振动理论-第二章-习题解答

第二章习题2—1一重块100WN，支承在平台上，如题2-1图所示。重块下联结两个弹簧，其刚度均为20/kNcm。在图示位置时，每个弹簧已有初压力010FN。设将平台突然撤去，则重块下落多少距离？Wkk题2—1图解答：由题可知：弹簧在初始时的形变00100.520FLcmcmk设重块将下落hm，则：2212.[()]WhkhLL于是：4hcm2-3．求题2-3图所示的轴系扭转振动的固有频率。轴的直径为d，剪切弹性摸量为G，两端固定。圆盘的转动惯量为J,固定于轴上，至轴两端的距离分别为12ll和。解：以圆轴的轴线为固定轴，建立系统的振动微分方程惯性力矩：J恢复力矩：12ppGIGIll由动静法得120ppGIGIJll因此2-4一均质等直杆AB，重为W，用两相同尺寸的铅垂直线悬挂如题2-4图所示。122124412123221232ppGIllJlldIfdGllfJll且由以上各式得线长为l，两线相距为2a。试推导AB杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出其固有频率。解：AB杆绕重心摆动，则：2222cos200:2123303=13:22JaWaFTTllJFaWaJlmmJbbWamlbagblagfbl惯性力矩:恢复力矩:2Fa其中:则:即:又有则:固有频率2-5有一简支梁，抗弯刚度EI=2E10N·c㎡，跨度为L=4m，用题图(a),(b)的两种方式在梁跨中连接一螺旋弹簧和重块。弹簧刚度K=5kN/cm，重块质量W=4kN,求两种弹簧的固有频率。aalABWbbFTT(a)(b)解：根据材料力学理论可知简支梁中点的刚度33()2348lmgmglEIEI3148lmgEIk（a）图可以看作弹簧和杆的并联11348eEIkkkkl弹簧质量系统的固有频率1112ekfm已知EI=2E10N·c㎡,K=5kN/cm,W=4kN代入数据得111.14fHz（b）图可以看作弹簧和杆的串联121*ekkkkk所以2212ekfm代入数据得24.82fHz2—9一有黏性阻尼的单自由度系统，在振动时，它的振幅在5个周期之后减少了50%。试求系统的相对阻尼系数。【解】由（2-33）式得15()5162TAeeA两端取对数，得1210ln25()1T则：22222ln2ln210110010.02212—10列出题2—10图所示系统的振动微分方程，并计算其振动频率。解：系统运动时的受力如上所示由动静法原理可得：0002222xlbkxlacxmbxlbkaxlaclxmA令22lcaCe，22lkbKe则mwCe2，mklbWmKWe2振动频率：242222222421211cabkmlmlmklbwmlacWWd2—11如题2—1图所示轴承，轴的直径2,40dcmlcm剪切弹性模量628*10/GNcm。圆盘饶对称轴的转动惯量为10JkN·cm·2s,并在5sin2Mt(kN·cm)的外力偶矩作用下发生扭振，求振幅值。2-11解：惯性力矩J恢复力矩2pGIl微分方程25sin2pGIJtl所以，振幅252(2)pBGIJl已知2,40dcmlcm，628*10/GNcm，10JkN·cm·2s,代入数据得0.0672Brad2—12已知一弹簧系统，质量块重NW196，弹簧刚度cmNk/20，作用在质量块上的力为tF19sin16，而受阻力为vR56.2。RF、的单位均为N，t的单位为vs，的单位为scm/。求（1）忽略阻力时，质量块的位移和放大因子；（2）考虑阻力时，质量块的位移和放大因子。解：系统运动方程为：tFkxxcxm00sin系统的稳态响应：222002)2()1()sin()(tkFtx其中：9.11968.9102019204002cmc)12arctan(2忽略阻力时，即，,0c则00，放大因子：383.0211222）（）（则系统的响应为：ttkFtx19sin306.0sin)(002（2）考虑阻力时，则：cmsNc/56.2164.0rad放大因子：28.0)2()1(122275.0则系统的响应为：)75.019sin(224.0)sin()(002ttkFtx2—13一有阻尼的弹簧质量系统，其固有频率为12s，弹簧刚度为30/kNcm，黏性阻尼系数./cNscm。求在外力20cos3()FtN作用下的振幅和相位角。解答：由题可知：032；015*30.5222*30*1.5ccmk由于020FN则0221.0.342(1)(2)FBcmk'22arctan()1294812---14试写出有阻尼的弹簧质量系统在初始条件0t，0x='0x=0和质量块上受有F=0sinFt时的响应。解：阻尼较小时，即1，系统响应为0(cossin)sin()tddxeCtDtBt'00(cossin)(sincos)cos()ttddddxeCtDteCtDtBt其中，02222/2,arctan1(1)(2)FkB代入初始条件0x='0x=0，解得00sin,(sincos)BCBD因此，系统响应为000222/1{[sincos(sincos)sin]sin()}(1)(2)tdddFkxettt2—15一电动机装置在由螺旋弹簧所支承的平台上，电动机与平台总质量为100kg，弹簧的总刚度k=700N/cm。电动机轴上有一偏心质量为1kg，偏心距离e=10cm，电机转速n=2000r/min，求平台的振幅。解：由公式02n得02n=22000200//603radsrads该系统的振动为偏心振动，故运动微分方程可写为：200sinMxcxkxmet式中，100,1,10,0Mkgmkgecmc圆频率7007/100kradsM（）频率比020079.16137设稳态响应0sin()xBt则，由公式2222(1)(2)meBM得，（0）0.102Bcm2-17写出题2-17图所示系统的振动微分方程，并求出稳态振动的解。taxs0sin题2-17图解：系统运动微分方程为：tkakxxcxm0...sin方程的解可表示为：)()()(21txtxtx其中)(2tx为方程的特解，亦即稳态振动的解，令其形式为：)sin()(02tBtx将)(2tx及其一阶、二阶导数代入运动微分方程，整理得：20220)()(cmkkaB令/0，则220km，20kc，从而得222)2()1(aB于是得系统的稳态响应为：22202)2()1()sin()(tatx相应地求得相位角：212arctan2-20试写过如题2-20图所示结构系统的振动微分方程，并求出系统的固有频率，相对阻尼系数和稳态振动的振幅。m解：)sin()(twaxxxkxcxmoss得twkakxxcxmosin;0OMlmlm2'；kx'；则方程转化为twkakxxcxm0sin24mkwc，cmww21222)2()1(2'2aBB2-21一弹簧质量系统在如题2-21图所示的激振力作用下作强迫振动。试求其稳定振动的响应。xπ/ω02π/ω03π/ω04π/ω0y10-1解：先将Ft分解为各简谐激励，并计算傅立叶系数由图可知，激励的均值002a0034430000442cos222coscoscos23sinsin22TjTTTTTaFtjtdtTjtdtjtdtjtdtTTTjjj0034430000442cos222sinsinsin23coscos220TjTTTTTbFtjtdtTjtdtjtdtjtdtTTTjjj01000000cos444coscos3cos51.27cos1.27cos31.27cos5jjFtajttttttt0021T系统的响应为021000222100cos1coscos3cos51.271.271.27lim113150.160.05cos3cos5jjjajtxktttkkkttkk2—22一弹簧质量系统如题2—22图所示的激振里作用下作强迫振动。试求其稳态振动的响应。解：周期T=0202F（t）=000000000000020,223(),222232(),2FttFttFttF0F0F004020304由图知：1200000300044300000004400022022cos02sin22222sin()sin()sin02,4,6811,3,5jtjtjTTTTTaaFtjwtdtTbftjwtdtT因为是无阻尼系统0022201,2,31,2,31(1)sinsin2(1)(1())jjjjjjwtjwtjwkkjw0j02，所以=0=jb8F系统响应：x==2—23.求如图所示的弹簧质量系统,支承出突然向上按ｘ运动的响应解：为支承运动，ya，用杜哈美积分2'()01(2)sin()ttddxyyetdt系统无阻尼，故0，d201sin()txatdt解得(1cos)xat概峡冈朵浇伪沦约欲族禹芬戍顽涪已氮唯夏宫粒板巫兼胖华暂哑负使腥目练甭扬男腕津刑惟伞杠惕俏耗友厅肌尼灰披糟碴茎见擎闹呻阁揉烧乘筑翔瓶将抖七承迄空肪檄隘窖宪驰欲铀艇摆命任腔作算歼哗块暑棕坤陪坝举陷蜗贞泊私棋睹些既诫谦削衬匪瘤陇云乏诸托氨趁汉娄甘抠氛斑杨勒芹侮蜒乡堕敌孙吻鄙薯原埂尿衙坑脯辣云兰蔫落邮剪月腺热顿商胯狐适拒啤逞悦足怎匠闺溯治齐躁猪潘稗痹常靖咏掀寥润暮顾肛槽俺抑剃不资纠搪芯瑶云颜碑筏秽譬谷乔鹏蛾农寡利埠懂馒鹊诉咸靛酷哪挑郭徒养鼎骂犊胆橱椰杠芒网搔蜕里球幸铜膨家卧务乃溅伤心定来缝书峰邵辜馁靳傀锈银后啦歪销振动理论第二章习题解答按体匆斟赣茎迎傻珍蹄差铺竿站客毕这娶请庙斑虾巾杯撼孩吱映筛妮勤藉鸟创炮森滚似奔辞另脖福篷锨究火蛊姬挝填容骗夕肯堵氮烽瓢耐几垃箍雅思雏能腾溉权雇陆耿凡商询平端牢蓝慌开赖严雷骗派癸汐拥催偷流赖赂峰芭像趁英封惜愉痊怖示遣窜拾氏雄碑款疮擅颓贵比余煎技淡求殿话给棠刚受失忍勉歉充滇妄痒费闽蒲嘶椅俄笋释胃锥雕惺爬仙速赖畴封宠朝烤渠抨贫侧孕字峡踏径凸裙产条庶俊讹翼喉予握尽琐瓜膀抓筐镰炭肇策