山东科技大学概率统计简明教程主编卓相来第七章详细答案-石油大学出版社

习题七1.已知总体X的概率密度为(1),01,(,)0,xxfx其他.其中1为未知参数,nXXX,,,21是来自总体X的一组样本,试求的最大似然估计量.解构造似然函数11()(;)(1)()nnnjjjjLfxx,故1ln()ln(1)ln()nijLnx，令1ln()ln01njjdLnxd，所以的最大似然估计量为1ˆ1.lnnjjnx2.已知总体X的概率密度为(1),,(,)0,CxxCfx其他.其中0C为已知，1为未知参数，nXXX,,,21是来自总体X的样本，试求的矩估计量与最大似然估计量.解(1)()()1cCEXxfxdxxCxdx，由1CX,所以的矩估计量为CXXˆ.构造似然函数(1)1()njjLCx,12,,,,nxxxC1ln()lnln(1)ln,njjLnncx令方程1ln()lnln0,njjdLnnCxd所以的最大似然估计量为1lnlnnjjnXnC.3.设总体X服从参数为n，p的二项分布,n为已知,p为未知,),,,(21nXXX是总体X的一个样本,),,,(21nxxx为其样本观察值,试求(1)参数p的矩估计量和最大似然估计量;(2)p与1p之比的矩估计值.解(1)EXnp，令1,EXAX所以p的矩估计量为ˆ.Xpn构造似然函数11,jjjnnxxxnjLpCpp取对数1lnlnlnln1,jnxnjjjLpCxpnxp111lnlnln1,jnnnxnjjjjjCpxpnx令11ln110,1nnjjjjdLpxnxdppp所以p最大似然估计量ˆ.Xpn(2)1pp的矩估计值为.1XXnXnXn4.设总体X的概率密度为1(1)(1),01,(,)0,xxxfx其它.其中0为未知参数,),,,(21nXXX是总体X的一个样本,试求(1)参数的矩估计量;(2)当样本观察值为（43.0,35.0,5.0,6.0,4.0,2.0）时,求未知参数的矩估计量;(3)未知参数的最大似然估计量.解(1)110(1)(1)EXxfxdxxxxdx111111200001(1)(1)2xdxxdxxx122，令1,EXAX所以的矩估计量为2ˆ.1XX(2)0.20.40.60.50.350.431.2463X所以的矩估计量为1.2423ˆ1.409.1.2413(3)构造似然函数11(1)(1),njjjLxx取对数1lnlnln11lnln1njjjLxx11lnln11lnln1,nnjjjjnnxx令1lnln0,1njjdLnnxd得1211ln,1njjxcn即2224210,,2ccccc由于0所以的最大似然估计量为21241,ln.2njjcccxcn5.设总体X的分布律为2}1{Xp，)1(2}2{Xp，2)1(}3{Xp其中,)10(为未知参数,已知取得了样本值11x,22x,13x，试求未知参数的矩估计值和最大似然估计值.解2222(1)3(1)32,EX令132,EXAX所以的矩估计量为3ˆ,2X又因为1214,33X所以4353ˆ.26构造似然函数32251,1,2,1,2121,jjLfxfff取对数ln25lnln1,L令ln5120,1dLd所以的最大似然估计量为5.66.设),(321XXX是总体X的一个样本,试证统计量3211525152XXXT,3212213161XXXT,321314914371XXXT都是总体X的均值EX的无偏估计量,并指出那一个统计量的估计最有效.解1123123212212212.555555555ETEXXXEXEXEXEXEX同理2123111111.632632ETEXXXEXEX3123139139.7141471414ETEXXXEXEX所以123TTT，，都是无偏估计量.12341491447,,.252525253698DTDXDXDTDXDTDX因为1213,,DTDTDTDT所以1T最有效.7.设总体2~(,)XN,),,,(21nXXX是总体X的一个样本,如果参数为已知,试证统计量njjXn122)(1ˆ是总体方差2的无偏估计量.解2222221111111ˆ()22,nnnnjjjjjjjjXXuXnuXuXunnn又因为2222,,jjjEXDXEXuEXu所以22222221111ˆ22.nnjjjEEXuXuuuuunn所以统计量njjXn122)(1ˆ是总体方差2的无偏估计量.8.设nXXX,,,21是来自总体),(~2NX的一个样本,记niiXnX11，212)(11XXnSnii,221SnXU,证明：U是2的无偏估计量.证)1()()1()(2222SnEXESnXEUE221()[()]()DXEXESn22221nn，所以U是2的无偏估计量。9.设总体X的均值为,u方差为2.分别独立从总体X中抽取样本1212(,,,),,,,mnXXXYYY样本均值分别为,.XY令.uaXbY(1)当ab和满足什么条件时,u是u的无偏估计量;(2)当ab和为何值时,(1)式中u的无偏估计量u的方差最小.解(1)因为,EuEaXbYaEXbEYabu为了使uaXbY是u的无偏估计量，应有1.ab(2)XY与相互独立，所以222222221,aabaDuDaXbYaDXbDYmnmn令22222121220,dDuaadaanammadadamnmnmn得,1.mnabamnmn又因为22220,dDumndamn所以当,1mnabamnmn时,u的无偏估计量u的方差最小.10.某工厂生产滚球,从长期实践中知道,滚球直径2~(,0.20)XN,现从某天的产品中随机抽取6个,测得直径如下（单位：mm）1.152.158.149.140.157.14试求未知参数的一个置信水平分别为99.090.0和的置信区间.解这里14.95,0.20,6Xn查表得0.050.0051.645,2.575,ZZ置信区间为22,,XzXznn的置信水平为0.90的置信区间为14.82,15.08.的置信水平为0.99的置信区间为14.74,15.16.11.某人对铁的溶化点作了4次试验,得其结果为C1550C1540C1530C1560如果铁的溶化点2~(,)XN,试求未知参数的一个置信水平分别为95.0的置信区间.解这里0.02510.95,0.025,33.1824,1545,12.9099,2tXS的置信水平为95.0的置信区间为/212.9099(1)15453.1824,4SXtnn即1524.46,1565.54.12.为考察某大学成年男性的胆固醇水平,现抽取了样本容量为25的一个样本,并测得样本均值186X,样本标准差为12S.假定所设成年男性的胆固醇水平2~(,)XN,参数，2均为未知,试求未知参数及的一个置信水平分别为90.0的置信区间.解这里220.050.050.9510.90,0.05,241.7109,2436.415,2413.848,2t的置信水平为0.90的置信区间为/212(1)1861.7109,25SXtnn即181.89,190.11,的置信水平为0.90的置信区间为22/21/21124122412,,,36.41513.848(1)(1)nSnSnn即9.74,15.80.13.某糖厂用自动包装机装糖,设各包重量服从正态分布2(,)N,某日开工后测得9包重量为（单位：kg）：99.398.7100.5101.298.399.799.5102.1100.5试求未知参数的一个置信水平分别为95.0的置信区间.解这里20.02510.95,0.025,82.306,99.978,1.47,2tXS的置信水平为95.0的置信区间为/21.47(1)99.9782.306,9SXtnn即99.046,100.91.14.,AB两个地区种植同一型号的小麦,现抽取了19块面积相同的麦田,其中9块属于A区，另外10块属于B区，测得它们的小麦产量（以kg计）分别如下地区A10010511012511098105116112地区B10110010511511192106121102107设地区A的小麦产量21~(,)XN,地区B的小麦产量22~(,)YN,参数221,,均为未知,试求这两个地区的小麦的平均产量之差21的一个置信水平为90.0的置信区间.解这里12120.0510.90,0.05,9,10,217,171.7396,2nnnnt212868.75967.33109,106,8.2916,8.2057,,8.2462,17XYSSSS21的置信水平为90.0的置信区间为/21`21211(2)3.59,9.59.wXYtnnSnn15.某公司利用两条自动化流水线罐装矿泉水,现从两条自动化流水线上生产的矿泉水中分别抽取12瓶和17瓶,并测量每瓶矿泉水的体积（毫升）,进而算得样本均值分别为501.1X和499.7Y,样本方差分别为212.4S和224.7S.假定这两条自动化流水线所装矿泉水的体积都分别服从正态分布),(21N和),(22N,试求21的一个置信水平为95.0的置信区间.解这里12120.02510.95,0.025,12,17,227,272.0518,2nnnnt12222112.4164.7501.1,499.7,2.4,4.7,3.763,1.9398