专题训练极坐标与参数方程

本课的重点：（1）参数方程与普通方程的互化；一般要求是把参数方程化为普通方程；较高要求是利用设参求曲线的轨迹方程或研究某些最值问题；（2）极坐标与直角坐标的互化。重点方法：1消参的种种方法；2极坐标方程化为直角坐标方程的方法；3设参的方法。坐标系与参数方程在高考中根据我区的情况是选考内容，是10分的解答题之一，与不等式选讲和矩阵与变换等三个选修模块进行三选二解答，知识相对比较独立，与其他章节联系不大，容易拿分。根据不同的几何问题可以建立不同的坐标系，坐标系选取的恰当与否关系着解决平面内的点的坐标和线的方程的难易以及它们位置关系的数据确立。有些问题用极坐标系解答比较简单，而有些问题如果我们引入一个参数就可以使问题容易入手解答，计算简便。高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、参数方程以及极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化，并用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题，交点问题和位置关系的判定。我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式，其中t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x,y)为终点的有向线段的数量M0M。当点M在点M0的上方时，t0；当点M在点M0的下方时，t0；当点M与点M0重合时，t=0。很明显，我们也可以参数t理解为以M0为原点，直线l向上的方向为正方向的数轴上点M的坐标，其长度单位与原直角坐标系的长度单位相同。用坐标的观点理解上述直线参数方程中的参数t，在解决有关直线问题时，可以自然地将新旧知识联系起来。过定点),(000yxM、倾斜角为的直线l的参数方程为sincos00tyytxx，(t为参数)1、一、参数t的有关性质对于上述直线l的参数方程，设l上两点A、B所对应的参数分别为tA、tB，则1．A、B两点之间的距离为||||BAttAB，特别地，A、B两点到点M0的距离分别为|tA|、|tB|。2．A、B两点的中点所对应的参数为2BAtt，若点M0是线段AB的中点，则tA+tB=0，反之亦然。说明：2.圆x2+y2=r2(r0)的参数方程:3.圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程:其中参数的几何意义为:4.椭圆的参数方程为:22221(0)xyababcos()sinxryr为参数cos()sinxarybr为参数θ为圆心角cos()sinxayb为参数1.求直线415315xtyt（为参数t）被曲线2cos()4所截的弦长.考点一：参数方程,极坐标方程和直角坐标方程的互化考点二：了解参数方程和参数的意义．2.设方程sin3cos1yx，（θ为参数）.表示的曲线为C，（1）求曲线C上的动点到原点O的距离的最小值（2）点P为曲线C上的动点，当|OP|最小时(O为坐标原点)，求点P的坐标。考点三：能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程及极坐标方程3.已知椭圆C的极坐标方程为222sin4cos312，点F1、F2为其左，右焦点，直线l的参数方程为tytx22222(t为参数，t∈R)．（Ⅰ）求直线l和曲线C的普通方程；（Ⅱ）求点F1、F2到直线l的距离之和.考点四：能给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程4设点P在曲线sin2上，点Q在曲线2cos上，求||PQ的最小值．【解析】以极点为原点，极轴所在直线为x轴建立直角坐标系.将曲线sin22与曲线2cos分别化为直角坐标方程，得直线方程2y，圆方程22(1)1xy．所以圆心（－1，0）到直线距离为2，|PQ|的最小值为2－1＝11．直接求解例1．在极坐标系中，过圆=6cos的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程分析：把极坐标方程化为普通方程求出直线，再得到极坐标方程。例2．（08广东卷理13）已知曲线12CC，的极坐标方程分别为cos3，π4cos002，≥≤，求曲线1C与2C交点的极坐标2．由极坐标求最值例3．（2009大丰市）已知A是曲线ρ=3cosθ上任意一点，求点A到直线ρcosθ=1距离的最大值和最小值。分析：可以把极坐标方程转化为普通方程，再结合图形解答问题。评注：将极坐标方程转化为普通方程是解决两曲线位置关系的重要方法。例4．（2008盐城市）在极坐标系中,设圆3上的点到直线cos3sin2的距离为d,求d的最大值.分析：已知圆为极坐标方程，可以转化为普通方程，然后改写为参数式即可表示出圆上任意一点的坐标，并把直线的极坐标方程转化为普通方程，圆上的点的坐标可以表示出来，由点到直线的距离公式即可求出。也可以转化为圆心到直线的距离利用数形结合的思想解答。3．极坐标方程研究两曲线的位置关系例5．（江苏省南通市2008-2009）求直线12,12xtyt（t为参数）被圆3cos,3sinxy（α为参数）截得的弦长．分析：把参数方程转化为普通方程来判断位置关系，利用圆心距与半径求出弦长。4．两曲线的位置关系例6．（08海南、宁夏理）已知曲线C1：cossinxy，（为参数），曲线C2：22222xty，（t为参数）．（Ⅰ）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；（Ⅱ）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线12CC，．写出12CC，的参数方程．1C与2C公共点的个数和C21C与公共点的个数是否相同？说明你的理由．例2．（2007年广东省深圳市）若直线bxy与曲线sincosyx(为参数，且)22有两个不同的交点，则实数b的取值范围是__________．7例8．（2007年广东，理13）在平面直角坐标系xＯy中，直线L的参数方程为t3y3tx－＝＋＝，（参数Rt），圆Ｃ的参数方程为2sin2ycos2x＋＝＝（参数20，），则圆Ｃ的圆心坐标为，圆心到直线L的距离为。例9．（2008江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，点()Pxy，是椭圆2213xy上的一个动点，求Sxy的最大值．5．极坐标方程与参数方程混合例10．（2008南通四县市）已知曲线C的极坐标方程是4cos．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：21222xtyt，求直线l与曲线C相交所成的弦的弦长．例11．（2008宁夏银川一中）已知椭圆C的极坐标方程为222sin4cos312，点F1、F2为其左，右焦点，直线l的参数方程为tytx22222(t为参数，t∈R)．（Ⅰ）求直线l和曲线C的普通方程；（Ⅱ）求点F1、F2到直线l的距离之和.例12．（淮安、徐州、宿迁、连云港四市2008—2009）已知在直角坐标系x0y内，直线l的参数方程为22,14,xtyt(t为参数)．以Ox为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为22sin()4.(1)写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；(2)判断直线l和圆C的位置关系.五、考点预测1．（江苏省启东中学2009）在极坐标系中，从极点O作直线与另一直线:cos4l相交于点M，在OM上取一点P，使12OMOP．（1）求点P的轨迹方程；（2）设R为l上任意一点，试求RP的最小值2．过点P（－3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线1,()1xtttytt为参数相交于A、B两点．求线段AB的长．3．（2008年广东实验中学）求直线tytx3141（为参数t）被曲线)4cos(2所截的弦长4.已知圆的极坐标方程为2cos，求该圆的圆心到直线sin2cos1的距离5(江苏省泰兴市2007—2008学年第一学期高三调研)已知直线l经过点(1,1)P,倾斜角6，（1）写出直线l的参数方程;（2）设l与圆422yx相交与两点,AB，求点P到,AB两点的距离之积.6(盐城市2007/2008学年度高三第三次调研考试)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点O处,极轴与x轴的正半轴重合.直线l的参数方程为cossinxtyt(t为参数,为直线l的倾斜角)，圆C的极坐标方程为28cos120.(Ⅰ)若直线l与圆C相切,求的值；(Ⅱ)若直线l与圆C有公共点,求的范围