高二数学下期末测试题及答案

高二数学下期末测试题2及答案共150分.第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若yxCCC117117，则yx,的值分别是（）A．6,12yxB．7,11yxC．6,11yxD．7,12yx2．已知直线平面m，直线平面n，给出下列四个命题：①若//，则nm；②若，则nm//；③若nm//，则；④若nm，则//.其中正确的命题有（）A．③④B．①③C．②④D．①②3．5个人排成一排，若A、B、C三人左右顺序一定（不一定相邻），那么不同排法有（）A．55AB．3333AAC．3355AAD．33A4．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为（）A．110B．120C．140D．11205．一颗骰子的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6，若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为P点坐标，则点P落在圆1622yx内的概率为（）A．91B．92C．31D．946．坛子里放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回摸球．A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1与A2是（）A．互斥事件B．独立事件C．对立事件D．不独立事件7．从6种小麦品种中选出4种，分别种植在不同土质的4块土地上进行试验，已知1号、2号小麦品种不能在试验田甲这块地上种植，则不同的种植方法有（）A．144种B．180种C．240种D．300种8．在（312xx）8的展开式中常数项是（）A．－28B．－7C．7D．289．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是P1，乙解决这个问题的概率是P2，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是（）A．P1+P2B．P1·P2C．1－P1·P2D．1－(1－P1)(1－P2)10．袋中有6个白球，4个红球，球的大小相同，则甲从袋中取1个是白球，放入袋中，乙再取1个是红球的概率为（）A．245B．415C．825D．625第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。将正确答案填在题中横线上11．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二，四位置，那么不同的出场安排共有__________________种（用数字作答）．12．已知斜三棱柱ABCABC111中，侧面BBCC11的面积为S，侧棱AA1与侧面BBCC11的距离为d，则斜三棱柱ABCABC111的体积V=______________．13．已知一个简单多面体的各个顶点都有三条棱，那么2F－V=．14．已知92xxa的展开式中，3x的系数为49，则常数a的值为__________________．三、解答题：本大题共6小题，满分76分．15．（本题满分12分）第17届世界杯足球赛小组赛在4支球队中进行.赛前，巴西队、士耳其队、中国队等8支球队抽签分组，求中国队与巴西队被分在同一组的概率．16．（本题满分12分）如图，ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，（1）求证：MN//平面PAD；（2）求证：MN⊥AB；（3）若平面PDC与平面ABCD所成的二面角为，试确定的值，使得直线MN是异面直线AB与PC的公垂线．17．（本题满分12分）某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）．（1）求至少3人同时上网的概率；（2）至少几人同时上网的概率小于0.3？18．（本小题满分12分）某人有5把钥匙，1把是房门钥匙，但忘记了开房门的是哪一把，于是，他逐把不重复地试开，问：（1）恰好第三次打开房门锁的概率是多少？（2）三次内打开的概率是多少？（3）如果5把内有2把房门钥匙，那么三次内打开的概率是多少？19．（本题满分12分）已知nx)31(的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数的最大的项及系数最大项.20．（本小题满分12分）如图，在正三棱柱ABCABC111中，ABAA341，，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为29，设这条最短路线与CC1的交点为N.求：（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；（2）PC和NC的长；（3）平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）.高二数学期末测试题参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号12345678910答案ABCBBDCCDD二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．25212．dS2113．414．4三、解答题（本大题共6题，共76分）15．(12分)解一：记事件A为“中国队与巴西队被分在同一小组”，则事件A的对立事件;A为“中国队与巴西队被分在两个小组”.8支球队分为两组共有C84种方法，即基本事件总数为C84，其中中国队与巴西队被分在两个小组有CC2163种可能，PACCC()21638447根据对立事件的概率加法公式PAPA()()114737解二：设巴西队已被分在某组，中国队此时面临7种可能位置，其中与巴西同组的位置有3种，故两队同组的概率为37.答：中国队与巴西队被分在同一组的概率为37.16．(12分)证明：（1）取PD中点E，连接NE、AE，则四边形MNEA是平行四边形，所以MN//AE，所以MN//平面PAD（2）连接AC、BD交于O，连接OM、ON，因为ON//PA，所以ON⊥平面ABCD，因为OM⊥AB，由三垂线定理知，MN⊥AB；（3）∵PA⊥面AC，AD是PD在面AC内的射影，CD⊥AD∴CD⊥PD∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角θ.当θ=45°时，AE⊥PD，AE⊥CD，∴AE⊥面PCD∵MN∥AE∴MN⊥面PCD，∵PC面PCD，∴MN⊥PC，又由（2）知MN⊥AB，∴MN是AB与PC的公垂线.17．(12分)解：每个人上网的概率为0.5，作为对立事件，每个人不上网的概率也为0.5，在6个人需上网的条件下，r个人同时上网这个事件（记为Ar）的概率为：P(Ar)=)501(50C66..rrr=50C66.r=641C6r式中r=0,1,2,…,6第（1）问的解法一应用上述记号，至少3人同时上网即为事件A3+A4+A5+A6，因为A3、A4、A5、A6为彼此互斥事件，所以可应用概率加法公式，得至少3人同时上网的概率为P=P(A3+A4+A5+A6)=P(A3)+P(A4)+P(A5)+P(A6)=641(CCCC66564636)=641(20+15+6+1)=3221解法二“至少3人同时上网”的对立事件是“至多2人同时上网”，即事件A0+A1+A2，因为A0，A1，A2是彼此互斥的事件，所以至少3人同时上网的概率为P=1－P（A0+A1+A2）=1－[P(A0)+P(A1)+P(A2)]=1－641(CCC261606)=1－641(1+6+15)=3221第（2）问的解法：记“至少r个人同时上网”为事件Br，则Br的概率P(Br)随r的增加而减少，依题意是求满足P(Br)0.3的整数r的值，因为P(B6)=P(A6)=6410.3，P(B5)=P(A5+A6)=P(A5)+P(A6)=641(CC6656)=6470.3P(B4)=P(A4+A5+A6)=P(A4)+P(A5)+P(A6)=641(CCC665646)=641(15+6+1)=32110.3因为至少4人同时上网的概率大于0.3，所以至少5人同时上网的概率小于0.3．18．(12分)解：5把钥匙，逐把试开有A55种等可能的结果．（1）第三次打开房门的结果有A44种，因此恰好第三次打开房门的概率P(A)=AA5544=51．（2）三次内打开房门的结果有3A44种，因此所求概率P(A)=AA35544=53．（3）解法一因5把内有2把房门钥匙，故三次内打不开的结果有A33·A22种，从而三次内打开的结果有A55—A33·A22种，所求概率P(A)=AAA552233-A55=109．解法二三次内打开的结果包括：三次内恰有一次打开的结果有AAC33121312A种；三次内恰有2次打开的结果有A23A33种，因此，三次内找开的结果有AAC33121312A+A23A33，所求概率P(A)=AC55332333121312AAAAA=109．19．（14分）解：末三项的二项式系数分别为：Cnn2，Cnn2，Cnn，由题设得：Cnn2+Cnn1+Cnn=121即Cn2+Cn1+Cn0=121,∴n2+n－240=0∴n=15(n=－16)(n=－16舍去)当n=15时，二项式系数最大的为中间项第8、9项.分别为C71537x7与C81538x8∵展开式通项Tr+1=Cr15(3x)r=Cr153r·xr设Tr+1项系数最大，则有Cr153r≥Cr1153r－1Cr153r≥Cr1153r+1解得11≤r≤12,∴展开式中系数最大的项为T12=C1115311x11，T13=C1215312x12ABMB1A1CPC1P1Nxx图1ABMB1A1CPC1P1N图2H20．(14分)解：（1）正三棱柱ABC—A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线的长为949722（2）如图1，将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连结MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线.设PC=x，则P1C=x在RtMAP1中，由勾股定理得：322922x解得：x2PCPC12NCMAPCPA1125NC45（3）如图2，连接PP1，则PP1就是平面NMP与平面ABC的交线.作NHPP1于H，又CC1⊥平面ABC，连结CH由三垂线定理得：CHPP1∴∠NHC就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角（锐角）在RtPHC中，PCHPCP12601CHPC121在RtNCH中，tanNHCNCCH45145故平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小为arctan45