二倍角公式及其变形公式

栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章三角恒等变形二倍角公式及其变形公式栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章三角恒等变形1．二倍角公式名称简记符号公式适用范围二倍角的正弦公式S2αsin2α＝_____________α∈R二倍角的余弦公式C2αcos2α＝_____________＝_________＝_________二倍角的正切公式T2αtan2α＝__________α≠π2＋kπ，α≠π4＋kπ2，其中k∈Z2sinαcosαcos2α－sin2α1－2sin2α2cos2α－12tanα1－tan2α栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章三角恒等变形2.倍角公式的变形(1)因为sin2α＋cos2α＝1，所以公式C2α可以变形为cos2α＝___________＝____________；①或cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2.②其中公式①称为升幂公式，②称为降幂公式．(2)常用的两个变形：(sinα＋cosα)2＝sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝1＋sin2α，(sinα－cosα)2＝sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝1－sin2α.1－2sin2α2cos2α－1栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章三角恒等变形1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．()(2)存在角α，使得sin2α＝2sinα成立．()(3)对于任意的角α，cos2α＝2cosα都不成立．()××√栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章三角恒等变形解析：(1)错误．二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠π2＋kπ(k∈Z)且α≠π4＋kπ(k∈Z)，故此说法错误．(2)正确．当α＝kπ(k∈Z)时，sin2α＝2sinα.(3)错误．当cosα＝1－32时，cos2α＝2cosα.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章三角恒等变形2.sin110°sin20°cos2155°－sin2155°的值为()A．－12B．12C．32D．－32解析：选B．原式＝cos20°sin20°cos225°－sin225°＝12sin40°cos50°＝12sin40°sin40°＝12.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章三角恒等变形3.tan15°1－tan215°＝________．解析：原式＝12×2tan15°1－tan215°＝12tan30°＝36.答案：36栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章三角恒等变形4．若sinα＝55，则cos4α－sin4α＝________.解析：cos4α－sin4α＝(cos2α＋sin2α)(cos2α－sin2α)＝cos2α－sin2α＝1－2sin2α＝1－2×552＝35.答案：35栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章三角恒等变形1．对倍角公式的三点说明(1)前提：所含各三角函数有意义．(2)联系：公式S2α，C2α，T2α是在公式Sα＋β，Cα＋β，Tα＋β中，分别令β＝α时，得到的一组公式，即倍角公式是和角公式的特例．(3)倍角公式中的“倍角”的相对性：对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是3α2的2倍．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章三角恒等变形2．二倍角的余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．常用形式：①1＋cos2α＝2cos2α，②cos2α＝1＋cos2α2，③1－cos2α＝2sin2α，④sin2α＝1－cos2α2.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章三角恒等变形化简求值求下列各式的值：(1)cosπ5cos2π5；(2)12－cos2π8；(3)tanπ12－1tanπ12.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章三角恒等变形【解】(1)原式＝2sinπ5cosπ5cos2π52sinπ5＝sin2π5cos2π52sinπ5＝sin4π54sinπ5＝sinπ54sinπ5＝14.(2)原式＝1－2cos2π82＝－2cos2π8－12＝－12cosπ4＝－24.(3)原式＝tan2π12－1tanπ12＝－2·1－tan2π122tanπ12＝－2×1tanπ6＝－233＝－23.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章三角恒等变形应用二倍角公式化简(求值)的策略(1)化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．(2)公式逆用：主要形式有2sinαcosα＝sin2α，sinαcosα＝12sin2α，cosα＝sin2α2sinα，cos2α－sin2α＝cos2α，2tanα1－tan2α＝tan2α.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章三角恒等变形1.(1)计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.(2)求sin6°sin42°sin66°sin78°的值．栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章三角恒等变形解：(1)原式＝212cos10°＋32sin10°2sin240°＝2sin40°2sin40°＝2.故填2.(2)原式＝sin6°cos48°cos24°cos12°＝24sin6°cos6°cos12°cos24°cos48°24cos6°＝23sin12°cos12°cos24°cos48°16cos6°＝22sin24°cos24°cos48°16cos6°＝2sin48°cos48°16cos6°＝sin96°16cos6°＝cos6°16cos6°＝116.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章三角恒等变形给值求值(1)已知α∈π2，π，sinα＝55，则sin2α＝__________，cos2α＝__________，tan2α＝__________.(2)已知sinπ4＋αsinπ4－α＝16，且α∈π2，π，求tan4α的值．栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章三角恒等变形【解】(1)因为α∈π2，π，sinα＝55，所以cosα＝－255，所以sin2α＝2sinαcosα＝2×55×－255＝－45，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×552＝35，tan2α＝sin2αcos2α＝－43.故填－45，35，－43.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章三角恒等变形(2)因为sinπ4－α＝sinπ2－π4＋α＝cosπ4＋α，则已知条件可化为sinπ4＋αcosπ4＋α＝16，即12sin2π4＋α＝16，所以sinπ2＋2α＝13，所以cos2α＝13.因为α∈π2，π，所以2α∈(π，2π)，从而sin2α＝－1－cos22α＝－223，所以tan2α＝sin2αcos2α＝－22，故tan4α＝2tan2α1－tan22α＝－421－(－22)2＝427.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章三角恒等变形把本例(1)中的条件“sinα＝55”改为“sinα＋cosα＝55”，求sin2α，cos2α，tan2α的值．栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章三角恒等变形解：因为sinα＋cosα＝55，所以(sinα＋cosα)2＝15，即1＋2sinαcosα＝15，sin2α＝2sinαcosα＝－45.因为α∈π2，π，所以cosα0，所以sinα－cosα0，所以sinα－cosα＝(sinα－cosα)2＝1－sin2α＝355，所以cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝55×－355＝－35，所以tan2α＝sin2αcos2α＝43.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章三角恒等变形(1)三角函数求值问题的一般思路一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章三角恒等变形(2)另外，注意几种诱导公式的应用，如：①sin2x＝cosπ2－2x＝cos2π4－x＝2cos2π4－x－1＝1－2sin2π4－x；②cos2x＝sinπ2－2x＝sin2π4－x＝2sinπ4－xcosπ4－x；③cos2x＝sinπ2＋2x＝sin2π4＋x＝2sinπ4＋xcosπ4＋x.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章三角恒等变形2.已知cosα＝－34，sinβ＝23，α是第三象限角，β∈π2，π.(1)求sin2α的值；(2)求cos(2α＋β)的值．解：(1)因为α是第三象限角，cosα＝－34，所以sinα＝－1－cos2α＝－74，所以sin2α＝2sinαcosα＝2×－74×－34＝378.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章三角恒等变形(2)因为β∈π2，π，sinβ＝23，所以cosβ＝－1－sin2β＝－53，cos2α＝2cos2α－1＝2×916－1＝18，所以cos(2α＋β)＝cos2αcosβ－sin2αsinβ＝18×－53－378×23＝－5＋6724.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章三角恒等变形二倍角公式在实际中的应用焊接工王师傅遇到了一个难题：如图所示，有一块扇形钢板，半径为1米，圆心角θ＝π3，施工要求按图中所画的那样，在钢板OPQ上裁下一块平行四边形钢板ABOC，要求使裁下的钢板面积最大．试问王师傅如何确定A的位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章三角恒等变形【解】连接OA，设∠AOP＝α，过A作AH⊥OP，垂足为H，在Rt△AOH中，OH＝cosα，AH＝sinα，所以BH＝AHtan60°＝33sinα，所以OB＝OH－BH＝cosα－33sinα，设平行四边形ABOC的面积为S，栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章三角恒等变形则S＝OB·AH＝cosα－33sinα·sinα＝sinαcosα－33sin2α＝12sin2α－36(1－cos2α)＝12sin2α＋36cos2α－36＝1332sin2α＋12cos2α－36＝13sin2α＋π6－36.由于0απ3，所以π62α＋π656π，当2α＋π6＝π2，即α＝π6时，Smax＝13－36＝36，所以当A是PQ︵的中点时，所裁钢板的面积最大，最大面积为36平方米．栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章三角恒等变形解决此类实际问题，应首先确定主变量角α以及相关的常量与变量，建立关于角α的三角函数式，再利用和(差)角公式或二倍角公式求解．对于求三角函数最值的问题，一般利用三角函数的有界性来解决．栏目导引探究案讲