线性代数二次型

第五章1二次型与对称矩阵一、二次型及其矩阵1定义：含有n个变量的二次齐次函数：22212111222(,,,)nnnnfxxxaxaxax12121313(1)1222nnnnaxxaxxaxx称为二次型。为便于用矩阵讨论二次型，令ijjiaa，则二次型为：212111121211(,,,)nnnfxxxaxaxxaxx2212122222nnaxxaxaxx21122nnnnnnnaxxaxxax,1nijijijaxx令111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa，12nxxxx，则12(,,,)TnfxxxxAx，且A为对称矩阵。由于对称矩阵A与二次型f是一一对应关系，故称对称矩阵A为二次型f的矩阵，也称二次型f为对称矩阵A的二次型，()RA也称为二次型f的秩。例1设31322123222132197532),,(xxxxxxxxxxxxf第二章2试求二次型矩阵A.解111a,222a,333a,252112aa,273223aa,293113aa.于是得327292722529251A，1123235912257(,,)22297322xfxxxxx例2已知三阶矩阵A和向量X,其中233110321A,321xxxX.求二次型AXX的矩阵.解由于A不是对称矩阵,故A不是二次型AXX的矩阵.因为321321233110321),,(xxxxxxAXX3231212322214622xxxxxxxxx,故此二次型的矩阵为223211311.二、线性变换1标准形定义：形如2222211nnxdxdxd的二次型称为二次型的标准形。显然：其矩阵为对角阵。2线性变换第二章3定义：关系式11111221221122221122nnnnnnnnnnxcycycyxcycycyxcycycy称为由变量12,,,nxxx到变量12,,,nyyy的一个线性变量替换，简称线性变换。矩阵111212122212nnnnnnccccccCccc称为线性变换的矩阵。记12nxxxx，12nyyyy，则线性变换可用矩阵形式表示为：xCy若0C，称线性变换为满秩（线性）变换（或非退化变换），否则，称为降秩（线性）变换（或退化变换）。12(,,,)()()TTTTTnCyACyyCfxxACxyyxAxBy，其中TBCAC，而()TTTTBCACCACB若线性变换是非退化的，便有：1yCx三、矩阵的合同1定义：设A，B为n阶方阵，如果存在n阶可逆矩阵C，使得TCACB，则称矩阵A与B合同。容易知道：二次型()TfxxAx的矩阵A与经过非退化线性变换xCy得到的矩阵TCAC是合同的。2合同的性质第二章4①
反身性：任一方阵A都与它自己合同②对称性：如果方阵A与B合同，那么B也与A合同③传递性：如果方阵A与B合同，B与C合同，那么A与C合同3定理：若矩阵A与B合同，则A与B等价，且()()RARB。4定理：任何一个实对称矩阵A都合同于一个对角阵（是以A的n个特征根为对角元的对角阵）。即存在可逆矩阵C，使得TCAC。化二次型为标准形一、正交变换法定理：任给二次型12(,,,)TnfxxxxAx，总有正交变换xCy使f化为标准形：2221122nnfxxx（其中12,,,n是对称矩阵A的特征根）例：求一个正交变换xPy，化二次型22212312132322448fxxxxxxxxx为标准形。解：二次型的矩阵为：122224242A第二章5由0AE，求得A的特征根为：17，232，特征根17对应的特征向量为：1122；特征根232对应的特征向量为：23221,001显然1与23,都正交，但23与不正交。正交化：取22210，2322(,)332(,)25451再将123,,单位化，得1231221112,1,43535205ppp第二章6于是正交线性变换为：2215351132142235352335330xyxyxy使原二次型化为：222123722fyyy注意：二次型的标准形并不唯一，这与施行的正交线性变换有关。二、配方法对任意一个二次型12(,,,)TnfxxxxAx，也可用配方法找到满秩变换xCy，化二次型f为标准形。1二次型中含有平方项例：化二次型222123123121323(,,)23444fxxxxxxxxxxxx为标准形，并求出所用的变换矩阵。解22212312312323(,,)4()4()4()fxxxxxxxxxxx222223332(2)5xxxxx222212323233(22)4()2()5xxxxxxxx222123233(22)2()5xxxxxx令11232233322yxxxyxxyx，即112233122011001yxyxyx第二章7令1122011001C，则120011001C，所求的满秩变换为xCy，即112233120011001xyxyxy，则原二次型TfxAx化为标准形：22212325fyyy2二次型中不含平方项例：用配方法化二次型123121323(,,)fxxxxxxxxx为标准形，并求出所用的满秩线性变换。解：令11221233xyyxyyxy，则原二次型化为：2212132fyyyy再按前例的方法有：2212132fyyyy22221133322yyyyyy2221323()yyyy令1132233zyyzyzy，则原二次型化为：222123fzzz其中的满秩变换为两变换的合成，即：第二章8由第一次变换11221233xyyxyyxy得：112233110110001xyxyxy由第二次变换1132233zyyzyzy得：112233101010001yzyzyz所以有合成的满秩变换为：111222333110110101110110010001001001xyzxyzxyz即112233111111001xzxzxz三、初等变换法由于任一二次型()TTfxAxAA都可以找到满秩线性变换xCy将其化为标准形，即存在可逆矩阵C，使TCAC为对角阵；由于C可逆，可以写成一系列初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵12,,,sPPP，使12sCPPP。则21TTTTsCPPP，所以2112TTTTssCACPPPAPPP①第二章91212ssCPPPEPPP②①
表示对实对称矩阵A施行初等列变换，同时也施行同种的初等行变换，将A化为对角阵，②表示单位矩阵在相同的初等列变换下就化为C例：用初等变换法化二次型22212312132322448fxxxxxxxxx为标准形，并求出相应的满秩线性变换。解：二次型f的矩阵：122224242A2323122102224042242222100100010010001011rrccAE323131321()(2)21(2)()210010004004200702610210210101020111012rrrrcccc，所以10210121012C，第二章10原二次型化为22212347fyyy惯性定理和二次型的正定性一、惯性定理和规范形在二次型的标准形中，将带正号的项与带负号的项相对集中，使标准形为如下形式：22222112211pppprrfdxdxdxdxdx再令线性变换：1(1,2,,)(1,2,,)iiidjjxyirxyjrrn，则原二次型化为：22222121pprfyyyyy定义：形如上式的标准形称为二次型的规范形。定义：称规范形中正项的个数p称为二次型的正惯性指标，负项个数rp称为二次型的负惯性指标，r是二次型的秩。注：规范形是由二次型所唯一决定的，与所作的非退化线性变换无关。虽然二次型的标准形不唯一，但是其规范形是唯一的。定理：任一实二次型TfxAx都可以经过满秩变换xCy化为规范形，且规范形唯一。因而，对任一实对称矩阵A，都存在满秩矩阵C，使111100TCAC，称为A的（合同）规范形。第二章11定理：实对称矩阵A与B合同的充分必要条件是A与B有相同的规范形，其正惯性指标和秩相等。矩阵合同的性质(1)任一对称矩阵都存在对角矩阵与它合同;(2)与对称矩阵合同的矩阵必定是对称矩阵;(3)两个实对称矩阵合同的充要条件①有相同的秩,②有相同的正惯性指数.二、二次型的正定性1、正(负)定二次型的概念定义：设实二次型12()(,,,)TnfxfxxxxAx，若对任意不全为零的实数12,,,(0)nxxxx即，总有()0(0)fx，则称f为正(负)定二次型，并称对称矩阵A为正(负)定矩阵，记作0(0)A。定义：若对任意不全为零的实数12,,,nxxx，总有()0(0)TfxxAx，则称实二次型为半正(负)定二次型，其矩阵A为半正(负)定矩阵。2、判定方法定理：若A是n阶实对阵矩阵，则下列命题等价：（1）()TfxxAx是正定二次型（或A是正定矩阵）；（2）A的n个特征值全为正；（3）f的标准形的n个系数全为正；（4）f的正惯性指数为n；（5）A与单位矩阵E合同（或E为A的规范形）;(6)存在可逆矩阵P，使得TAPP;(7)A的各阶顺序主子式均为正，即111111211212210,0,,0nnnnaaaaaaaaa。第二章12定理：若A是n阶实对阵矩阵，则下列命题等价：（1）()TfxxAx是负定二次型（或A是负定矩阵）；（2）A的n个特征值全为负；（3）f的标准形的n个系数全为负；（4）f的负惯性指数为n；（5）A与负单位矩阵E合同（或E为A的规范形）;(6)存在可逆矩阵P，使得T