似矩阵是则称使若有可逆矩阵阶矩阵都是设定义BAPAAPPABAABBAPPPnBA1.等价关系..22111211PAPPAPPAAP.,.3为正整数相似与则相似与若mBABAmm二、相似矩阵与相似变换的性质.本身相似与AA.,相似与则相似与若ABBA.,,相似与则相似与相似与若CACBBA反身性)1()2(对称性传递性)3(证明相似与BAPEPAPPEB11PEAP1PEAP1.EAPAPkPAPkPAkAkP21211122111.4.,21是任意常数其中kkBAPPP1,使得可逆阵.,,1的特征值亦相同与从而式相同的特征多项与则相似与阶矩阵若定理BABABAn推论若阶方阵A与对角阵nn21.,,,,21个特征值的即是则相似nAn利用对角矩阵计算矩阵多项式,1PPBA若PPEaPPBaPBPaPBPannnn11111110Ak的多项式AEaAaAaAaAnnnn1110)(.)(1PBP.1PBPk则PEaBaBaBaPnnnn11110)(PPB1PPB1PPB1PPB1k个,,1为对角矩阵使若可逆矩阵特别地APPP,1PPAkk则.)()(1PPA有对于对角矩阵,,21knkkk,)()()()(111利用上述结论可以很方便地计算矩阵A的多项式.)(A.)(,)(OAfAf则的特征多项式是矩阵设定理证明.与对角矩阵相似的情形只证明A使则有可逆矩阵与对角矩阵相似若,,PA),,,(11ndiagAPP.0)(,iifA的特征值为其中有由,1PPA)(Af.1OPPOPPf1)(PffPn11)()(.,,,1对角化这就称为把方阵为对角阵使若可找到可逆矩阵阶方阵对AAPPPAn证明,,1为对角阵使假设存在可逆阵APPP.,,,21npppPP用其列向量表示为把三、利用相似变换将方阵对角化.)(2个线性无关的特征向量有的充分必要条件是能对角化即与对角矩阵相似阶矩阵定理nAAAnnnnppppppA212121,,,,,,即.,,,2211nnpppnnApApAppppA,,,,,,2121.,,2,1nipApiii于是有nppp,,,211,,1PAPAPP得由.,的特征向量的对应于特征值就是的列向量而的特征值是可见iiiApPA.,,,,21线性无关所以可逆又由于npppP命题得证..,,,,PAPPnnnA使阵个特征向量即可构成矩这个特征向量得并可对应地求个特征值恰好有由于反之说明如果阶矩阵的个特征值互不相等，则与对角阵相似．推论nAAn如果的特征方程有重根，此时不一定有个线性无关的特征向量，从而矩阵不一定能对角化，但如果能找到个线性无关的特征向量，还是能对角化．AAnnA例1判断下列实矩阵能否化为对角阵？242422221)1(A201335212)2(A解EA由)1(7220242422221.7,2321得得方程组代入将,02121EA04420442022321321321xxxxxxxxx解之得基础解系.110,10221,0,73xEA由对求得基础解系2,2,13T,0211210102由于.,,321线性无关所以.,3化可对角因而个线性无关的特征向量有即AA,同理201335212EA31201335212)2(A.1321的特征值为所以A,01xEA代入把解之得基础解系,)1,1,1(T故不能化为对角矩阵.A163053064A设A能否对角化？若能对角,,P则求出可逆矩阵化例2.1为对角阵使APP解163053064EA212.2,1321的全部特征值为所以A得方程组代入将0121xEA063063063212121xxxxxx解之得基础解系,0121.1002解系得方程组的基础代入将,023xEA.1,1,13T.,,321线性无关由于110101102,,321P令.2000100011APP则有所以可对角化.A注意,,,213P若令111012100.1APP则有000000211即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．P);det()det(,)1(BABA则相似与;,,,)2(11相似与且也可逆则可逆且相似与若BABABA;,,)3(为常数相似与则相似与kkBkABA.)()(,)(,)4(相似与则是一多项式而相似与若BfAfxfBA四、小结１．相似矩阵相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好的性质，除了课堂内介绍的以外，还有：２．相似变换与相似变换矩阵这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算．相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A变成，而可逆矩阵称为进行这一变换的相似变换矩阵．APP1P,111111111A.00100100nB思考题.,是否相似判断下列两矩阵BA思考题解答.0,,)()()det(211nnnAnEA的特征值为因解使得矩阵存在可逆是实对称矩阵又,,1PA),0,,0,(111ndiagPAP,)()()det(1nnEB还可求得.有相同的特征值与即AB,1,02特征向量个线性无关的有对应特征值nn使得故存在可逆矩阵,2P,212PBP,212111PBPPAP从而,121112BPPAPP即.相似与故BA