第四章-第一讲-正态分布及其性质

第四章正态分布第一讲正态分布及其性质《概率论与数理统计》课程教学团队《概率论与数理统计》课程教学团队第四章第一讲正态分布及其性质第一讲正态分布及其性质•一、正态分布•二、标准正态分布•三、正态变量的线性组合•四、小结《概率论与数理统计》课程教学团队第四章第一讲正态分布及其性质).,(~,,,)0(,,,eπ21)(22)(22σμNXσμXσσμxσxfXσμx记为的正态分布或高斯分布服从参数为则称为常数其中的概率密度为设连续型随机变量一、正态分布高斯资料1、定义《概率论与数理统计》课程教学团队第四章第一讲正态分布及其性质2、正态概率密度函数的几何特征;)1(对称曲线关于μx;π21)(,)2(σxfμx取得最大值时当;0)(,)3(xfx时当;)4(处有拐点曲线在σμx《概率论与数理统计》课程教学团队第四章第一讲正态分布及其性质决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.正态分布的图形特点),(2N《概率论与数理统计》课程教学团队第四章第一讲正态分布及其性质《概率论与数理统计》课程教学团队第四章第一讲正态分布及其性质3、正态分布的分布函数22()21()ed2πtμxσFxtσ正态分布分布函数图形演示《概率论与数理统计》课程教学团队第四章第一讲正态分布及其性质4、正态分布的期望与方差其概率密度为设),,(~2σμNX则有xxxfXEd)()(.deπ21222)(xσxσμxtσμx令,tσμx.,0,eπ21)(222)(xσσxfσμx《概率论与数理统计》课程教学团队第四章第一讲正态分布及其性质.μttσtμttdeπ2deπ212222xσxXEσμxdeπ21)(222)(所以tσtμtde)(π2122μ《概率论与数理统计》课程教学团队第四章第一讲正态分布及其性质.deπ21)(222)(2xσμxσμxxxfμxXDd)()()(2得令,tσμxttσXDtdeπ2)(2222ttσttdeeπ222222π2π202σ.2σ2σ《概率论与数理统计》课程教学团队第四章第一讲正态分布及其性质.2σμ和分别为两个参数正态分布的期望和方差《概率论与数理统计》课程教学团队第四章第一讲正态分布及其性质正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.5、正态分布的应用与背景《概率论与数理统计》课程教学团队第四章第一讲正态分布及其性质⑴正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的.事实上如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布.⑵正态分布可以作为许多分布的近似分布.⑶正态分布有许多其它分布所不具备的良好的性质.各种测量的误差；人的生理特征指标；工厂产品的尺寸；农作物的收获量；海洋波浪的高度；金属线的抗拉强度；热噪声电流强度；学生们的考试成绩等等.X若随机变量受到众多相互独立的随机因素的影响，每X则服从正态分布.例如：一个别因素的影响都是微小的，而且这些影响具有加性特征，正态分布所能刻画的随机现象：正态分布是概率论中最重要的分布，体现在以下方面：《概率论与数理统计》课程教学团队第四章第一讲正态分布及其性质6、正态分布下的概率计算tσxFxσμtdeπ21)(222)(}{xXP?原函数不是初等函数方法一:利用MATLAB软件包计算(演示)方法二:转化为标准正态分布查表计算《概率论与数理统计》课程教学团队第四章第一讲正态分布及其性质正态分布由它的两个参数μ和σ唯一确定，当μ和σ不同时，是不同的正态分布。标准正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布《概率论与数理统计》课程教学团队第四章第一讲正态分布及其性质).1,0(,,1,0),(2NσμσμN记为态分布的正态分布称为标准正这样时中的当正态分布标准正态分布的概率密度表示为,,eπ21)(22xxx二、标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为.,deπ21)(22xtxxt1、定义《概率论与数理统计》课程教学团队第四章第一讲正态分布及其性质标准正态分布的图形《概率论与数理统计》课程教学团队第四章第一讲正态分布及其性质2、标准正态分布的概率计算1()x()()ba2005.0)84.0(1)84.0(RxdtexXPxxt2221)(分布函数利用查表法可计算标准正态分布的分布函数值，从而解决概率计算问题。)1,0(~NX64.084.0XP例1设随机变量,试求(0.64)解查表知所以有5384.02005.07389.0)84.0()64.0(64.084.0XP0.7389()xPaXb《概率论与数理统计》课程教学团队第四章第一讲正态分布及其性质例设X～N(0,1)，求P(－1＜X≤2)，P(X＞2.5).=0.9772－(1－0.8413)=0.8185.P{X＞2.5}=1－Φ(2.5)解P(－1＜X≤2)=Φ(2)－Φ(－1)=Φ(2)－[1－Φ(1)]=1－0.9938=0.0062.《概率论与数理统计》课程教学团队第四章第一讲正态分布及其性质(3)正态分布的标准化：2~(,)，XN若，XY令~(0,1)YN则2~(3,2){2X5}{-4X10}{|X|5}{3X}XNPPPP若，求，，，2353{2X5}()2211(1)()(1)()1=0.53322822PPPUPUX标准化-3393{-3X9}()22(3)(3)2(3)1=0.994273PPPUPUX标准化，{|X|2}=(25)-(05)=0.3023{3X}=.PP..，05《概率论与数理统计》课程教学团队第四章第一讲正态分布及其性质3、一般正态分布的概率计算()x()()ba1.61010.30942221分布函数22()21()2txFxPXxedt在求解一般正态分布的概率计算问题时，先将其转化为标准正态分布问题，然后利用查表法可计算标准正态分布的分布函数值，从而解决概率计算问题。)2,1(~2NX6.10XP例2设随机变量，试求2212xyedytyPaXb(01.6)PX解《概率论与数理统计》课程教学团队第四章第一讲正态分布及其性质4、标准正态分布的分位数)1,0(~NX)10(2u2PXu2u双侧分位数：，对于给定的，如果为标准正态分布关于实数满足，则称的双侧分位数.标准正态分布双侧分位数的意义如图1所示.双侧分位数的计算方法：122u查标准正态分布函数值表便可得也可直接查依据上式编制的标准正态分布双侧分位数表。/22.576u)(xx2u2u图122由定义知2()u0.100.050.01/21.645u/21.96u《概率论与数理统计》课程教学团队第四章第一讲正态分布及其性质12.326u)1,0(~NX)10(uPXuu上侧分位数：，对于给定的,如果为标准正态分布关于实数满足，则称的上侧分位数.标准正态分布上侧分位数的意义如图2所示.上侧分位数的计算方法：由定义知u查标准正态分布函数值表便可得也可由定义利用上侧分位数与双侧分位数之间的关系,借助于标准正态分布双侧分位数表直接查得，即直接查的双侧分位数.)(xxu图21.645u0.050.01()u《概率论与数理统计》课程教学团队第四章第一讲正态分布及其性质例3.,1.0}{3};200500{2};560{160500xxXPXPXPσμX求）（）求（）求（的正态分布。，（以小时计）服从某种器件的寿命2~(500,60)XN已知解：}560{1XP）（}560{1XP5005605001{}6060XP605005601118413.011587.0《概率论与数理统计》课程教学团队第四章第一讲正态分布及其性质2{500200}PX解（）：50060.1{560};2{500200};3{3}0.1,.XμσPXPXPXxx某种器件的寿命（以小时计）服从，的正态分布（）求（）求例（）求0008.09996.012}200500{1XP}602006050060200{1XP6020060200113102131012《概率论与数理统计》课程教学团队第四章第一讲正态分布及其性质50060.1{560};2{500200};3{3}0.1,.XμσPXPXPXxx某种器件的寿命（以小时计）服从，的正态分布（）求（）求例（）求282.160500x为单调不减函数，故需因3{}0.1,PXx求解（）要：，即要求1.0}{1xXP1.0605001x即需282.19.060500x92.576x。时，才能使即当1.0}{92.576xXPx《概率论与数理统计》课程教学团队第四章第一讲正态分布及其性质(1)所求概率为}89{XP)2(5.09089)2(19772.01.0228.0解例4?,99.080)2(.89,90)1().5.0,(~,)(,.o2oo至少为多少问低于的概率不至少为若要求保持液体的温度的概率小于求若且是一个随机变量计以液体的温度调节器整定在容器内贮存着某种液体的将一温度调节器放置在dCXddNXCXCd《概率论与数理统计》课程教学团队第四章第一讲正态分布及其性质(2){80}0.99PX1{80}0.99PX1(80)0.99F8010.990.5d8010.990.01,0.5d80-2.3270.5d即81.1635.d《概率论与数理统计》课程教学团队第四章第一讲正态分布及其性质•正态随机变量的重要性质：两个或多个相互独立的正态随机变量的线性组合仍是正态随机变量。三、正态随机变量的线性组合22.~(0,),~(0,1),,,~(0,1)YNXNXYXYN引理设且相互独立则《概率论与数理统计》课程教学团队第四章第一讲正态分布及其性质22X~N(,)~(,())YaXbNaba1221222()+XYXY证:211122222~(0,)XXN22~(0,1)YN221212222~[*0,(1)]XYN221212(,)N221122112222~(,),~(,),,,1.~(,)XYNXNYNXY定设且相互独立则理21212222~(0,1)XYN《概率论与数理统计》课程教学团队第四章第一讲正态分布及其性质22X~N(,)~(,())YaXbNaba2222111121