电动力学四一(平面电磁波)

1在迅变情况下，电磁场以波动形式存在．由于在广播通讯、光学和其他科学技术中的广泛应用，电磁波的传播、辐射和激发问题已发展为独立的学科，具有十分丰富的内容．变化着的电场和磁场互相激发，形成在空间中传播的电磁波．2一种最基本的交变电磁场:平面电磁波本章:电磁波传播的最基本的理论下章:讨论辐射和激发问题§1平面电磁波31、无界空间中平面电磁波传播的主要特性2、电磁波在介质界面上的反射和折射从电磁理论出发导出光学中的反射和折射定律．4说明电磁波在导体内有一定的穿透深度，在良导体内只有很小部分电磁能量透入，因而良导体成为电磁波存在的边界。3、有导体存在时的电磁波传播问题。4、有界空间的电磁波．微波技术中常用的谐振腔，传输线和波导都属于有界空间中的电磁波问题．在这两节中我们以谐振腔和波导为例说明电磁波边值问题的解法．5一般情况下,电磁波的基本方程是麦克斯韦方程组0BDJtDHtBE研究在没有电荷电流分布的自由空间（或均匀介质）中的电磁场运动形式．1.电磁波的波动方程600BDtDHtBE在自由空间中，电场和磁场互相激发，电磁场的运动规律是齐次的麦克斯韦方程组（=0,J=0情形）7真空情形:D=0E,B=0H2200tEεμBtE80EEEEE22代入上述得电场E的偏微分方程022002tEE同样，在方程组中消去电场，可得磁场B的偏微分方程022002tBB9令001c则E和B的方程可以写为012222tEcE012222tBcB波动方程，其解包括各种形式的电磁波，c是电磁波在真空中的传播速度．在真空中，一切电磁波（包括各种频率范围的电磁波，如无线电波、光波X射线和射线等）都以速度c传播，c是最基本的物理常量之一．10介质情形:研究介质中的电磁波传播问题时，必须给出D和E的关系以及B和H的关系．当以一定角频率作正弦振荡的电磁波入射于介质内时，介质内的束缚电荷受电场作用，亦以相同频率作正弦振动．11在这频率下介质的极化率e()为极化强度P与0E之比，由此可得到这频率下的电容率()在线性介质中有关系EDHB12由介质的微观结构可以推论，对不同频率的电磁波，介质的电容率是不同的，即和是的函数（见第七章§6）和随频率而变的现象------介质的色散13由于色散，对一般非正弦变化的电场E(t)，关系式D(t)=E不成立．因此在介质内，不能够推出E和B的一般波动方程.讨论一定频率的电磁波在介质中的传播．142．时谐电磁波在很多实际情况下，电磁波的激发源往往以大致确定的频率作正弦振荡，辐射出的电磁波以相同频率作正弦振荡．例如无线电广播或通讯的载波，激光器辐射出的光束等，都接近于正弦波．这种以一定频率作正弦振荡的波称为时谐电磁波（单色波）．15在一般情况下，即使电磁波不是单色波，它也可以用傅里叶（Fourier）分析（频谱分析）方法分解为不同频率的正弦波的叠加．16讨论一定频率的电磁波．设角频率为，电磁场对时间的依赖关系是cost，或用复数形式表为tiexEtxE,tiexBtxB,在上式中，我们用同一个符号E表示抽出时间因子e-it以后的电场强度，一般不致发生混淆．17时谐情形下的麦氏方程组:在一定频率下，有D=0E,B=0H，把上式代入麦氏方程，消去共同因子e-it后得00HEEiHHiE注意：在0的时谐电磁波情形下这组方程不是独立的．180E0H第一式第四式:第二式第三式:0H0E19取第一式旋度并用第二式得EE2EEEE220E022EkEk0E20解出E后，磁场B可由第一式求出，EkiEiB亥姆霍兹方程是一定频率下电磁波的基本方程，其解E(x)代表电磁波场强在空间中的分布情况，每一种可能的形式称为一种波模．21概括起来，在一定频率下，麦氏方程组化为以下方程EiBEEkE0022亥姆霍兹方程的每一个满足E=0的解都代表一种可能存在的波模．22类似地，也可以把麦氏方程组在一定频率下化为022BkB0BBkiBiE233．平面电磁波按照激发和传播条件的不同，电磁波的场强E(x)可以有各种不同形式．例如从广播天线发射出的球面波，沿传输线或波导走向传播的波，由激光器激发的狭窄光束等，其场强都是亥姆霍兹方程的解．24讨论一种最基本的解，它是存在于全空间中的平面波．设电磁波沿X轴方向传播，其场强在与x轴正交的平面上各点具有相同的值，即E和B仅与x，t有关，而与y，z无关．这种电磁波称为平面电磁波，其波阵面（等相位点组成的面）为与x轴正交的平面．在这情形下亥姆霍兹方程化为一维的常微分方程250222xEkxEdxd它的一个解是ikxeExE0场强的全表示式为tkxieEtxE0,26E0是电场的振幅ei(kx-t)代表波动的相位因子由条件E=0得ikexE=0，即要求E=0．因此，只要E0与x轴垂直，上式就代表一种可能的模式．27tkxEtxEcos,0以上为了运算方便采用了复数形式，对于实际存在的场强应理解为只取上式的实数部分，即28相位因子cos(kx-t)的意义在时刻t=0，相位因子是coskx，x＝0的平面处于波峰．在另一时刻t，相因子变为cos(kx-t)波峰移至kx-t处，即移至x=t/k的平面上表示一个沿x轴方向传播的平面波tkxieEtxE0,29其相速度为1k真空中电磁波的传播速度为001c介质中电磁波的传播速度为rrc30式中r和r分别代表介质的相对电容率和相对磁导率，由于它们是频率的函数，因此在介质中不同频率的电磁波有不同的相速度，这就是介质的色散现象．31我们选择了一个特殊坐标系，它的x轴沿电磁波传播方向．txkieEtxE0,k在tkxieEtxE0,在一般坐标系下平面电磁波的表示式是32式中k是沿电磁波传播方向的一个矢量，其量值为ktkxieEtxE0,在特殊坐标系下，当k的方向取为x轴时，有k·x＝kx，33图示表示沿k方向传播的平面电磁波．txkieEtxE0,取垂直于矢量k的任一平面S，设P为此平面上的任一点，位矢为x，则k·x＝kx’，x’为x在矢量k上的投影，在平面S上任意点的位矢在k上的投影都等于x’，因而整个平面S是等相面．34表示沿矢量k方向传播的平面波.k称为波矢量，其量值k称为波数.沿电磁波传播方向相距为x=2/k的两点有相位差2,因此x是电磁波的波长txkieEtxE0,k235对上式必须加上条件E=0才得到电磁波解．取此式的散度EikeEikeEEtxkitxki00因此0Ek表示电场波动是横波,E可在垂直于k的任意方向上振荡.txkieEtxE0,36E的取向称为电磁波的偏振方向．可以选与k垂直的任意两个互相正交的方向作为E的两个独立偏振方向．因此，对每一波矢量k，存在两个独立的偏振波．37平面电磁波的磁场EikEeEtxki0][EnEkkBtxkieEtxE0,38n为传播方向的单位矢量．由上式得k·B=0，因此磁场波动也是横波．E、B和k是三个互相正交的矢量．E和B同相，振幅比为vBE1EnμεB39cBE001（用高斯单位制时，此比值为1，即电场与磁场量值相等）在真空中，平面电磁波的电场与磁场比值为40概括平面电磁波的特性如下：1.电磁波为横波,E和B都与传播方向垂直；2.E和B互相垂直，EB沿波矢k方向；3.E和B同相，振幅比为v．41平面电磁波沿传播方向各点上的电场和磁场瞬时值如图所示．随着时间的推移，整个波形向x轴方向的移动速度为rrcv42电磁场的能量密度2212121BEBHDEw4．电磁波的能量和能流43平面电磁波中电场能量和磁场能量相等，有221BE221BEw在平面电磁波情形vBE144nEEnEHES2vwnwnS1平面电磁波的能流密度v为电磁波在介质中的相速．EnμεB45由于能量密度和能流密度是场强的二次式，不能把场强的复数表示直接代入．计算和S的瞬时值时，应把实数表示代入，得txkEtxkEw212120220coscos和S都是随时间迅速脉动的量，实际上我们只需用到它们的时间平均值．46为了以后应用，这里给出二次式求平均值的一般公式．设f(t)和g(t)有复数表示ititiegtgeftf00,是f(t)和g(t)的相位差.fg对一周期的平均值为47gfgftgttffg*002000Re21cos21coscosd2式中f*表示f的复共轭，Re表示实数部分．48由此，能量密度和能流密度的平均值为20202121BEwnEHES202121*