高中数学导数理科数学试题含答案

1高二年级导数理科数学试题一、选择题：（每题5分，共60分）1．若000(2)()lim1xfxxfxx，则0()fx等于（C）A．2B．－2C．12D．122．物体运动方程为4134St，则2t时瞬时速度为（D）A．2B．4C．6D．83．函数sinyx的图象上一点3(,)32处的切线的斜率为（D）A．1B．32C．22D．124．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有(C)A．f(0)＋f(2)2f(1)B．f(0)＋f(2)≤2f(1)C．f(0)＋f(2)≥2f(1)D．f(0)＋f(2)2f(1)5．曲线324yxx在点(13)，处的切线的倾斜角为（B）A．30°B．45°C．60°D．120°6．若21()ln(2)2fxxbx在(-1,+)上是减函数，则b的取值范围是（C）A.[1,)B.(1,)C.(,1]D.(,1)7.已知函数32()(6)1fxxaxax有极大值和极小值，则实数a的取值范围是(C)（A）-1a2(B)-3a6（C）a-3或a6(D)a-1或a28.已知f（x）是定义域R上的增函数，且f（x）0,则函数g(x)=x2f(x)的单调情况一定是(A)(A)在(-∞，0)上递增（B）在(-∞，0)上递减（C）在R上递增（D）在R上递减9.曲线ln(21)yx上的点到直线230xy的最短距离是（A）A.5B.25C.35D.010．如果函数y=f(x)的图象如图所示，那么导函数y=)(xf的图象可能是(A)211.已知x≥0,y≥0，x+3y=9,则x2y的最大值为（A）A.3612.设函数1()ln(0),3fxxxx则()yfxA在区间1(,1),(1,)ee内均有零点B在区间1(,1),(1,)ee内均无零点C在区间1(,1)e内有零点，在区间(1,)e内无零点.D在区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e内有零点.解析：由题得xxxxf33131)`(，令0)`(xf得3x；令0)`(xf得30x；0)`(xf得3x，故知函数)(xf在区间)3,0(上为减函数，在区间),3(为增函数，在点3x处有极小值03ln1；又0131)1(,013,31)1(eefeeff，故选择D。二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）13．若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1没有极值，则a的取值范围为[-1,2]14.已知xxflg)(，函数)(xf定义域中任意的)(,2121xxxx，有如下结论：①0(3)(3)(2)(2)ffff；②0(3)(2)(3)(2)ffff；③;0)()(2121xxxfxf④.2)()()2(2121xfxfxxf上述结论中正确结论的序号是①③.15．对于函数2()(2)xfxxxe（1）(2,2)是()fx的单调递减区间；（2）(2)f是()fx的极小值，(2)f是()fx的极大值；（3）()fx有最大值，没有最小值；3（4）()fx没有最大值，也没有最小值．其中判断正确的是___________(2)(4)_____.16．若函数52)(23xaxxxf在区间（21,31）上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，则实数a的取值范围是___.(25,45)___________________。三、解答题（本题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．(12分)已知函数32()fxxbxcxd的图象过点(0,2)P，且在点(1,(1))Mf处的切线方程为076yx.（Ⅰ）求函数)(xfy的解析式；（Ⅱ）求函数)(xfy的单调区间.（Ⅰ）由)(xf的图象经过(0,2)P，知2d，所以32()2fxxbxcx.所以2()32fxxbxc.由在(1,(1))Mf处的切线方程是670xy，知6(1)70f，即(1)1f，(1)6f′.所以326,121.bcbc即23,0.bcbc解得3bc.故所求的解析式是32()332fxxxx.（Ⅱ）因为2()363fxxx，令23630xx，即2210xx，解得112x，212x.当12x或12x时，()0fx，当1212x时，()0fx，故32()332fxxxx在(,12)内是增函数，在(12,12)内是减函数，在),21(内是增函数.18.(12分)已知函数3()3fxxx（I）求函数()fx在3[3,]2上的最大值和最小值.4（II）过点(2,6)P作曲线()yfx的切线，求此切线的方程.解：（I）'()3(1)(1)fxxx，……………………………………………2分当[3,1)x或3(1,]2x时，'()0fx，3[3,1],[1,]2为函数()fx的单调增区间当(1,1)x时，'()0fx，[1,1]为函数()fx的单调减区间又因为39(3)18,(1)2,(1)2,()28ffff，………………………………5分所以当3x时，min()18fx当1x时，max()2fx………………………………………………6分（II）设切点为3(,3)Qxxx，则所求切线方程为32(3)3(1)()yxxxxx………………………………………………8分由于切线过点(2,6)P，326(3)3(1)(2)xxxx，解得0x或3x………………………………………………10分所以切线方程为3624(2)yxyx或即30xy或24540xy………………………………………………12分19.(12分)已知函数f(x)=x3-21x2(1)若f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求b的取值范围(2)若f(x)在x=1处取得极值，且x∈［-1,2］时，f(x)c2恒成立，求c的取值范围解（1）)(xf=3x2-x+b,因f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，则)(xf≥0.即3x2-∴b≥x-3x2在（-∞，+∞）恒成立.设g(x)=x-3x2当x=61时，g(x)max=121,∴b≥121(2)由题意知)1(f=0，即3-1+b=0，∴b=-x∈［-1,2］时，f(x)c2恒成立，只需f(x)在［-1，2］上的最大值小于c2即可.因)(xf=3x2-x-2,令)(xf=0,得x=1或x=-32.∵f(1)=-23f(-,21)1(,2722)32cfc∴f(x)max=f(2)=2+c,∴2+cc2.解得c2或c-1，所以c的取值范围为（-∞，-1）∪（2，+∞）.520．(本小题共12分)给定函数xaaxxxf)1(3)(223和xaxxg2)((I)求证:)(xf总有两个极值点;(II)若)(xf和)(xg有相同的极值点,求a的值.证明:(I)因为)]1()][(1([)1(2)('22axaxaaxxxf,令0)('xf,则1,121axax,------------------------------------------2分则当1ax时,0)('xf,当11axa,'()0fx所以1ax为)(xf的一个极大值点,-----------------------4分同理可证1ax为)(xf的一个极小值点.-------------------------------------5分另解：(I)因为'22()2(1)fxxaxa是一个二次函数，且22(2)4(1)40aa，-------------------------------------2分所以导函数有两个不同的零点，又因为导函数是一个二次函数，所以函数()fx有两个不同的极值点.---------------------------------------5分(II)因为222))((1)('xaxaxxaxg，令0)('xg,则axax21,---------------------------------------6分因为)(xf和)(xg有相同的极值点,且ax1和1,1aa不可能相等,所以当1aa时,21a，当1aa时,21a,经检验,21a和21a时,axax21,都是)(xg的极值点.--------------8分21．(12分)把边长为a的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后,用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝)，设容器的高为x，容积为()Vx.（Ⅰ）写出函数()Vx的解析式，并求出函数的定义域；（Ⅱ）求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积.6解：（Ⅰ）因为容器的高为x，则做成的正三棱柱形容器的底边长为(23)ax----1分.则23()(23)4Vxaxx.-------------------------3分函数的定义域为3(0,)6a.-------------------------4分（Ⅱ）实际问题归结为求函数()Vx在区间3(0,)6a上的最大值点.先求()Vx的极值点.在开区间3(0,)6a内，223'()9364Vxxaxa--------------------6分令'()0Vx，即令22393604xaxa，解得1233,(186xaxa舍去).因为1318xa在区间3(0,)6a内，1x可能是极值点.当10xx时，'()0Vx；当136xxa时，'()0Vx.---------------------8分因此1x是极大值点，且在区间3(0,)6a内，1x是唯一的极值点，所以1318xxa是()Vx的最大值点，并且最大值331()1854faa即当正三棱柱形容器高为318a时，容器的容积最大为3154a.----22．(14分)已知1x是函数32()3(1)1fxmxmxnx的一个极值点，其中,,0mnRm，（I）求m与n的关系式；（II）求()fx的单调区间；（III）当1,1x时，函数()yfx的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围.解(I)2()36(1)fxmxmxn因为1x是函数()fx的一个极值点,所以(1)0f,即36(1)0mmn，所以36nm……………………………………3分（II）由（I）知，2()36(1)36fxmxmxm=23(1)1mxxm……4分7当0m时，有211m，当x变化时，()fx与()fx的变化如下表：x2,1m21m21,1m11,()fx-0+0-()fx单调递减极小值单调递增极大值单调递减………………………………………………………………………………………………8分故有上表知，当0m时，()fx在2,1m单调递减，在2(1,1)m单调递增，在(1,)上单调递减.……………………………………………9分（III）由已知得()3fxm，即22(1)20mxmx…………………………10分又0m所以222(1)0xmxmm即222(1)0,1,1xmxxmm①设212()2(1)gxxxmm，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，……11分所以22(1)0120(1)010gmmg