三角恒等变换

教材知识四基导航考点典例探究领航创新变化提能返航课时规范训练大一轮复习数学（理）教材知识四基导航考点典例探究领航创新变化提能返航课时规范训练大一轮复习数学（理）第二节三角恒等变换教材知识四基导航考点典例探究领航创新变化提能返航课时规范训练大一轮复习数学（理）教材知识四基导航考点典例探究领航创新变化提能返航课时规范训练大一轮复习数学（理）教材细梳理1．三角恒等变换中常用的公式(1)两角和与差的三角函数公式sin(α＋β)＝；sin(α－β)＝sinαcosβcosαsinβ.cos(α＋β)＝；cos(α－β)＝cosαcosβsinαsinβ.sinαcosβ＋cosαsinβ－cosαcosβ－sinαsinβ＋教材知识四基导航考点典例探究领航创新变化提能返航课时规范训练大一轮复习数学（理）tan(α＋β)＝；tan(α－β)＝.tanα＋tanβ1－tanαtanβtanα－tanβ1＋tanαtanβ教材知识四基导航考点典例探究领航创新变化提能返航课时规范训练大一轮复习数学（理）(2)二倍角公式sin2α＝；cos2α＝＝＝；tan2α＝.2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α2tanα1－tan2α教材知识四基导航考点典例探究领航创新变化提能返航课时规范训练大一轮复习数学（理）2．常用的公式变形(1)辅助角公式asinα＋bcosα＝，其中cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2.(2)两角和与差的正切公式的变形tanα＋tanβ＝tan(α＋β)；tanα－tanβ＝．a2＋b2sin(α＋φ)(1－tanαtanβ)tan(α－β)(1＋tanαtanβ)教材知识四基导航考点典例探究领航创新变化提能返航课时规范训练大一轮复习数学（理）3．化简中的常用技巧(1)“1”的代换，1＝sin2α＋cos2α，1＝2cos2α－cos2α，1＝cos2α＋2sin2α，1＝tanπ4等；(2)用“弦化切”“切化弦”的方法来减少三角函数的种类；(3)利用辅助角公式将形如asinα＋bcosα的式子化为只含有一个三角函数的形式a2＋b2sin(α＋φ)；(4)角的变换技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，α＝π3＋α－π3＝α－π3＋π3等．教材知识四基导航考点典例探究领航创新变化提能返航课时规范训练大一轮复习数学（理）[易错易混]1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围．教材知识四基导航考点典例探究领航创新变化提能返航课时规范训练大一轮复习数学（理）知识微思考1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．()(2)在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不确定．()(3)公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．()教材知识四基导航考点典例探究领航创新变化提能返航课时规范训练大一轮复习数学（理）(4)存在实数α，使tan2α＝2tanα.()(5)设sin2α＝－sinα，α∈π2，π，则tan2α＝3.()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√(5)√教材知识四基导航考点典例探究领航创新变化提能返航课时规范训练大一轮复习数学（理）2．在锐角△ABC中，如何确定sinAsinB和cosAcosB的大小关系？提示：因为角C为锐角，所以cosC＝－cos(A＋B)＝sinAsinB－cosAcosB＞0，所以sinAsinB＞cosAcosB.教材知识四基导航考点典例探究领航创新变化提能返航课时规范训练大一轮复习数学（理）四基精演练1．(必修4·3.1例3改编)若cosα＝－45，α是第三象限的角，则sinα＋π4＝()A．－210B.210C．－7210D.7210教材知识四基导航考点典例探究领航创新变化提能返航课时规范训练大一轮复习数学（理）解析：选C.因为cosα＝－45，α是第三象限的角，所以sinα＝－1－cos2α＝－35，所以sinα＋π4＝sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝－35×22＋－45×22＝－7210.教材知识四基导航考点典例探究领航创新变化提能返航课时规范训练大一轮复习数学（理）2．(必修4·3.1例4改编)sin108°cos42°－cos72°sin42°＝.解析：原式＝sin(180°－72°)cos42°－cos72°sin42°＝sin72°cos42°－cos72°sin42°＝sin(72°－42°)＝sin30°＝12.答案：12教材知识四基导航考点典例探究领航创新变化提能返航课时规范训练大一轮复习数学（理）3．(必修4·习题3.1A组T5改编)已知cosπ6＋α＝－45，π3＜α＜56π，则cosα＝.解析：因为π3＜α＜56π，所以π2＜α＋π6＜π，又cosπ6＋α＝－45，所以sinπ6＋α＝1－cos2π6＋α＝35，教材知识四基导航考点典例探究领航创新变化提能返航课时规范训练大一轮复习数学（理）所以cosα＝cosπ6＋α－π6＝cosπ6＋αcosπ6＋sinπ6＋αsinπ6＝－45×32＋35×12＝3－4310.答案：3－4310教材知识四基导航考点典例探究领航创新变化提能返航课时规范训练大一轮复习数学（理）4．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知α∈0，π2，tanα＝2，则cosα－π4＝.解析：tanα＝2，即sinα＝2cosα，又sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝15.又α∈0，π2，故cosα＝55，sinα＝255，所以cosα－π4＝22(cosα＋sinα)＝22×355＝31010.答案：31010教材知识四基导航考点典例探究领航创新变化提能返航课时规范训练大一轮复习数学（理）5．(2016·高考全国卷Ⅱ)若cosπ4－α＝35，则sin2α＝()A.725B.15C．－15D．－725解析：选D.法一：sin2α＝cosπ2－2α＝cos2π4－α＝2cos2π4－α－1＝2×352－1＝－725.故选D.教材知识四基导航考点典例探究领航创新变化提能返航课时规范训练大一轮复习数学（理）法二：cosπ4－α＝22(cosα＋sinα)＝35⇒cosα＋sinα＝325⇒1＋sin2α＝1825，∴sin2α＝－725.故选D.教材知识四基导航考点典例探究领航创新变化提能返航课时规范训练大一轮复习数学（理）考点一三角函数式的化简[简单型]——发展数学运算1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．2．三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．教材知识四基导航考点典例探究领航创新变化提能返航课时规范训练大一轮复习数学（理）1．cosπ9·cos2π9·cos－23π9等于．解析：原式＝cosπ9·cos29π·cos－3π＋49π＝－cosπ9·cos29π·cos49π·sinπ9sinπ9教材知识四基导航考点典例探究领航创新变化提能返航课时规范训练大一轮复习数学（理）＝－12sin29π·cos29π·cos49πsinπ9＝－18sin89πsinπ9＝－18.答案：－18教材知识四基导航考点典例探究领航创新变化提能返航课时规范训练大一轮复习数学（理）2．若1＋cos2αsin2α＝12，则tan2α等于．解析：1＋cos2αsin2α＝2cos2α2sinαcosα＝cosαsinα＝12，∴tanα＝2，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝41－4＝－43.答案：－43教材知识四基导航考点典例探究领航创新变化提能返航课时规范训练大一轮复习数学（理）3．(2018·江苏泰兴月考)化简：sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－12cos2α·cos2β＝.解析：法一：(异名化同名)原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12(2cos2α－1)·(2cos2β－1)＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1)＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－12教材知识四基导航考点典例探究领航创新变化提能返航课时规范训练大一轮复习数学（理）＝sin2αsin2β＋(1－cos2β)cos2α＋cos2β－12＝sin2αsin2β＋sin2βcos2α＋cos2β－12＝sin2β＋cos2β－12＝12.教材知识四基导航考点典例探究领航创新变化提能返航课时规范训练大一轮复习数学（理）法二：(利用降幂公式)原式＝1－cos2α2·1－cos2β2＋1＋cos2α2·1＋cos2β2－12cos2α·cos2β＝14(1＋cos2α·cos2β－cos2α－cos2β)＋14(1＋cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β)－12cos2α·cos2β＝12.答案：12教材知识四基导航考点典例探究领航创新变化提能返航课时规范训练大一轮复习数学（理）考点二三角恒等变换的求值[高频型]——发展数学运算、逻辑推理命题点1给角求值[例1]4cos50°－tan40°＝()A.2B.2＋32C.3D．22－1教材知识四基导航考点典例探究领航创新变化提能返航课时规范训练大一轮复习数学（理）解析：4cos50°－tan40°＝4sin40°－sin40°cos40°＝4cos40°sin40°－sin40°cos40°＝2sin80°－sin40°cos40°＝2sin120°－40°－sin40°cos40°＝3cos40°＋sin40°－sin40°cos40°＝3cos40°cos40°＝3，故选C.答案：C教材知识四基导航考点典例探究领航创新变化提能返航课时规范训练大一轮复习数学（理）命题点2给值求值[例2](2018·河北唐山模拟)已知tanα＋π4＝－12，且π2＜α＜π，则sin2α－2cos2αsinα－π4等于()A.255B．－3510C．－255D．－31010教材知识四基导航考点典例探究领航创新变化提能返航课时规范训练大一轮复习数学（理）解析：sin2α－2cos2αsinα－π4＝2sinαcosα－2cos2α22sinα－cosα＝22cosα，由tanα＋π4＝－12，得tanα＋11－tanα＝－12，解得tanα＝－3.教材知识四基导航考点典例探究领航创新变化提能返航课时规范训练大一轮复习数学（理）因为π2＜α＜π，所以cosα＝－1010.所以sin2α－2cos2αsinα－π4＝22cosα＝22×－1010＝－255，故选C.答案：C教材知识四基导航考点典例探究领航创新变化提能返航课时规范训练大一轮复习数学（理）命题点3给值求角[例3]设α∈0，π2，β0，π2，且tanα＝1＋sinβcosβ，则()A．3α－β＝π2B．2α－β＝π2C．3α＋β＝π2D．2α＋β＝π2教材知识四基导航考点典例探究领航创新变化提能返航课时规范训练大一轮复习数学（理）解析：由条件得sinαcosα＝1＋sinβcosβ，即s