牛吃草问题讲义--一

1牛吃草问题“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间。难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定。“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．解“牛吃草”问题的主要依据：①草的每天生长量不变；②每头牛每天的食草量不变；③草的总量草场原有的草量新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值④新生的草量每天生长量天数．同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；（引申重点！为什么设一头牛一天吃草为一个单位，有学生问为什么不设为两个单位，三个单位……该怎么回答？设几个单位都无所谓，就算设一亿个单位都没事，因为最后都要被消去的。例如：牧场上有一片青草，牛每天吃草，草每天以均匀的速度增长，这片青草可以让十头牛吃20天，15头牛吃10天，那么可以让25头牛吃多少天？解：根据题目描述得：设一头牛一天吃1单位的草，原来的草量为y,草长出的速度为x，时间为N：(1):10头牛20天吃的草量=原来的草量+20天长出的草量即：(a):200头牛1天吃的草量=原来的草量+20天长出的草量也可以用字母来表示：200=y+20x(2):15头牛10天吃的草量=原来的草量+10天长出的草量即：(b):150头牛1天吃的草量=原来的草量+10天长出的草量也可以用字母来表示：150=y+10x,(a)-(b)得：50头牛1天吃的草量=10天长出的草量所以：1天长出的草量=5头牛1天吃的草量(倍数关系）带入(a)得：原来的草量=100头牛1天吃的草量即：x=5,y=100那么根据问题描述可列出式子：25头牛N天吃的草量=原来的草量+N天长出的草量即：25N头牛1天吃的草量=100头牛1天吃的草量+5N头牛1天吃的草量，用字母表示为：25N=100+5N，N=5所以N=5。即：可以让25头牛吃5天。我的解法都没设一头牛一天吃草为一个单位，是因为我用了大量的文字描述，如果你要用方程之类的，也可以设一头牛一天吃草为(m、p、q、1、2、3。。。），随便都可以，反正到最后都要被消去的。）⑵草的生长速度(对应牛的头数较多天数对应牛的头数较少天数)(较多天数较少天数)；2⑶原来的草量对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数；⑷吃的天数原来的草量(牛的头数草的生长速度)；⑸牛的头数原来的草量吃的天数草的生长速度．“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．题型1、一块地的“牛吃草问题”1、牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天．供25头牛可吃几天？【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，10头牛吃20天共吃了1020200份；15头牛吃10天共吃了1510150份．第一种吃法比第二种吃法多吃了20015050份草，这50份草是牧场的草201010天生长出来的，所以每天生长的草量为50105，那么原有草量为：200520100．供25头牛吃，若有5头牛去吃每天生长的草，剩下20头牛需要100205(天)可将原有牧草吃完，即它可供25头牛吃5天．2、由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少．经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天．那么，可供11头牛吃几天？【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，651天自然减少的草量为2051664，原有草量为：2045120。若有11头牛来吃草，每天草减少11415；所以可供11头牛吃120158(天)．题型2、牛羊一起吃草的“牛吃草问题”1、一块匀速生长的草地，可供16头牛吃20天或者供100只羊吃12天．如果一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，那么这块草地可供10头牛和75只羊一起吃多少天？【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，由于一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，所以100只羊吃12天相当于20头牛吃12天．那么每天生长的草量为16202012201210，原有草量为：161020120．10头牛和75只羊1天一起吃的草量，相当于25头牛一天吃的草量；25头牛中，若有10头牛去吃每天生长的草，那么剩下的15头牛需要120158天可以把原有草量吃完，即这块草地可供10头牛和75只羊一起吃8天．2、一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15天将草吃尽；如果让马和羊去吃，20天将草吃尽；如果让牛和羊去吃，30天将草吃尽．已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量．现在让马、牛、羊一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？【解析】设1匹马1天吃草量为“1”，根据题意，有：15天马和牛吃草量原有草量15天新生长草量……⑴20天马和羊吃草量原有草量20天新生长草量……⑵30天牛和羊(等于马)吃草量原有草量30天新生长草量……⑶由(1)2(3)可得：30天牛吃草量原有草量，所以：牛每天吃草量原有草量30；由⑶可知，30天羊吃草量30天新生长草量，所以：羊每天吃草量每天新生长草量；设马每天吃的草为3份3将上述结果带入⑵得：原有草量60，所以牛每天吃草量2．这样如果同时放牧牛、羊、马，可以让羊去吃新生长的草，牛和马吃原有的草，可以吃：602312(天)．题型3、“牛”吃草问题的变例1、早晨6点，某火车进口处已有945名旅客等候检票进站，此时，每分钟还有若干人前来进口处准备进站．这样，如果设立4个检票口，15分钟可以放完旅客，如果设立8个检票口，7分钟可以放完旅客．现要求5分钟放完，需设立几个检票口?【解析】设1个检票口1分钟放进1个单位的旅客．①1分钟新来多少个单位的旅客：1(41587)(157)2②检票口开放时已有多少个单位的旅客在等候：4×１５－12×15=5212③5分时间内检票口共需放进多少个单位的旅客：5212+12×5=55④设立几个检票口：55511(个)2、一个蓄水池装有9根水管，其中1根为进水管，其余8根为相同的出水管。开始进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池蓄水。池内注入了一些水后，有人想把出水管也打开，使池内的水再全部排光。如果把8根出水管全部打开，需要3小时可将池内的水排光；而若仅打开3根出水管，则需要18小时。问如果想要在8小时内将池中的水全部排光，最少要打开几根出水管？【解析】设1根排水管1小时排水为“1”，进水速度为(31883)(183)2，原有水量为(82)318，如果想要在8小时内将池中的水全部排光，最少要打开18824.25根出水管，每根出水管1小时排水1份，又出水管的根数是整数，故最少要打开5根出水管。3、两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级梯级，女孩每秒可走2级梯级，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。问：该扶梯共有多少级梯级？【解析】本题与牛吃草问题类似，其中扶梯的梯级总数相当于原有草量；而自动扶梯运行的速度则相当于草的增长速度。并且上楼的速度要分成两部分︰一部分是孩子自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。自动扶梯的速度（女孩每秒走的梯级×女孩走的时间－男孩每秒走的梯级×男孩走的时间）÷（女孩走的时间－男孩走的时间(23003100)(300100)1.5，自动扶梯的梯级总数＝女孩每秒走的梯级×女孩走的时间－自动扶梯的速度×女孩走的时间23001.5300600450150（级）所以自动扶梯共有150级的梯级。4、小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行15千米，3小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小时可以追上；若开汽车，每小时行45千米，分钟能追上。4【解析】本题是“牛吃草”和行程问题中的追及问题的结合．小明在312小时内走了15335110千米，那么小明的速度为1025(千米/时)，追及距离为155330(千米)．汽车去追的话需要：3304554(小时)45(分钟)．题型4、“牛”的数量发生变化1、一片草地，可供5头牛吃30天，也可供4头牛吃40天，如果4头牛吃30天，又增加了2头牛一起吃，还可以再吃几天？【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天生长的草量为44053040301，原有草量为：5130120．如果4头牛吃30天，那么将会吃去30天的新生长草量以及90原有草量，此时原有草量还剩1209030，而牛的头数变为6，现在就相当于：“原有草量30，每天生长草量1，那么6头牛吃几天可将它吃完？”易得答案为：30616(天)．2、某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派250个工人砌砖墙，6天可以把砖用完，如果派160个工人，10天可以把砖用完，现在派120名工人砌了10天后，又增加5名工人一起砌，还需要再砌几天可以把砖用完？【解析】开工前运进的砖相当于“原有草量”，开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草”，工人砌砖相当于“牛在吃草”．所以设1名工人1天砌砖数量为“1”，那么每天运来的砖为16010250610625，原有砖的数量为：2502561350．如果120名工人砌10天，将会砌掉10天新运来的砖以及950原有的砖，还剩1350950400的原有的砖未用，变成1205125人来砌砖，还需要：400125254(天)．题型5、多块地的“牛吃草问题”1、东升牧场南面一块2000平方米的牧场上长满牧草，牧草每天都在匀速生长，这片牧场可供18头牛吃16天，或者供27头牛吃8天．在东升牧场的西侧有一块6000平方米的牧场，可供多少头牛吃6天？【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么2000平方米的牧场上1688天生长的草量为181627872，即每天生长的草量为7289．那么2000平方米的牧场上原有草量为：18916144．则6000平方米的牧场每天生长的草量为96000200027；原有草量为：14460002000432．6天里，该牧场共提供牧草432276594，可以让594699(头)牛吃6天．