1.2直观图

【课标要求】1.了解空间几何体的表示形式，进一步提高对空间几何体结构特征的认识.2.理解并掌握用斜二测画法画直观图.3.掌握斜二测画法的规则．自主学习基础认识|新知预习|1．斜二测画法的规则(1)在已知图形中建立直角坐标系xOy.画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平平面．(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴和y′轴的线段．(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的12.2．立体图形直观图画法的四个步骤|自我尝试|1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在实物图中取不同的坐标系，所得的直观图有可能不同．()(2)平行于坐标轴的线段的长度在直观图中仍然保持不变．()(3)正方形的直观图还是正方形．()(4)矩形的直观图可能是梯形．()√×××2．水平放置的梯形的直观图是()A．梯形B．矩形C．三角形D．任意四边形解析：斜二测画法的规则中平行性保持不变，故选A.答案：A3．利用斜二测画法可以得到：①水平放置的三角形的直观图是三角形；②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形；③水平放置的正方形的直观图是正方形；④水平放置的菱形的直观图是菱形．以上结论正确的是()A．①②B．①C．③④D．①②③④解析：因为斜二测画法是一种特殊的平行投影画法，所以①②正确；对于③④，只有平行于x轴的线段长度不变，所以不正确．答案：A4．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，则原图形是()A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四边形C解析：如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×22＝42(cm)，CD＝C′D′＝2cm，所以OC＝OD2＋CD2＝422＋22＝6(cm)，所以OA＝OC，故四边形OABC是菱形，因此选C.5．在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm，则在直角坐标系xOy中，四边形ABCO为________，面积为________cm2.解析：由斜二测画法的特点知该平面图形是一个长为4cm，宽为2cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8cm2.答案：矩形8课堂探究互动讲练类型一水平放置的平面图形的直观图的画法[例1]如图是由正方形ABCE和正三角形CDE所组成的平面图形，试画出其水平放置的直观图．【解析】(1)以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，如图(1)，再建立坐标系x′O′y′，使两轴的夹角为45°，如图(2)．(2)以O′为中点，在x′轴上截取A′B′＝AB，分别过A′，B′作y′轴的平行线，截取A′E′＝12AE，B′C′＝12BC.在y′轴上截取O′D′＝12OD.(3)连接E′D′，E′C′，C′D′，并擦去作为辅助线的坐标轴，就得到所求的直观图，如图(3)．方法归纳在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，便于画点；原图中的共线点，在直观图中仍是共线点；原图中的平行线，在直观图中仍是平行线．跟踪训练1用斜二测画法画出如图所示的水平放置的△OAB的直观图．解析：(1)在三角形中建立如图(1)所示的直角坐标系xOy，再建立如图(2)所示的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)在图(1)中作AC⊥x轴于C，作BD⊥x轴于D.在坐标系x′O′y′中，沿x′轴正方向取O′C′＝OC；沿x′轴负方向取O′D′＝OD.(3)在坐标系x′O′y′中，沿y′轴负方向画C′A′平行于y′轴，且C′A′＝12CA；沿y′轴正方向画D′B′平行于y′轴，且D′B′＝12DB.(4)连接O′A′，O′B′，A′B′，去掉辅助线，得到△O′A′B′，即为△OAB水平放置的直观图，如图(3)所示．类型二立体图形的直观图的画法[例2]用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图．【思路点拨】立体图形的直观图只是在平面图形直观图的基础上增加了z′轴，且平行性、长度不变．【解析】(1)画轴．如图(1)所示，画出x′轴、y′轴、z′轴，三轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°.(2)画底面．点O′为中点，在x′轴上取线段MN，使MN＝4cm；在y′轴上取线段PQ，使PQ＝32cm.分别过点M和N作y′轴的平行线，过点P和Q作x′轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.(3)画侧棱．过A、B、C、D各点分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别沿z′轴正方向截取2cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′.(4)成图．连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图，如图(2)所示．方法归纳(1)画柱体、锥体的直观图的步骤①画轴：通常以高所在直线为z′轴建系．②画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面．③确定顶点：利用与z′轴平行或在z′轴上的线段确定有关顶点．④连线成图．(2)画台体的直观图的步骤①画轴：通常以高所在直线为z′轴建系．②画下底面．③画高，画上底面．④连线成图．跟踪训练2画圆锥的直观图．解析：画法：(1)画轴：如图(1)，画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°；(2)画圆锥的底面：画出底面圆的直观图；(3)画圆锥的顶点：在O′z′上截取O′P，使得O′P等于圆锥的高；(4)成图：连接PA、PB，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，得圆锥的直观图，如图(2)．类型三直观图与原平面图形的面积关系[例3](1)(2017·安徽合肥一中月考)一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，如图．若O′B′＝1，那么原△ABO的面积与直观图的面积之比为________；22(2)(2017·陕西三元北城中学月考)在一等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A＝45°，DC＝2，AD＝2，建立如图所示的直角坐标系，其中O为AB的中点，则其直观图的面积为________．324【解析】(1)由斜二测画法，可知原三角形为直角三角形，且∠AOB＝90°，OB＝1，OA＝2O′A′＝22，所以S△AOB＝12×1×22＝2.S△A′B′O′＝12×1×1＝12.所以原三角形面积与直观图面积之比为22：1.(2)由题意知AB＝DC＋2ADcos45°＝4，EO＝2sin45°＝1，其直观图如图所示，其中A′B′＝4，C′D′＝2，高h′＝E′O′sin45°＝24，所以S四边形A′B′C′D′＝2＋4×242＝324.方法归纳(1)解答此类题目的关键是首先要能够将水平放置的平面图形的直观图还原为原来的实际图形，其依据就是逆用斜二测画法，也就是使平行于x轴的线段的长度不变，而平行于y轴的线段长度变为原来的2倍．(2)求直观图的面积的关键是依据斜二测画法，求出相应的直观图的底边和高．在原来实际图形中的高线，在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来的一半的线段，以此为依据求出直观图中的高线即可．跟踪训练3若一个水平放置的图形的直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形如图所示，则原平面图形的面积是()A.2＋22B.1＋22C．2＋2D．1＋2解析：由题意，知直观图中等腰梯形的下底为2＋1，根据斜二测画法规则，可知原平面图形为直角梯形，上底为1，下底为2＋1，高为2，所以其面积为2＋2.答案：C|素养提升|1．“斜”与“二测”的含义(1)“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°.(2)“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴和z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的12.2．斜二测画法中的建系原则在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线或图形的对称直线为坐标轴，图形的对称点为原点或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等．3．直观图中的“变”与“不变”平面图形用其直观图表示时，一般说来，不变的有：(1)平行关系不变；(2)点的共线性不变；(3)线的共点性不变．变化的有：(1)角的大小有变化(特别是垂直关系有变化)；(2)有些线段的度量关系也发生变化．因此图形的形状发生变化，这种变化，目的是为了使图形富有立体感．|巩固提升|1．利用斜二测画法画边长为3cm的正方形的直观图，正确的是图中的()解析：正方形的直观图应为平行四边形，且一组对边为3cm，另一组对边为32cm.答案：C2．如图，直观图△A′B′C′(其中A′C′∥O′y′，B′C′∥O′x′)所表示的平面图形是()A．正三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形解析：由A′C′∥O′y′，B′C′∥O′x′知，在原图形中，AC⊥CB，所以对应的平面图形为直角三角形．答案：D3．如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为________．解析：由直观图还原出原图，如图，所以S＝a·22a＝22a2.答案：22a2